精品解析：福建省龙岩紫金山实验学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

龙岩紫金山实验学校2025-2026学年第一学期半期质量监测 八年级数学学科 （全卷共6页；考试时间：120分钟；满分150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形）． 先明确轴对称图形的核心定义，再分别观察各选项新能源环保图标文字上方的图案，判断每个图案是否存在一条对称轴，使图案沿该轴折叠后两旁部分完全重合，其中只有B选项的图案满足这一条件． 【详解】解：A、该选项图标文字上方的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、该选项图标文字上方的图案能沿某条直线折叠后，直线两旁的部分完全重合，是轴对称图形，此选项符合题意； C、该选项图标文字上方的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、该选项图标文字上方的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分均不能完全重合，不是轴对称图形，此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了乘方和幂的乘方，根据运算法则逐一验证各选项即可． 【详解】解：∵ 选项A：，∴ A错误； ∵ 选项B：，∴ B错误； ∵ 选项C：，∴ C正确； ∵ 选项D：，∴ D错误， 故选：C． 3. 已知图中的两个三角形全等，则边的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据全等三角形的对应边相等，对应角相等即可得解． 【详解】解：根据全等的性质可知，边所对内角为， 第一个三角形角所对边长为， ． 故选：B． 4. 一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对顶角相等 D. 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的概念，全等三角形的性质，对顶角，绝对值以及垂直平分线的定义，根据相关性质定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，不成立； B、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，不成立； C、对顶角相等的逆命题的相等的角是对顶角，不成立； D、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立， 故选：D． 6. 如图，在中，平分，．若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质及三角形面积的计算．过点D作于点F，根据角平分线的定义得到，利用“”证明，得到，最后根据已知条件求出的面积． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为． 故选：A． 8. 如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 的周长等于的周长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择． 【详解】解：因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A、B、D都不符合题意． 故选C． 9. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图：作角平分线及作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握基本尺规作图是解题的关键． 利用基本作图得到平分，利用基本作图可得到D点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，D点为的垂直平分线与的交点， ∴，所以B选项不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， ∴， 所以A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， 所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，在和中，，，，点A在线段上且，交于点F，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，于点，证明，得到，，再利用角平分线的性质定理，得到，从而得出，进而得出，再求出的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，即平分， ，， ， ， ， ，， ， ， 和同高， ， ，， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，三角形面积问题，解题关键是作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质，将等高三角形面积之比转化为底边之比． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，根据底数不变，将指数相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若点与点关于轴对称，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，涉及平面直角坐标系中对称点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 13. 如图，是的中线，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，证明即可求得答案． 【详解】∵是的中线， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 故答案为： 14. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 15. 如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质；作点关于的对称点，由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点，当时，最小，再根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点， 由于为的角平分线，则点落在上，连接交于点， 当时，最小， ∵，则， 在中，， ∴ ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变、指数相加；幂的乘方，底数不变、指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则分别化简各项，再合并同类项； （2）同理，先利用积的乘方、同底数幂的乘法法则化简各项，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：如图，设交于点， 在与中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；设交于点，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 19. 已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①②为等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三边关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴原式； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∴， ∵为奇数． ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 20. 如图，在中，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E． （1）当时，______．______； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由： 【答案】（1）， （2） 解：当时，，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在边上求作点，使得是以为底的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，点即为所求． （2） 由（1），可知， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交边于点，即可； （2）利用线段垂直平分线的性质结合等边对等角求得，求得，利用等角对等边即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂线平分线的性质，等边对等角以及等角对等边，三角形的内角和定理． 22. 若，记为． （1）根据上述规定，填空：________，________； （2）如果记，，，试说明： （3）试说明： 【答案】（1） （2） 解：∵，，， ∴ ∵， ∴ 即 故； （3） 解：依题意，记，，， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相关法则是解题的关键． （1）理解题意，则，，故，，即可作答． （2）先结合，，，得，又因为，即，故，即可作答． （3）先记，，，则，，，整理得，即，则，又因为，，，所以，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，记为， 则， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： （1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； （2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （3）…… 由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．…… （1）请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：______； （2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据下图写出了已知，求证： 命题Ⅰ：在中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：______； ①请你写出命题Ⅱ的几何语言； ②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形 （2） ①解：由题意知，命题Ⅱ：在中，是的中线，，求证：是等腰三角形； ②解：命题Ⅰ、Ⅱ都是真命题，证明如下； 命题Ⅰ：证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 命题Ⅱ：证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据原命题写出逆命题即可； （2）①用几何语言写出命题即可；②证明全等，进而结论得证． 【小问1详解】 解：由题意知，命题Ⅱ为：如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线等知识．熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线是解题的关键． 24. 如图1，在等边中，D，E分别是边，上一点，且，与相交于点M． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，连接，当时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2） 证明：由（1）可知，， ∴， ∴； （3） 证明：如图2，延长到F，使，连接， 由（1）知：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 取的中点N，连接，则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得得，再由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长到F，使，连接、，证，得，，则，取的中点N，连接，则，然后证是等边三角形，得，，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，． （1）①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； （2）当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）① ② （2） ，理由为： 在上截取，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据，点Q在第二象限，写出点Q的坐标；②过点作于点，则有，求出点Q的坐标； （2）在上截取，连接，则有，即可得到，，然后证明，可以得到结论． 【小问1详解】 ①当时，点在原点处，如图， ， 又∵点Q在第二象限， ∴点Q的坐标为， 故答案为：； ②过点作于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩紫金山实验学校2025-2026学年第一学期半期质量监测 八年级数学学科 （全卷共6页；考试时间：120分钟；满分150分） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列新能源环保图标中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知图中的两个三角形全等，则边的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 对顶角相等 D. 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 6. 如图，在中，平分，．若，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 8. 如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 的周长等于的周长 9. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，，，点A在线段上且，交于点F，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. _______． 12. 若点与点关于轴对称，则点的坐标是_______． 13. 如图，是的中线，，，则______． 14. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 15. 如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是_____． 16. 如图，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为，上一点，则的最小值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，，，求证：． 19. 已知的三边长分别为． （1）化简：； （2）若，，且为奇数． ①求的值； ②试判断的形状． 20. 如图，在中，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E． （1）当时，______．______； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由： 21. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在边上求作点，使得是以为底的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 22. 若，记为． （1）根据上述规定，填空：________，________； （2）如果记，，，试说明： （3）试说明： 23. 小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： （1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； （2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （3）…… 由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．…… （1）请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：______； （2）小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据下图写出了已知，求证： 命题Ⅰ：在中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：______； ①请你写出命题Ⅱ的几何语言； ②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 24. 如图1，在等边中，D，E分别是边，上一点，且，与相交于点M． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，连接，当时，求证：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，设，且，以为腰作等腰三角形，． （1）①当时，点Q的坐标为______； ②当时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）； （2）当且时，过点Q作交y轴于点F，过P作交于点D，连接．则当点P在运动过程中时，线段会有怎样的数量关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $