期末复习05 几何图形初步讲义(一)(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年人教版七年级数学上册

期末复习05 几何图形初步讲义(一) 1.常见的几何体的类型与特征 2.组合几何体的构成方式 3.立体图形的分类方法 4.几何体中的点.棱.面的认识 5.几何体的多方向视图(三视图) 6.几何体展开图的概念与识别 7.由展开图计算几何体的表面积 8.由展开图计算几何体的体积 9. 正方体几种展开图的类型识别 10. 正方体相对面的字符对应关系 11. 含图案正方体的展开图还原 12. 展开图中两点折叠后的实际距离计算 13. 补全面使展开图围成正方体 14. 平面图形形状的识别与区分 15. 七巧板的图形拼接应用 【知识点01】立体图形的定义 1.核心定义：各部分不都在同一平面内，占有一定空间的三维几何图形（也称为几何体或立体）。 2.补充关键特征： 维度属性：具有三维特征（长、宽、高），区别于只有长、宽的二维平面图形。 空间占有：占据实际的空间位置，有内部体积和外部表面积。 构成方式：由平面（如棱柱的面）或曲面（如圆柱的侧面、球面）围成，面与面相交形成棱（线），棱与棱相交形成顶点（点）。 【知识点02】平面图形的定义 1.核心定义：各部分都在同一平面内的几何图形，是由线段、曲线等围成的二维图形。 2.补充关键特征： 维度属性：仅具有二维特征（长、宽），无厚度，区别于有长、宽、高的三维立体图形。 构成形式：可由直线段首尾顺次连接围成（如三角形、长方形），也可由曲线围成（如圆），部分简单图形（如线段、角）虽未形成封闭区域，但仍属于平面图形范畴。 度量属性：核心度量指标为周长（围成图形的边线总长度）和面积（图形所占平面的大小），无体积概念。 3.与立体图形的核心差异对比 比维度 平面图形 立体图形 存在维度 二维（长、宽） 三维（长、宽、高） 空间占有 仅占平面区域，无空间体积 占有实际空间，有体积 核心度量指标 周长、面积 表面积、体积 【知识点03】常见立体图形分类及特征 立体图形按形状可分为柱体、锥体、球体，具体分类及特征如下： 1.柱体 *圆柱：2 个圆形底面（平行且全等），侧面为曲面，无棱与顶点。 *棱柱：2 个全等多边形底面（对应边平行），侧面为平行四边形，有棱与顶点，按底面边数命名（如三棱柱、四棱柱）。 2.锥体 *圆锥：1 个圆形底面，侧面为曲面，有 1 个顶点。 *棱锥：1 个多边形底面，侧面为三角形，有 1 个顶点，按底面边数命名（如三棱锥、四棱锥）。 3.球体：由单一曲面围成，无棱、无顶点，任意截面为圆。 【知识点04】常见平面图形及特征 平面图形是立体图形的 “面” 的基础构成，常见类型及特征如下： 图形名称 特征 线段 有 2 个端点，可度量长度 角 由公共端点的两条射线组成，有度数 三角形 由 3 条线段首尾顺次连接围成，内角和 180° 长方形 对边平行且相等，四个角为直角 正方形 四条边都相等，四个角为直角 平行四边形 对边平行且相等 圆 由曲线围成，有圆心、半径、直径，半径决定大小 【知识点05】立体图形与平面图形的转化 （一）从不同方向看立体图形（视图） 1.核心视图类型 *主视图：从正面观察得到的平面图形，反映高度与长度。 *左视图：从左面观察得到的平面图形，反映高度与宽度。 *俯视图：从上面观察得到的平面图形，反映长度与宽度。 2.视图核心关系 *长对正：主视图与俯视图长度一致且对齐。 *高平齐：主视图与左视图高度一致且对齐。 *宽相等：左视图与俯视图宽度一致。 3.作图原则：看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线。 (二）立体图形的展开图 1.定义：沿立体图形的棱剪开，表面展开成的平面图形，称为该立体图形的展开图。 2.常见展开图特征 *正方体：11 种展开图，分为 “一四一型（6 种）”“一三二型（3 种）”“二二二型（1 种）”“三三型（1 种）”，相对面在展开图中不相邻。 *圆柱：1 个长方形（侧面）+2 个全等圆形（底面）。 *圆锥：1 个扇形（侧面）+1 个圆形（底面）。 *棱柱：2 个全等多边形（底面）+ 若干个长方形（侧面）。 *棱锥：1 个多边形（底面）+ 若干个三角形（侧面）。 3.展开图判断技巧 *全是长方形 / 正方形→长方体 / 正方体。 *有三角形→三棱柱 / 棱锥。 *有长方形和圆→圆柱。 *有扇形和圆→圆锥。 【知识点06】点.线.面.体的关系 一、静态从属关系（构成关系） 体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。 体：是几何图形的最终形态（如正方体、圆柱），是点、线、面的集合体。 面：分为平面（如正方体的面、三角形）和曲面（如圆柱的侧面、球面），面是体的边界，无厚度但有大小。 线：分为直线（如正方体的棱）和曲线（如圆柱的底面圆周），线是面与面的交界，无粗细但有长度。 点：是线与线的交点（如正方体的顶点），是几何图形的最基本单位，无大小、无维度，仅表示位置。 二、动态生成关系（运动关系） 点动成线，线动成面，面动成体（几何图形的动态形成规律）。 1.点动成线：点沿固定方向或轨迹运动，轨迹形成线（直线或曲线）。 2.线动成面：线沿垂直于自身的方向或特定轨迹运动，扫过的区域形成面（平面或曲面）。 3.面动成体：面沿垂直于自身的方向或特定轨迹运动，扫过的空间形成体（立体图形）。 核心总结 1.静态视角：点是线的构成单位，线是面的构成单位，面是体的构成单位； 2.视角：几何图形可通过低维度要素的运动生成高维度要素，体现 “从简单到复杂” 的几何构成逻辑。 【知识点07】核心公式(基础班) 1.平面图形公式 *长方形周长：C=2(a+b)，面积：S=ab（a为长，b为宽）。 *正方形周长：C=4a，面积：S=a2（a为边长）。 *圆的周长：C=2πr，面积：S=πr2（r为半径）。 2.立体图形公式（基础） *长方体体积：V=abc（a,b,c为长、宽、高）。 *正方体体积：V=a3（a为棱长）。 *圆柱体积：V=πr2h（r为底面半径，h为高）。 易错点与注意事项 1.立体图形的 “展开图” 不唯一，同一立体图形剪开方式不同，展开图可能不同（如正方体）。 2.视图中，易忽略 “看不见的轮廓线画虚线” 的规则，导致作图错误。 3.混淆 “线段” 与 “直线”“射线”：线段有 2 个端点，直线无端点，射线有 1 个端点，三者不可混淆。 4.错误认为 “球有展开图”，球是曲面立体，无法展开成平面图形。 【知识点08】展开图的实用细节 1.正方体展开图的禁忌形式： *不存在 “田” 字形（四个正方形组成田字，无法折成正方体）； *不存在 “凹” 字形（五个正方形组成凹字，无法折成正方体）； *一行 / 一列超过 4 个正方形的展开图（除 “一四一型” 外）无法折成正方体。 2.展开图与实际应用： 如包装盒的设计（利用展开图计算用料面积）、圆柱侧面展开图为长方形时，长方形的长 = 圆柱底面周长，宽 = 圆柱的高（为后续圆柱侧面积计算铺垫）。 题型1.常见的几何体的类型与特征 【典例】如图是一幅几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（     ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．球体 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的识别，掌握常见几何体是关键． 根据图示，结合常见几何体即可求解． 【详解】解：根据图示，图中有棱柱、棱锥、球体， ∴没有圆柱， 故选：C ． 【跟踪训练1】下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，熟练掌握常见几何体的形状是解题的关键．根据四棱锥、圆柱、四棱柱、圆锥的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是四棱锥，故A不符合题意； B．是圆柱，故B不符合题意； C．是四棱柱，故C不符合题意； D．是圆锥，故D符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】若一个棱柱有个面，底面为边长的正方形，每条侧棱长，则该棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查棱柱的体积，熟练掌握棱柱的体积公式是解题的关键； 根据棱柱的体积公式计算求解即可； 【详解】解：底面为边长的正方形， 底面积为：， 棱柱的体积为：； 故答案为： 题型2.组合几何体的构成方式 【典例】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 【跟踪训练1】玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 【跟踪训练2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型3.立体图形的分类方法 【典例】将图中的几何体分类，多面体有 ，旋转体有 （填序号）． 【答案】 （1）（3）（6） （2）（4）（5） 【分析】本题考查多面体与旋转体的概念．掌握多面体是由多个平面多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕着一条直线（旋转轴）旋转而成的几何体的相关知识是解决问题的关键．解题思路是根据多面体和旋转体的定义，逐一分析每个几何体的类型． 【详解】解：（1）正方体由六个正方形平面围成，（3）长方体由六个矩形平面围成，（6）三棱锥由四个三角形平面围成，它们都属于多面体； （2）圆柱由矩形绕一边旋转而成，（4）球可由半圆绕直径旋转而成，（5）圆锥由直角三角形绕一条直角边旋转而成，它们都属于旋转体； 综上，多面体有（1）（3）（6），旋转体有（2）（4）（5）． 【跟踪训练1】已知一个圆锥形零件的底面积是，高是，那么这个零件的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的体积，根据圆锥的体积公式计算，即可求解． 【详解】解：这个零件的体积是 故答案为：． 【跟踪训练2】在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体； ②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体； ③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体； ④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体； ⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体． 故选D． 题型4.几何体中的点.棱.面的认识 【典例】若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是棱柱的特点，根据棱柱的性质，顶点数等于底面边数的两倍，侧面个数等于底面边数即可解答. 【详解】解：∵ 棱柱的顶点数底面边数， 给定顶点数为10， ∴ 底面边数， ∴ 底面边数， 又∵ 侧面个数底面边数， ∴ 侧面个数为5. 故选：A 【跟踪训练1】一个棱柱有14个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了认识立体图形，利用了棱柱的棱与顶点间的关系． 根据棱柱的侧棱数等于棱柱的顶点数除以2即可求得答案． 【详解】解：因为棱柱的顶点数是侧棱数的2倍， 所以侧棱数为， 因此每条侧棱长为， 故答案为：7． 【跟踪训练2】如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 【答案】 【分析】本题主要考查棱柱的定义及面、棱、顶点的个数之间的关系，根据点、面、棱的关系进行求解即可，熟练掌握棱柱的基本性质是解题关键． 【详解】解：∵棱柱有个面，有条棱，有个顶点， ∴当棱柱总共有条棱， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 题型5.几何体的多方向视图(三视图) 【典例】如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，若另取一个相同的小正方体，放在图中几何体标有数字的某一个正方体上面，则从左面看形状图不发生变化的是（    ） A．放在1或2的上面 B．放在3或4的上面 C．放在2或3的上面 D．放在1或4的上面 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据题意从左面看形状图判断即可求解． 【详解】解：当放在1或2的上面，从左面看形状图不变，左边一列依然是三个小正方形，右边一列是一个小正方形； 当放在4的上面，从左面看形状图发生变化，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形； 当放在3的上面，从左面看形状图发生变化，左边一列是四个小正方形，右边一列是一个小正方形； 故选：A． 【跟踪训练1】如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从上面、左面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体最多有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，对学生有一定的空间想象力的要求．在从上面看的图形中标出最多的情况数即可． 【详解】解：如图，所示： 那么构成这个立体图形的小正方体最多有（个）， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形，它从左面看形状图的面积为4，则长方体的体积等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了从不同方向看到的几何体的平面图． 根据从左面看的图形面积，得出长方体的高是，进而得出长方体的体积即可． 【详解】解：长方体的底面是边长为和4的长方形，它的左视图的面积为4， 长方体的高为， 长方体的体积为：． 故答案为：． 题型6.几何体展开图的概念与识别 【典例】一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】此题重点考查学生对空间立体图形的认识，把握四棱锥的特点是解题的关键． 根据几何体的展开图把它利用空间思维复原即可得到答案． 【详解】解：仔细观察几何体的展开图，根据底面正方形的形状可以确定它是四棱锥． 故选C 【跟踪训练1】一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为 （π取）． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积等知识．解题的关键在于明确该几何体的表面展开图是圆柱的表面展开图． 由展开图可知，该几何体为圆柱，底面是以1为半径的圆，高为4根据圆柱的体积为，计算求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体为圆柱． 底面是以1为半径的圆，高为4， ∴圆柱的体积 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 【答案】 14 14 【分析】本题考查长方体的相关知识．根据所给立体图形，观察两面涂色的小正方体和一面涂色的小正方体的个数即可．能判断出只有一面涂色或两面涂色的几何体的位置是解决本题的关键． 【详解】解：如图1：两面涂色的小正方体除图中标注的外，左面和后面相交的边长处的最底层和中间层处还有2个， ∴两面涂色的小正方体有14个． 如图2：只有一面涂色的小正方体前面有4个，可推测后面也有4个；右面有2个，可推测左面也有2个；上面有2个， ∴一面涂色的小正方体有（个）． 故答案为：14，14． 题型7.由展开图计算几何体的表面积 【典例】用一张长米，宽米的铁皮做一个圆柱形烟筒，这个烟筒的侧面积是多少平方米（接口处忽略不计）．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积是解题的关键；因此此题可根据圆柱的侧面积公式可进行求解 【详解】解：由题意可知，圆柱形烟筒没有上下底面，只有侧面，因此铁皮的面积即为烟筒的侧面积． ． 故选D． 【跟踪训练1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 【跟踪训练2】用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 【答案】 208 2 【分析】本题主要考查了长方体表面积的计算以及图形的拼接问题． （1）要使拼成的大长方体表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，这样拼接后大长方体的表面积就减少得最多； （2）先分析小长方体不同面的面积，确定拼接方法，再计算大长方体的表面积，最后确定拼法的种类． 【详解】解：小长方体的长，宽，高分别是6，4，2，根据长方形面积公式，可得小长方体三个不同面的面积为： 长为6，宽为4的面的面积：； 长为6，宽为2的面的面积：； 长为4，宽为2的面的面积：； 要使拼成的大长方体的表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，即把长为、宽为的面拼在一起； 根据分析，四个小长方体拼在一起，拼接时每两个小长方体拼接一次，就会减少2个面的面积，四个小长方体两两拼接，一共拼接3次，总共减少（个）面的面积， 一个小长方体的表面积为：， 四个小长方体的表面积之和为：， 减少的6个长为6、宽为4的面的面积为：， 大长方体的表面积最小为：； 根据分析，把四个小长方体拼成一个大长方体，需要把长为、宽为的面拼在一起，此时的拼法有2种：可以拼成一个尺寸为的长方体或一个尺寸为的长方体； 故答案是：；． 题型8.由展开图计算几何体的体积 【典例】如图所示的是一个长方体形状的包装盒的平面展开图，则这个包装盒的容积是 （包装材料厚度忽略不计）． 【答案】224000 【分析】根据所给的图形，折叠成长方体，再根据长方体的容积公式即可得出答案． 【详解】解：根据图形可知： 长方体的容积是：； 故答案为：224000． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解决本题的关键是根据展开图确定出长方体的长、宽、高，再根据公式列出算式即可． 【跟踪训练1】已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【答案】或 【分析】本题考查求圆柱的体积，分圆柱的高为8和高为4两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意，当圆柱的高为8，底面周长为4时，圆柱的体积为：； 当圆柱的高为4，底面周长为8时，圆柱的体积为：； 故答案为：或． 【跟踪训练2】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 题型9.正方体几种展开图的类型识别 【典例】下列各图中，不属于正方体展开图形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的识别. 正方体展开图有11种情况，分四种类型，即：第一种：“”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，只有选项A不属于正方体展开图， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，由正方体的平面展开图，按照题中标号逐一减掉验证即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，去掉小正方形①，如图： ∴可折成一个小正方体，故①不符合题意； 去掉小正方形②，如图： ∴可折成一个小正方体，故②不符合题意； 去掉小正方形③，如图： ∴可折成一个小正方体，故③不符合题意； 去掉小正方形④，如图： ∴不能折成一个小正方体，故④符合题意； 故选：D． 【跟踪训练2】用5个正方形拼接成如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，第6个正方形可放在 （填写序号）的位置； 【答案】③ 【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解． 【详解】解：如图所示： 根据正方体的种展开图，可以判断第个正方形可放在③的位置， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用口诀：一线不过四，田凹应弃之，相间、端是对面，间二、拐角邻面知． 题型10.正方体相对面的字符对应关系 【典例】如图是一个正方体的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，与“承”字所在面相对的面上的字是 ． 【答案】华 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图特征进行求解即可． 【详解】解：由图可知：与“承”字所在面相对的面上的字是“华”； 故答案为：华． 【跟踪训练1】一个正方体的六个面写着“祝你学习进步”六个字，正方体的展开图如图．“你”字的对面是 ，“进”字的对面是 ． 【答案】 步 学 【分析】明确正方体展开图的特点； 正方体平面展开图在同一直线上的相对的面之间一定相隔一个正方形； 根据第二行中的字可以确定与“学”相对的汉字； “祝”不能与相邻的“你”“学”和“步”相对，“你”不能与相邻的“祝”“学”“习”相对，据此解答． 本题考查了正方体展开图中的相对问题，熟练掌握展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意分析可得，“学”与“进”相对，“祝”与“习”相对，“你”与“步”相对， 故答案为：步，学． 【跟踪训练2】如图是一个正方体的表面展开图，将其折成一个正方体后，与点E重合的点是（   ） A．点B和点C B．点A和点E C．点A和点B D．点C和点E 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的展开图，解题的关键是数形结合．结合图形即可求解． 【详解】解：观察发现，折叠成正方体后，与顶点重合的点是点A和点B． 故选：C． 题型11.含图案正方体的展开图还原 【典例】小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图特征是解题关键．根据正方体的平面展开图可得与是两个相对的面，由此即可得． 【详解】 解：由正方体的平面展开图可知，礼物所在的盒子是． 故选：B． 【跟踪训练1】如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，弄清展开图折叠成正方体后各面的关系是解题的关键． 根据正方体的展开图知识，折成正方体后，两个带横线的面是相对的面，并和带圆的面相邻并和横线平行，据此解答即可． 【详解】解：折成正方体后，两个带横线的面是相对的面，并和带圆的面相邻并和横线平行，即B选项符合题意． 故选B． 【跟踪训练2】按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 题型12.展开图中两点折叠后的实际距离计算 【典例】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【跟踪训练1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 【跟踪训练2】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 题型13.补全面使展开图围成正方体 【典例】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【跟踪训练1】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【跟踪训练2】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 题型14.平面图形形状的识别与区分 【典例】下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了认识平面图形．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形和平面图形定义分别进行判断． 【详解】解：①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形， 共5个图形，属于平面图形， 故选：D． 【跟踪训练1】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 【跟踪训练2】有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 【答案】9 【分析】把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有：，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20，依此找到满足条件的情况数即可求解． 【详解】解：把可以分得的边长为整数的长方形（或正方形）按照面积从小到大排列有： ，，，， ，，，，，，，，，，若能分成5张满足条件的纸片，因为其面积之和正好为20， 那么满足条件的有：，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； ，，，，； 故这样的5张长方形纸片共有9种． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了认识平面图形，解题的关键是找到5张满足条件的纸片，其面积之和正好为20． 题型15.七巧板的图形拼接应用 【典例】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 【跟踪训练1】下列拼图中，不是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了七巧板，正确地识别图形是解题的关键．解答此题要熟悉七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶图B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； 故选∶B． 【跟踪训练2】如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 种． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼，能够灵活运用面积关系是解题的关键．可求得个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，由此可得到剪拼方法． 【详解】解： 由题意可知，个图的面积为，可知拼成的正方形的边长为，因此各剪刀都得到边长为的边，再将剪下的部分拼如图相应的位置，得到一个正方形． 在每个图形上各剪一刀，如图所示：   拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 拼接成的图形，如图所示： 共3种方法， 故答案为：． 1．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 【答案】B 【分析】该题考查了七巧板，根据图1和图2分析即可解答． 【详解】解：根据图1可得：①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 根据图2可知空白部分为长方形，则④、⑥、⑦、①四部分可以组成长方形， 故图1中没用上的那一块七巧板是⑤， 故选：B． 2．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 【答案】路 【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案． 【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和“路”是对面， 再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、“复”， 所以第5格朝上的字是“路”． 所以答案是路． 【点睛】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键． 3．从四个选项中找出折叠后和已知正方体一致的图形（   ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体的应用，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养也是解决问题的关键 根据图中A、B、C三个面均相邻，结合展开图分别判断即可得出答案 【详解】解：根据图象：A、B、C三个面均相邻， A、折叠后A与C是相对面，不符合题意； B、折叠后C与B是相对面，不符合题意； C、折叠后A与B是相对面，不符合题意； D、折叠后A、B、C三个面均相邻，符合题意； 故选：D 4．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 5．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 6．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为 ． 【答案】48 【分析】本题考查几何体，根据经过每一个点都有四条棱，棱数等于点数的2倍，再根据面数点数棱数，进行计算即可。 【详解】解：因为经过每一个点都有四条棱，两点确定一条棱， 所以多面体的棱数为点数的2倍， 设此多面体印信的棱数为，则点数为， 由面数点数棱数，得：，解得：， 故， 此多面体印信的棱数为48； 故答案为：48. 7．一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 【答案】C 【分析】分情况讨论分别去掉A、B、C三处的钉子时，组成长方形的长和宽各是多少，再根据长方形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：当去掉A处的钉子时：这时长方形的长为4，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉B处的钉子时：这时长方形的长为7，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：； 当去掉C处的钉子时：这时长方形的长为5，则是其余三边长的长度和，是两条宽的长度和，则宽是， 则面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面图形的认识与计算，利用分类讨论的思想是解题的关键． 8．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体，然后再根据从正面和上面看的图分别添加小正方体求解即可． 【详解】解：根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体， 当最左边一列（任意一行）加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最少有6个． 1 1 1 1 情况1 1 1 1 1 情况2 1 1 1 1 情况3 当最左边一列三行各加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最多是8个． 1 1 故选：B． 9．如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了正方体平面展开图与立体图形的棱的对应关系，解题的关键是掌握正方体展开图还原立体图的棱对应规律． 还原正方体平面展开图，根据相对面、相邻棱的位置关系确定与棱对应的线段． 【详解】解：将正方体展开图按对应顶点还原，棱在立体图中对应的相邻棱关系与线段完全匹配． 故答案为：． 10．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 11．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种． 故答案为：4； （2）解：如图所示，答案不唯一． 12．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    13．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 【答案】见解析 【分析】此题考查七巧板拼图，正方形的性质，矩形的性质，掌握七巧板的结构特点是解决问题的关键． 【详解】解：如图，拼成一个长方形 14．某种包装盒的展开图如图所示，边比边的三倍多2，边的长度为3分米（均不考虑包装盒的黏合处） (1)该包装盒的形状是______； (2)设的长为m分米，则边的长度为______分米，边的长度为______分米；（用含m的式子表示） (3)在（2）的条件下，若分米，现对包装盒外表涂色，每平方分米涂料的价格是元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 【答案】(1)长方体 (2)， (3)23元 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、列代数、求几何体的表面积、整式加减的应用等知识点，确定几何体的长宽高是解题的关键． （1）根据展开图的形状即可判断包装盒的形状； （2）根据边比边的三倍多2以及展开图列代数式即可， （3）先求得的长，进而求出表面积，再乘以每平方分米涂料的价格即可． 【详解】（1）解：由展开图的形状可知：包装盒的形状为长方体． 故答案为：长方体． （2）解：∵边比边的三倍多2，的长为m分米， ，， 故答案为：，． （3）解：当分米时，， ∴长方体的表面积为：（平方分米）， 费用为：（元）． 答：每个包装盒涂色的费用是23元． 15．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有___________条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开___________条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 【答案】(1)见解析 (2)12，7 (3)长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体的展开图的性质分析，即可获得答案； （2）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （3）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体一共有4个侧面和上下2个底面，观察所给图形可知，多了一个底面，多余块涂黑如下图，为所求： （2）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开，那么若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （3）根据题意，该长方体的宽和高为：， 则该长方体的长为， ． 答：长方体的体积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05 几何图形初步讲义(一) 1.常见的几何体的类型与特征 2.组合几何体的构成方式 3.立体图形的分类方法 4.几何体中的点.棱.面的认识 5.几何体的多方向视图(三视图) 6.几何体展开图的概念与识别 7.由展开图计算几何体的表面积 8.由展开图计算几何体的体积 9. 正方体几种展开图的类型识别 10. 正方体相对面的字符对应关系 11. 含图案正方体的展开图还原 12. 展开图中两点折叠后的实际距离计算 13. 补全面使展开图围成正方体 14. 平面图形形状的识别与区分 15. 七巧板的图形拼接应用 【知识点01】立体图形的定义 1.核心定义：各部分不都在同一平面内，占有一定空间的三维几何图形（也称为几何体或立体）。 2.补充关键特征： 维度属性：具有三维特征（长、宽、高），区别于只有长、宽的二维平面图形。 空间占有：占据实际的空间位置，有内部体积和外部表面积。 构成方式：由平面（如棱柱的面）或曲面（如圆柱的侧面、球面）围成，面与面相交形成棱（线），棱与棱相交形成顶点（点）。 【知识点02】平面图形的定义 1.核心定义：各部分都在同一平面内的几何图形，是由线段、曲线等围成的二维图形。 2.补充关键特征： 维度属性：仅具有二维特征（长、宽），无厚度，区别于有长、宽、高的三维立体图形。 构成形式：可由直线段首尾顺次连接围成（如三角形、长方形），也可由曲线围成（如圆），部分简单图形（如线段、角）虽未形成封闭区域，但仍属于平面图形范畴。 度量属性：核心度量指标为周长（围成图形的边线总长度）和面积（图形所占平面的大小），无体积概念。 3.与立体图形的核心差异对比 比维度 平面图形 立体图形 存在维度 二维（长、宽） 三维（长、宽、高） 空间占有 仅占平面区域，无空间体积 占有实际空间，有体积 核心度量指标 周长、面积 表面积、体积 【知识点03】常见立体图形分类及特征 立体图形按形状可分为柱体、锥体、球体，具体分类及特征如下： 1.柱体 *圆柱：2 个圆形底面（平行且全等），侧面为曲面，无棱与顶点。 *棱柱：2 个全等多边形底面（对应边平行），侧面为平行四边形，有棱与顶点，按底面边数命名（如三棱柱、四棱柱）。 2.锥体 *圆锥：1 个圆形底面，侧面为曲面，有 1 个顶点。 *棱锥：1 个多边形底面，侧面为三角形，有 1 个顶点，按底面边数命名（如三棱锥、四棱锥）。 3.球体：由单一曲面围成，无棱、无顶点，任意截面为圆。 【知识点04】常见平面图形及特征 平面图形是立体图形的 “面” 的基础构成，常见类型及特征如下： 图形名称 特征 线段 有 2 个端点，可度量长度 角 由公共端点的两条射线组成，有度数 三角形 由 3 条线段首尾顺次连接围成，内角和 180° 长方形 对边平行且相等，四个角为直角 正方形 四条边都相等，四个角为直角 平行四边形 对边平行且相等 圆 由曲线围成，有圆心、半径、直径，半径决定大小 【知识点05】立体图形与平面图形的转化 （一）从不同方向看立体图形（视图） 1.核心视图类型 *主视图：从正面观察得到的平面图形，反映高度与长度。 *左视图：从左面观察得到的平面图形，反映高度与宽度。 *俯视图：从上面观察得到的平面图形，反映长度与宽度。 2.视图核心关系 *长对正：主视图与俯视图长度一致且对齐。 *高平齐：主视图与左视图高度一致且对齐。 *宽相等：左视图与俯视图宽度一致。 3.作图原则：看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线。 (二）立体图形的展开图 1.定义：沿立体图形的棱剪开，表面展开成的平面图形，称为该立体图形的展开图。 2.常见展开图特征 *正方体：11 种展开图，分为 “一四一型（6 种）”“一三二型（3 种）”“二二二型（1 种）”“三三型（1 种）”，相对面在展开图中不相邻。 *圆柱：1 个长方形（侧面）+2 个全等圆形（底面）。 *圆锥：1 个扇形（侧面）+1 个圆形（底面）。 *棱柱：2 个全等多边形（底面）+ 若干个长方形（侧面）。 *棱锥：1 个多边形（底面）+ 若干个三角形（侧面）。 3.展开图判断技巧 *全是长方形 / 正方形→长方体 / 正方体。 *有三角形→三棱柱 / 棱锥。 *有长方形和圆→圆柱。 *有扇形和圆→圆锥。 【知识点06】点.线.面.体的关系 一、静态从属关系（构成关系） 体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。 体：是几何图形的最终形态（如正方体、圆柱），是点、线、面的集合体。 面：分为平面（如正方体的面、三角形）和曲面（如圆柱的侧面、球面），面是体的边界，无厚度但有大小。 线：分为直线（如正方体的棱）和曲线（如圆柱的底面圆周），线是面与面的交界，无粗细但有长度。 点：是线与线的交点（如正方体的顶点），是几何图形的最基本单位，无大小、无维度，仅表示位置。 二、动态生成关系（运动关系） 点动成线，线动成面，面动成体（几何图形的动态形成规律）。 1.点动成线：点沿固定方向或轨迹运动，轨迹形成线（直线或曲线）。 2.线动成面：线沿垂直于自身的方向或特定轨迹运动，扫过的区域形成面（平面或曲面）。 3.面动成体：面沿垂直于自身的方向或特定轨迹运动，扫过的空间形成体（立体图形）。 核心总结 1.静态视角：点是线的构成单位，线是面的构成单位，面是体的构成单位； 2.视角：几何图形可通过低维度要素的运动生成高维度要素，体现 “从简单到复杂” 的几何构成逻辑。 【知识点07】核心公式(基础班) 1.平面图形公式 *长方形周长：C=2(a+b)，面积：S=ab（a为长，b为宽）。 *正方形周长：C=4a，面积：S=a2（a为边长）。 *圆的周长：C=2πr，面积：S=πr2（r为半径）。 2.立体图形公式（基础） *长方体体积：V=abc（a,b,c为长、宽、高）。 *正方体体积：V=a3（a为棱长）。 *圆柱体积：V=πr2h（r为底面半径，h为高）。 易错点与注意事项 1.立体图形的 “展开图” 不唯一，同一立体图形剪开方式不同，展开图可能不同（如正方体）。 2.视图中，易忽略 “看不见的轮廓线画虚线” 的规则，导致作图错误。 3.混淆 “线段” 与 “直线”“射线”：线段有 2 个端点，直线无端点，射线有 1 个端点，三者不可混淆。 4.错误认为 “球有展开图”，球是曲面立体，无法展开成平面图形。 【知识点08】展开图的实用细节 1.正方体展开图的禁忌形式： *不存在 “田” 字形（四个正方形组成田字，无法折成正方体）； *不存在 “凹” 字形（五个正方形组成凹字，无法折成正方体）； *一行 / 一列超过 4 个正方形的展开图（除 “一四一型” 外）无法折成正方体。 2.展开图与实际应用： 如包装盒的设计（利用展开图计算用料面积）、圆柱侧面展开图为长方形时，长方形的长 = 圆柱底面周长，宽 = 圆柱的高（为后续圆柱侧面积计算铺垫）。 题型1.常见的几何体的类型与特征 【典例】如图是一幅几何体素描作品，则该作品中不存在的几何体是（     ） A．棱柱 B．棱锥 C．圆柱 D．球体 【跟踪训练1】下列标注的图形名称与图形不相符的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若一个棱柱有个面，底面为边长的正方形，每条侧棱长，则该棱柱的体积是 ． 题型2.组合几何体的构成方式 【典例】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是 ． 【跟踪训练1】玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【跟踪训练2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型3.立体图形的分类方法 【典例】将图中的几何体分类，多面体有 ，旋转体有 （填序号）． 【跟踪训练1】已知一个圆锥形零件的底面积是，高是，那么这个零件的体积是 ． 【跟踪训练2】在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 题型4.几何体中的点.棱.面的认识 【典例】若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【跟踪训练1】一个棱柱有14个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱长是 ． 【跟踪训练2】如果一个棱柱总共有条棱，那么这个棱柱有 个顶点． 题型5.几何体的多方向视图(三视图) 【典例】如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，若另取一个相同的小正方体，放在图中几何体标有数字的某一个正方体上面，则从左面看形状图不发生变化的是（    ） A．放在1或2的上面 B．放在3或4的上面 C．放在2或3的上面 D．放在1或4的上面 【跟踪训练1】如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形分别从上面、左面看到的形状，那么构成这个立体图形的小正方体最多有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【跟踪训练2】如图，水平放置的长方体的底面是边长为2和4的矩形，它从左面看形状图的面积为4，则长方体的体积等于 ． 题型6.几何体展开图的概念与识别 【典例】一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．圆锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【跟踪训练1】一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为 （π取）． 【跟踪训练2】如图，把一个长方体平均切成若干个小正方体，除底面外，其他面全部涂上颜色．两面涂色的小正方体有 个，一面涂色的小正方体有 个． 题型7.由展开图计算几何体的表面积 【典例】用一张长米，宽米的铁皮做一个圆柱形烟筒，这个烟筒的侧面积是多少平方米（接口处忽略不计）．（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 题型8.由展开图计算几何体的体积 【典例】如图所示的是一个长方体形状的包装盒的平面展开图，则这个包装盒的容积是 （包装材料厚度忽略不计）． 【跟踪训练1】已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【跟踪训练2】如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 题型9.正方体几种展开图的类型识别 【典例】下列各图中，不属于正方体展开图形的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，是分割并裁剪硬纸板得到的几个边长都相同的小正方形，若再剪去一个小正方形后的图形，是正方体的展开图，剪掉的小正方形不可能是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪训练2】用5个正方形拼接成如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，第6个正方形可放在 （填写序号）的位置； 题型10.正方体相对面的字符对应关系 【典例】如图是一个正方体的展开图，将展开图经过折叠围成正方体后，与“承”字所在面相对的面上的字是 ． 【跟踪训练1】一个正方体的六个面写着“祝你学习进步”六个字，正方体的展开图如图．“你”字的对面是 ，“进”字的对面是 ． 【跟踪训练2】如图是一个正方体的表面展开图，将其折成一个正方体后，与点E重合的点是（   ） A．点B和点C B．点A和点E C．点A和点B D．点C和点E 题型11.含图案正方体的展开图还原 【典例】小明用纸（如图）折成一个正方体盒子，里面装入礼物，与其他三个大小一样的正方体空盒子混在一起，根据观察，礼物所在的盒子是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图是一个正方体纸盒的展开图，则这个正方体是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 题型12.展开图中两点折叠后的实际距离计算 【典例】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【跟踪训练1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练2】如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少 ． 题型13.补全面使展开图围成正方体 【典例】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪训练1】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 种添加方式． 题型14.平面图形形状的识别与区分 【典例】下面几种几何图形中，属于平面图形的有（   ） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪训练1】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【跟踪训练2】有一张长和宽分别是5和4的长方形纸片，现在把它正好分成5张形状各不相同的长方形（包括正方形）纸片，且每张纸片的边长都为整数．这样的5张长方形纸片共有 种． 题型15.七巧板的图形拼接应用 【典例】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】下列拼图中，不是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图1，在边长为的正方形纸片上，以它的中心为圆心，以为半径作半圆；再分别以，为圆心，以为半径作四分之一圆，剪去图中的阴影部分，得到图．用两个图中的纸片，在每个纸片上各剪刀，再将剪成的四部分拼成一个正方形（无缝隙、无重叠），则不同的裁剪方法共有 种． 1．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．用图1所示的“七巧板”中的六块，拼成图2所示的“家”的图形，图1中没用上的那一块七巧板是（   ） A．④ B．⑤ C．⑥ D．⑦ 2．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是 ． 3．从四个选项中找出折叠后和已知正方体一致的图形（   ） A． B． B． C． D． 4．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为 ． 7．一根彩绳和A、B、C三个钉子围成如图的三角形，如果将三角形的一个角顶点处的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形， 则所钉成的长方形的面积是（  ） A．7或15 B．16或15 C．7或15或16 D．无数个答案 8．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 9．如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是 ． 10．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 11．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 12．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    13．图1中的正方形是由七巧板拼合而成（七块板之间不重叠、无缝隙），其中编号分别为①②③④⑤的图形是等腰直角三角形，编号分别为⑥⑦的图形是平行四边形（⑥号图形是正方形）． 某校数学兴趣小组对图1进行变换，从而得到一款新型七巧板． 变换方法如下：将图1中正方形的两条边的长度沿水平方向扩大至原来的倍，另外两条边长度保持不变，可得到一个新矩形（如图2）． 请利用图2设计新型七巧板（画出图1中的七块板在图2中的对应图形），并直接判断新型七巧板中的七块板的具体形状． 14．某种包装盒的展开图如图所示，边比边的三倍多2，边的长度为3分米（均不考虑包装盒的黏合处） (1)该包装盒的形状是______； (2)设的长为m分米，则边的长度为______分米，边的长度为______分米；（用含m的式子表示） (3)在（2）的条件下，若分米，现对包装盒外表涂色，每平方分米涂料的价格是元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 15．在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们用若干个正方形和长方形拼成一个长方体的展开图.拼完后，小明发现所拼图形多了一块． (1)请你帮小明把图中多余块涂黑； (2)长方体共有___________条棱，若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中修正后的平面图形，需要剪开___________条棱； (3)根据图中的数据，求出修正后的展开图所折叠而成的长方体的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $