精品解析：福建省 厦门市海沧区鳌冠学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

厦门市海沧区鳌冠学校2025—2026学年 第一学期期中考试 初三年数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题有且只有一个选项正确） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了顶点式解析式的组成特点：中顶点坐标为．据此即可求解． 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是， 故选：A． 3. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程判断即可； 【详解】解：x2=2x，x2-2x=0，x（x-2）=0，解得：x=0或x=2， 故选： D． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得，旋转角为和． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转至，点C的对应点是E， ∴旋转角为和． 故选：C． 5. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长（降低）率问题，解题的关键是熟练掌握现价和原价与增长（降低）率的关系．根据原价是元，平均每次降价的百分率是，得到经过两次降价为元，列出一元二次方程即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率是，原价是元， 经过一次降价的价格为，经过两次降价的价格为， 经过两次降价为， ， 故选：A． 6. 用配方法将一元二次方程变形为的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】 移项得， 配方得， 故选:D. 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是注意： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 7. 如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它绕点C旋转一定角度，扶起平放在地面上(如图)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为（ ） A. 75° B. 25° C. 115° D. 105° 【答案】D 【解析】 【分析】连结AC并且延长至E，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【详解】如图：连结AC并且延长至E， 因为∠DCE=180°-∠DCB-∠ACB=105°，即旋转角为105°， 所以灰斗柄AB绕点C转动的角度为105°． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到∠DCE的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 8. 已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　） A. x0＞﹣5 B. x0＞﹣1 C. x0＞﹣3 D. ﹣5＜x0＜﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知该函数开口向上，有最小值，从而可得关于x0的不等式，进而可得答案． 【详解】解：∵两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点， ∴若y1＞y2≥y0，则此函数开口向上，有最小值， ∴＜x0≤﹣1或x0≥﹣1， 解得：x0＞﹣3 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，明确题意、找出所求问题需要的条件、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 若1是关于x的方程的根，则a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】把1代入方程即可． 【详解】解：把1代入方程得， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的做法，能够正确代入方程计算是解题关键． 10. 点关于原点对称的点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中关于原点对称的点的特征，根据关于原点对称的点的坐标规律，点的横坐标和纵坐标都变为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为， 故答案为． 11. 一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 写出一个开口向上，与y轴交于点的抛物线的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0，常数项为4即可． 【详解】解：由题意可得函数表达式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记时，抛物线开口向上；时，抛物线开口向下，是解题的关键． 13. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：依题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则小球滑行至停止所用时间为____________秒． 【答案】6 【解析】 【分析】根据函数图象并结合s与t的关系求解即可． 【详解】解：由图可得，当时，滑行距离最大，即此时小球停止， 故答案为：6． 【点睛】本题考查二次函数的应用，利用数形结合思想进行分析是解题的关键． 15. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】作轴于H，由题可得，即可求出和，由第二象限点的特征横坐标为负数纵坐标为正数即可 【详解】解：如图，作轴于H． 由题意：， ∴， ∴， ， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，①；②；③；④以上结论正确的是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，根据旋转的性质，得到，，进而推出为等腰直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∵A，D，E在同一条直线上， ∴，故②正确； ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴；故④错误； 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据直接开平方法进行求解方程即可； （2）根据配方法求解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简，再代入求值，即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 19. 如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵且交的延长线于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，则，而，即可根据证明，则． 【详解】略 20. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，画出二次函数的图象，掌握相关知识是解答此题的关键． （1）抛物线变形为，可得顶点坐标； （2）列表，描点，连线即可； （3）因为抛物线开口向上，所以当时抛物线有最小值，再求、时的函数值结合函数图象可求的范围． 【小问1详解】 解：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：列表： X … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 【小问3详解】 解：由题意，当时抛物线有最小值； 当时，； 当时，， 由图象可知，当时，． 故答案为：． 21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 22. 如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到（点与点对应，点与点对应），点D恰好落在上． （1）用尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，交于点，求的度数． 【答案】（1）如图：即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）先以为圆心，长为半径作弧交于，再作，再截取，连接； （2）根据旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴由旋转的性质可得：，，， ， ∴， ． ， ． 23. 根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材 为了加强劳动教育，落实五育并举，厦门市某中学拟建一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜. 素材 甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元. 问题解决 任务 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式. 任务 设计种植方案 （2）设年甲、乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值. 任务 预计下降率 （3）学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？ 【答案】任务：；任务：甲种蔬菜种植、乙种蔬菜种植时，最小，的最小值为；任务：时，年的总种植成本为元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式和二次函数的最值是解题的关键． 任务1：利用待定系数法求解即可； 任务2：将种植乙种蔬菜的面积用含的代数式表示出来，根据“种植甲种蔬菜每平方米的成本种植甲种蔬菜的面积种植乙种蔬菜每平方米的成本种植乙种蔬菜的面积”写出关于的表达式，再根据二次函数的图象特征及的取值范围求出当为何值时值最小，即可求解； 任务3：按“任务二”中种植方案，分别计算年种植甲种蔬菜和乙种蔬菜的成本，根据题意列方程并求解即可． 【详解】解：任务：设， 将点，代入得， 解得， ； 任务：， 整理可得， ，， 当时，最小，的最小值为， 即甲种蔬菜种植、乙种蔬菜种植时，最小，的最小值为； 任务：按“任务二”中种植方案，年种植甲种蔬菜的成本为（元），种植乙种蔬菜的成本为（元）， 根据题意得， 解得，（，舍去）． 答：时，年的总种植成本为元． 24. 如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接 （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用 证明 , 即可得出答案; （2） ①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答； ② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答； 【小问1详解】 ， 证明： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ， 【小问2详解】 ①当 时， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴； 故答案为； ②，理由如下： 延长 到 ，使 ，连接 、， ∵ 为 的中点， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∴ 且 ， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键 25. 如图1所示，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于A和两点，与轴交于点，对称轴是直线．点P，Q在此抛物线上，点的横坐标是点横坐标的两倍，且都是正数． （1）则_____________；_____________； （2）点绕着点逆时针旋转到，判断直线与点的位置关系； （3）连接OP，当的面积等于此抛物线位于点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出点横坐标的值_____________． 【答案】（1），1 （2）点B在直线上 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、直角三角形的性质、一元二次方程的应用等知识点．掌握分类讨论思想是解答本题的关键． （1）由二次函数对称轴为求出a值，然后把点C坐标代入抛物线解析式求出c值即可解答； （2）根据的三个顶点坐标求出三边长度，由勾股定理逆定理得出，即可得出点B在直线上． （3）由抛物线解析式求出顶点纵坐标，然后根据P、Q两点与对称轴的位置关系：在对称轴左侧、两侧及右侧进行讨论．由的面积等于之间对应的最大纵坐标和最小纵坐标之差建立等量关系，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为：，则． 把点C坐标代入得：． 故答案为：，1． 【小问2详解】 解：抛物线解析式为，令，则， ∴， ∴， 又∵． ∴， ∴如图∶点A绕点C逆时针旋转后，正好落在直线上．． ∴点B在直线上． 【小问3详解】 解：∵． ∴抛物线顶点坐标为． 由题意可知抛物线对称轴为， 如示意图， 根据P、Q两点和对称轴的位置关系分为三种情况： ①P、Q两点都在对称轴左侧： 此时，，即． ∵， ∴， 整理得：．则，无符合题意的解． ②P、Q两点在对称轴两侧： 这时，即且． 根据抛物线图象可知，当时，即时，P、Q两点关于对称轴对称． 当时，，则， ∴，解得，故无符合题意的解． 当时，，则， ∴， 整理得：，解得∶ ，符合题意． ③P、Q两点都在对称轴右侧： 此时，则． ∴， 整理得：．则，无符合题意的解． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市海沧区鳌冠学校2025—2026学年 第一学期期中考试 初三年数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分.每小题有且只有一个选项正确） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 5. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法将一元二次方程变形为的形式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C=25°，小贤同学将它绕点C旋转一定角度，扶起平放在地面上(如图)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为（ ） A. 75° B. 25° C. 115° D. 105° 8. 已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　） A. x0＞﹣5 B. x0＞﹣1 C. x0＞﹣3 D. ﹣5＜x0＜﹣1 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 若1是关于x的方程的根，则a的值为___________． 10. 点关于原点对称的点的坐标是______. 11. 一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_____． 12. 写出一个开口向上，与y轴交于点的抛物线的函数表达式：______． 13. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 14. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则小球滑行至停止所用时间为____________秒． 15. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是______ 16. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，①；②；③；④以上结论正确的是_________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是平行四边形，且交的延长线于点E，于点F．证明． 20. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象： （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围___________． 21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 22. 如图，在中，将绕点A逆时针旋转，得到（点与点对应，点与点对应），点D恰好落在上． （1）用尺规作出（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，交于点，求的度数． 23. 根据以下素材，探索完成任务.如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材 为了加强劳动教育，落实五育并举，厦门市某中学拟建一处劳动实践基地，年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜. 素材 甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为元. 问题解决 任务 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式. 任务 设计种植方案 （2）设年甲、乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值. 任务 预计下降率 （3）学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当为何值时，年的总种植成本为元？ 24. 如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接 （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 25. 如图1所示，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于A和两点，与轴交于点，对称轴是直线．点P，Q在此抛物线上，点的横坐标是点横坐标的两倍，且都是正数． （1）则_____________；_____________； （2）点绕着点逆时针旋转到，判断直线与点的位置关系； （3）连接OP，当的面积等于此抛物线位于点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点纵坐标的差时，直接写出点横坐标的值_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $