精品解析： 重庆市渝北区实验中学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

渝北区实验中学校2025—2026学年度第一学期半期考试初二 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：边上的高有两个条件：①经过点，②垂直． 只有A符合要求． 故选：A． 3. 木工师傅要把两根长分别为的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三根木条的长度范围即可得到答案． 【详解】解；由题意得，第三根木条的长， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 4. 如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是关键． 如图：延长交于F，再根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图：延长交于F， ∵， ， ． 故选：C． 5. 如图，，点A和点D，点B和点E是对应点，B、C、D在同一直线上，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，可得：，，再根据求出结果． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：D． 6. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形的周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长是. 故选：C． 7. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键． 支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：B． 8. 根据下列条件能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、满足，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； B、，不满足三边关系，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、满足角边角，能唯一确定三角形．本选项符合题意， D、角角角，不能确定唯一三角形．本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 点P(-2，3)，则点P关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点P（-2，3）， ∴点P关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3）． 故答案为：（-2，-3）． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 13. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分已知边是腰长或底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①当是腰长时， 底边为， ∵， ∴、、不能组成三角形； ②当是底边时， 腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为. 故答案为：． 14. 如图，在中，平分，．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过D作于F，利用角平分线的性质定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解： 过D作于F， ∵平分，，， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，D、F为上的点，且F为的中点，，连接是上的一点，，连接，若的面积是5，则的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线. 根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：为的中点， 的面积的面积， 设的面积的面积， ，， ，即， 解得， ，， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．先证明，推出，，证明是等边三角形，求得，取的中点，连接，证明是等边三角形，求得，求得，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先由线段和得到，再由平行线的性质得到，再结合已知条件即可证明． 【详解】略 18. 如图，，M，N分别是上的点，小亮想在中画出与对应的线段，并说明．现在邀请你作为他的学习伙伴，请根据他的想法与思路完成作图（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）和填空． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作___①___，交于点Q． ， ∴___②___（全等三角形对应角相等）． 在和中， （____③___）． （___④___）． 【答案】①；②；③；④全等三角形对应边相等 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，作合理的图形，根据题意作，由可推出，从而得证，再由全等三角形对应边相等，得到． 【详解】解：如图所示： 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作，交于点Q． ， ∴（全等三角形对应角相等）． 在和中， ． （全等三角形对应边相等）． 故答案为：①；②；③；④全等三角形对应边相等． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义求出，再由高的定义求出，再由计算即可得解； （2）由题意求出，再计算出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图所示，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，AE=CF，BD交AC于点M． （1）试猜想DE与BF的关系，并证明你的结论； （2）求证：MB=MD． 【答案】（1） 解：DE与BF的关系可以有DE=BF成立，理由如下： ∵AE=CF，AF=AE+EF， CE=CF+EF ∴AF=CE 又∵BF⊥AC,DE⊥AC ∴∠BFA=∠DEC=90° 在Rt△ABF和Rt△CDE中 ∴Rt△ABF≌Rt△CDE （HL） ∴DE=BF （2） 证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE ∴BF=ED 在△BFM和△DEM中 ∴△BFM≌△DEM （AAS） ∴MB=MD 【解析】 【分析】（1）根据DE⊥AC，BF⊥AC可以证明DEBF；再求证Rt△ABF≌Rt△CDE可得BF=DE，即可解题； （2）根据（1）中结论可证△DEM≌△BFM，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△ABF≌Rt△CDE是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； （2）已知P为y轴上一点，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，和为所求： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及利用三角形面积公式求点的坐标． （1）先确定各顶点的位置，并依次在坐标系中连接即可，再找出各顶点关于x轴的对称点，根据关于x轴对称的点的坐标特征可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到对称点后并依次连接即可得到； （2）由题意得，，然后求出，再分类讨论求解点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， 解得， ∵， ∴，即； 或，即， ∴点P的坐标为或． 22. 如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2） 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 小浩与爸妈在公园里荡秋千．如图，小浩坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小浩的？ 【答案】（1） 解：由题意可知，， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴ （2）爸爸是在距离地面的地方接住小丽的． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，，证明， 则； （2）由全等三角形的性质得到，，则，又由即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的． 24. 如图1，在中，，，，交于点D． （1）求证：平分； （2）如图2，若的平分线交于点E，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）先由三角形内角和定理得到，再根据等边对等角得到，则，故，即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图，在中，，点D是底边上一点，连接为射线上一点，以A为顶点，为边在右侧作等边三角形． （1）如图1，点D与点E重合，，过F作于点G，若，时，求的长度； （2）如图2，点D与点E重合，，H为中点，与相交于点N，当时，求证：； （3）如图3，，平分，将沿翻折得到，点E为射线与直线的交点，点D在边上运动的过程中，当最小时，过C作直线，在直线m上有一动点K，当的值最小时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） 证明：如下图所示，在上截取，连接， ，， ， 为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， ； （3） 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理即可求出的长度； 在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质可证，利用全等三角形的性质可证，，利用可证，利用全等三角形的性质可证结论成立； 根据等边三角形的性质和垂线段最知，可知当时，最小，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，交直线于点，连接交直线于点，则的值最小，可证，，从而可知是等边三角形，利用等边三角形三个内角都是可以求出，再根据角之间的关系即可求出的度数． 【小问1详解】 解：如下图所示，连接， ，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 则有， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图，设直线m与交于点，与直线m交于点， 为等边三角形， ， 当最小时，最小， 当时，最小， ，， ， 平分， ， 由折叠可知， 在中，， ， 直线， ， ，，， 如下图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，交直线于点，连接交直线于点，则的值最小， 直线， ， ， ， 又， ， 又， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义及动点最值等知识点，综合性强，题目难度大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北区实验中学校2025—2026学年度第一学期半期考试初二 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，过的顶点B，作边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 木工师傅要把两根长分别为的木条钉成三角形木架，第三根木条不能选取的长（　　） A. B. C. D. 4. 如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得，，则直线与所夹锐角的大小为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，，点A和点D，点B和点E是对应点，B、C、D在同一直线上，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，若使其能够在支点上保持平衡，则薄板与支点的接触点应该是（ ） A. 三角形匀质薄板三边垂直平分线的交点 B. 三角形匀质薄板三边中线的交点 C. 三角形匀质薄板三条角平分线的交点 D. 三角形匀质薄板三边上高的交点 8. 根据下列条件能画出唯一确定的的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 点P(-2，3)，则点P关于x轴对称的点的坐标是________． 12. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是________（从“”中选择一个回答）． 13. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为________． 14. 如图，在中，平分，．若，，则________． 15. 如图，在中，D、F为上的点，且F为的中点，，连接是上的一点，，连接，若的面积是5，则的面积是________． 16. 如图，是等边三角形，E、D分别为边上两动点，且，连接交于点G，点F为线段上一动点，且，在运动过程中，当，时，的值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 已知：如图，，，．求证：． 18. 如图，，M，N分别是上的点，小亮想在中画出与对应的线段，并说明．现在邀请你作为他的学习伙伴，请根据他的想法与思路完成作图（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）和填空． 解：以D为圆心，的长为半径作弧，交于点P；以点P为顶点，在右侧作___①___，交于点Q． ， ∴___②___（全等三角形对应角相等）． 在和中， （____③___）． （___④___）． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 20. 如图所示，E、F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，AE=CF，BD交AC于点M． （1）试猜想DE与BF的关系，并证明你的结论； （2）求证：MB=MD． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； （2）已知P为y轴上一点，且的面积为，求点P的坐标． 22. 如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． （1）求证：； （2）求证：． 23. 小浩与爸妈在公园里荡秋千．如图，小浩坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小浩的？ 24. 如图1，在中，，，，交于点D． （1）求证：平分； （2）如图2，若的平分线交于点E，求证：． 25. 如图，在中，，点D是底边上一点，连接为射线上一点，以A为顶点，为边在右侧作等边三角形． （1）如图1，点D与点E重合，，过F作于点G，若，时，求的长度； （2）如图2，点D与点E重合，，H为中点，与相交于点N，当时，求证：； （3）如图3，，平分，将沿翻折得到，点E为射线与直线的交点，点D在边上运动的过程中，当最小时，过C作直线，在直线m上有一动点K，当的值最小时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $