精品解析：北京市北京师范大学亚太实验学校2025--2026学年九年级上学期期中数学试卷

北京师范大学亚太实验学校 2025—2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 2025.11 试卷说明：本次考试满分100分，考试时间：120分钟． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，线段是的直径，弦，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 5. 某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2023年投入2.5亿元，预计2025年投入3.2亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A. B. C. D. 7. 数学课上，邱老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于． 求作：弧的中点D． 同学们分享了如下四种方案： ①如图1，连接，作的垂直平分线，交于点D． ②如图2，过点O作的平行线，交于点D． ③如图3，作的平分线，交于点D． ④如图4，在射线上截取，使，连接，交于点D． 上述四种方案中，正确的方案的序号是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 8. 如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是______． 10. 已知二次函数，若它的图象经过点，则 ___ （填>，<，或=） 11. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 12. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 __m． 13. 如图，中，，， 将绕点A逆时针旋转度（）后得到，点E恰好落在上，则的值为______． 14. 已知抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是_____． 15. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______． 16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要___________间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间. 三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内部任意一点，请直接写出这个点绕着点顺时针旋转得到的点的坐标． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象直接写出函数值y的取值范围； （4）若直线与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围． 22. 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若，，求的长． 23. 如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为． （1）①当运动停止时，的值为 　　． ②设，之间的距离为，则与满足 　　（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ． （2）设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示）； ②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？ 24. 如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． （1）连接，则_______； （2）求证：与相切； （3）点F在上，，交于点N．若，求的长． 25. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 26. 平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点，求t的值； （2）若抛物线上存在两点，，其中，，且，求t的取值范围． 27. 如图，在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作的角平分线交边于点，连接并延长交射线于点，连接． 图1 备用图 （1）依题意补全图1，求的大小； （2）写出线段与的数量关系，并证明； （3）连接，点是的中点，，直接写出线段的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形，点为图形上任意一点，点为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点． （1）当时，记线段为图形． ①画出图形； ②若点为图形，则“转后距”为__________； ③若线段为图形，求“转后距”； （2）已知点在点的左侧，点，记线段为图，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学亚太实验学校 2025—2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 2025.11 试卷说明：本次考试满分100分，考试时间：120分钟． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键． 3. 如图，线段是的直径，弦，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理、邻补角的定义，理解并掌握相关性质定理是解决问题的关键； 根据垂径定理可得，进而可得，则可求. 【详解】解：∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 4. 如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A. 6＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18 C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20 【答案】C 【解析】 【分析】由x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0，根据函数的连续性知，6.18<x<6.19内的某个值时，函数值y=0，即可得出方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围． 【详解】解：x=6.18时，y=-0.01<0，x=6.19时，y=0.02>0， 根据函数的连续性知，6.18<x<6.19内的某个值时，函数值y=0， 则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是C． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质即连续性以及增减性是解题关键． 5. 某市为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2023年投入2.5亿元，预计2025年投入3.2亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，解题的关键是掌握增长率问题的公式：增长后的量增长前的量为增长次数． 根据增长率问题的公式，结合2023年到2025年的增长次数，列出2025年教育经费的表达式，再根据题意列方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为， 因为2023年投入2.5亿元，从2023年到2025年经过了2年， 所以2025年的投入金额为亿元， 可列方程：． 故选：D． 6. 某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得顶点坐标为，再结合，即可确定坐标轴的位置． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∵， ∴抛物线与的交点为顶点， ∴为y轴， ∵二次函数与y轴的交点为，且， ∴为x轴， 故答案为：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴与点的位置关系是解题的关键． 7. 数学课上，邱老师提出如下问题： 已知：如图，是的直径，射线交于． 求作：弧的中点D． 同学们分享了如下四种方案： ①如图1，连接，作的垂直平分线，交于点D． ②如图2，过点O作的平行线，交于点D． ③如图3，作的平分线，交于点D． ④如图4，在射线上截取，使，连接，交于点D． 上述四种方案中，正确的方案的序号是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图方法，逐个推理证明即可． 【详解】解：①如图1， 由作图可知，的垂直平分线经过圆心O，因为，所以，点D是弧的中点； ②如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 所以，点D是弧的中点； ③如图3， ∵， 所以，点D是弧的中点； ④如图4，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 所以，点D是弧的中点； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行证明推理． 8. 如图，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：根据题意和图形可知：，，所以与之间函数关系的大致图象是． 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象和性质； 分两种情况：①当该函数是一次函数时，；②当该函数是二次函数时，，，据此可求出a的值． 【详解】解：①当关于x的函数是一次函数时， 可得：； ②当关于x的函数是二次函数时， ∵图象与x轴只有一个交点， ∴，， 解得：， 综上，a的值是0或， 故答案为：0或． 10. 已知二次函数，若它的图象经过点，则 ___ （填>，<，或=） 【答案】> 【解析】 【分析】首先求出二次函数的对称轴为，然后根据二次函数的对称性得到点A的对称点为，最后根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为， ∴点A关于对称轴对称的点的坐标为， ∵， ∴图像开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：>． 【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据题意求出点A关于对称轴对称的点的坐标． 11. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 12. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 __m． 【答案】4 【解析】 【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 13. 如图，中，，， 将绕点A逆时针旋转度（）后得到，点E恰好落在上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据旋转的性质，得到，三角形的内角和定理，结合等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 14. 已知抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、解一元二次方程，根据抛物线，可以求得该抛物线与x轴的两个交点坐标，然后根据抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为， ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2， ∴， 故答案为：． 15. 如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，以点为圆心，长为半径画圆，再根据图形即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 取中点，连接，则， 以点为圆心，长为半径画圆，如图所示： 由图可知，点都在内， ∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内， 故答案为：． 16. 某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要___________间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要___________间三人间. 【答案】 ①. 1 ②. 8 【解析】 【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间； （2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满． 【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元， 因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间， 花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间， 故答案为：1； （2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元， 此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间， 设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间， 则，， 当，时，满足， 因此27个男生租12个两个间，1个三个间， 此时还剩两人间：（个）， 因此m可以取3，2，1，0， 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，符合题意； 因此需要租三人间：（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件． 三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18-23题每题5分，第24-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 ， ， ， 解得． 18. 已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，整体代入是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内部任意一点，请直接写出这个点绕着点顺时针旋转得到的点的坐标． 【答案】（1） 根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求； 此时点． （2） 【解析】 【分析】（1）让三角形的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点，顺次连接，然后从图形中读点的坐标即可． （2）根据旋转变化的规律，写出一般式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据旋转的规律，交换横纵坐标，且横坐标取绝对值后变成纵坐标故点旋转后对应点坐标为． 【点睛】本题考查了旋转作图，正确理解旋转的意义是解题的关键． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系，因式分解法解一元二次方程． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）求得a的最小整数值，代入得到，然后利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴a的最小整数值为0， 此时方程为， 则， 解得：，． 21. 已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，结合图象直接写出函数值y的取值范围； （4）若直线与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … ∴如图为所求图象， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．正确地画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将一般式经过配方，转化为顶点式即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象即可； （3）结合图象，求出函数在此范围内的最大值和最小值即可； （4）图象法求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， 由图象可知：当越接近时，值越大，时，的值为：0，当时，有最小值为：， ∴； 【小问4详解】 由题意，可知：直线在抛物线的下方， ∴． 22. 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若，，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 23. 如图，中，，，．动点，分别从，两点同时出发，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动，当，到达终点，时，运动停止．设运动时间为． （1）①当运动停止时，的值为 　　． ②设，之间的距离为，则与满足 　　（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” ． （2）设的面积为， ①求的表达式（用含有的代数式表示）； ②求当为何值时，取得最大值，这个最大值是多少？ 【答案】（1）①，②一次函数关系； （2）①；②，的值最大为6 【解析】 【分析】（1）①由已知可得，当运动停止时，t的值为6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案； （2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1时，S的值最大为6． 【小问1详解】 ①，，点沿边向以每秒3个单位长度的速度运动，点沿边向以每秒4个单位长度的速度运动， 当运动停止时，的值为， 故答案为：2； ②由已知可得；， 而， ， ，是一次函数， 故答案为：一次函数关系； 【小问2详解】 ①由已知可得：，， ； ②， 且， 时，的值最大为6． 【点睛】本题考查了函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示、的长度． 24. 如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． （1）连接，则_______； （2）求证：与相切； （3）点F在上，，交于点N．若，求的长． 【答案】（1）； （2） 证明：∵，是的直径， ∴， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （3） 【解析】 【分析】（1）由，和M是的中点，利用三角函数可以得到； （2）只需证明，便可以得到与相切； （3）连接，，证明，，根据特殊角的三角函数值可以得到的数值． 【小问1详解】 解：如图1，连接，， ∵是的直径，， ∴垂直平分， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，连接，， ∵于M， ∴M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， 在中，，，， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值，等比三角形的判定与性质的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力． 25. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 【答案】（1）①；② （2）能 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【小问1详解】 解： ①由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为米， 故答案为：； ②由题意可知，抛物线的顶点为. 设抛物线解析式为. 当时，， ，解得. 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 能. 理由：令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， ， ∴野兔此次跳跃能跃过小溪． 故答案为：能． 26. 平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点，求t的值； （2）若抛物线上存在两点，，其中，，且，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数关系式可知函数经过点，由函数的对称性即可求解； （2）由函数的对称性可得，求的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 ∴函数经过点， ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴点和点关于对称， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是抛物线上的两点，且， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和中点公式是解题的关键． 27. 如图，在正方形中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作的角平分线交边于点，连接并延长交射线于点，连接． 图1 备用图 （1）依题意补全图1，求的大小； （2）写出线段与的数量关系，并证明； （3）连接，点是的中点，，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）补全图形如图； （2） 解：，证明如下： 如图，连接，，， 由题意得：，， 垂直平分， ， ， ， ， ， 在正方形中， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）线段的最小值为 【解析】 【分析】（1）补全图形如图，先用含的式子表示和，再利用三角形内角和计算求解即可； （2）如图，连接，，，先证垂直平分，得到是等腰直角三角形，进而证明，得，即可得出结论； （3）如图，连接、，交点为，先证是的中位线，得，由三角形三边关系知，进而得到当点在线段上时，最小，此时，求出结论即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， ， 在正方形中，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、，交点为， 由正方形的性质可得，，，为的中点， ∴， 又是的中点， 是的中位线， ， 由题意知，， ∴当点在线段上时，最小，此时： ， 最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，中位线，余弦等知识．添加辅助线构造相似三角形是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，旋转角满足，对图形与图形给出定义：将图形绕原点逆时针旋转得到图形，点为图形上任意一点，点为图形上的任意一点，称长度的最小值为图形与图形的“转后距”．已知点，点，点． （1）当时，记线段为图形． ①画出图形； ②若点为图形，则“转后距”为__________； ③若线段为图形，求“转后距”； （2）已知点在点的左侧，点，记线段为图，线段为图形，对任意旋转角，“转后距”大于，直接写出的取值范围． 【答案】（1） ①线段即为图形即为所作； ②；③ （2）或 【解析】 【分析】（1）①取点，连接即可； ②线段的长即为所求； ③如图中，连接，过点作于，过点作于，求出线段的长即可； （2）如图3中，由题意记线段为图形，线段为图形，其中旋转角为，设逆时针旋转后得，点是点的对应点，点是点的对应点，过点作于点，过点作于点，先分别求出当时， 当时，当时的“转后距”，再结合图像即可得出满足条件的的值． 【小问1详解】 解：①如图，取点，连接、， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴线段绕原点逆时针旋转得到线段，即为图形， ②点为图形， ∴， 观察图像可知图形除点外都在第二象限， ∴“转后距”为：， 故答案为：； ③如图2中，连接，过点作于，过点作于， ∵，， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴“转后距”为； 【小问2详解】 如图3中，由题意记线段为图形，线段为图形，其中旋转角为，设逆时针旋转后得，点是点的对应点，点是点的对应点，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， 当时，，则， ∴当时，“转后距”大于， 当时，，则， 当时，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当时，“转后距”大于， ∴满足条件的的取值范围为：或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，坐标与图形，勾股定理及勾股定理的逆定理，两点间距离，相似三角形的判定和性质，“转后距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图像法并结合特殊点解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $