精品解析：江西省鹰潭市第二中学2025-2026学年九年级上学期数学期中卷

江西省鹰潭市第二中学2025-2026学年九年级上学期数学期中卷 一、单选题 1. 某班共有学生31名，其中男生11名．老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此， ∵某班共有学生31名，其中男生11名， ∴老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是. 故选B． 考点：概率． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：一元二次方程是形如的整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．含有两个未知数，不是一元二次方程； B．未知数的最高次数是3，不是一元二次方程； C．分母含有未知数，不是一元二次方程； D．符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 故选：D． 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 4. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m、n是关于x的方程的两个根， ∴，， ∴， 故选A 5. 若则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，关键是得到，． 根据，可得，，再代入约分即可求解． 【详解】解：， ，， ． 故选：A． 6. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由勾股定理求出，根据证明，得出，，运用面积法可求出． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故选：C． 二、填空题 7. 若a 是方程的一个根，则代数式____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值．把代入方程即可． 【详解】解：∵a 是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2 8. 已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的面积计算，准确记住公式并正确计算是解题的关键．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据菱形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：菱形的面积． 故答案为：． 9. 一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数是解答本题的关键．先画列表展示所有 种等可能的结果数，再找出两次均摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红1 红2 白1 白2 红1 红2，红1 白1，红1 白2，红1 红2 红1，红2 白1，红2 白2，红2 白1 红1，白1 红2，白1 白2，白1 白2 红1，白2 红2，白2 白1，白2 摸球的结果共有 12种等可能结果，其中两次均摸到红球的有 2 种结果， 所以两次摸出的球都是红球的概率是． 故答案为：． 10. 如图，在长方形中，是边的中点，是边上任意一点，连接，把沿着折叠，使点落在处当为直角时，的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠综合问题，根据，利用矩形与折叠的性质得出，进而可得，则，即可求解， 【详解】解：∵E是边的中点，， ∴， 当时，如图： ， 矩形沿折叠，使点落在点处， ， ∴， ∴； 故答案为：3． 11. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 12. 在矩形中，，点是射线上一动点，连接，作线段的垂直平分线，分别交所在直线于点，交所在直线于点与交于点，连接、．连接，当点在射线上移动，且当是等腰三角形时，则长为_____． 【答案】或或5 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， 当时，是等腰三角形． 设，则， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，即． ∴． ∵，， ∴． ∴，即，解得． 如图4，当时，是等腰三角形． 点与点重合，． 与在中，，，， 由勾股定理得， ∴． 如图5，当时，是等腰三角形． ∵，， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，，． ∵，， ∴． ∴，即，解得． 综上所述：或或． 故答案为：或或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是合理分类讨论． 三、解答题 13. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法． （1）使用公式法求解； （2）使用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：， ∴ ， ∴  或 ， ∴ ． 14. 如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证： （1）四边形是平行四边形 （2）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边平行得出，又，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的对边相等得出，根据矩形的对角线相等得出，等量代换即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质．掌握矩形的性质是解题的关键． 15. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】（1） 线段即为所求， （2） 点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，已知． （1）与相等吗？请说明理由． （2）判断与是否相似，并说明理由． 【答案】（1） 解：相等．理由如下： ， ， ， 即， ． （2） 解：相似．理由如下： ， ． ， ． 【解析】 【分析】（1）由条件可得，可得，再利用角的和可得到结论； （2）由题意即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握两三角形的三边分别对应成比例可判定两三角形相似是解题的关键． 17. 如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）证，得，则，过D作于M，由勾股定理得，，进而即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得：四边形为矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 18. 2025赛季赣超第12轮展开角逐，鹰潭队坐镇主场迎战景德镇队，吸引了大量观众前往鹰潭奥体中心现场观看比赛。 （1）【赣超效应】比赛期间许多外地游客来鹰潭游玩，经估算，第一天鹰潭接待外地游客约2万人次，第三天接待外地游客约万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】鹰潭龙虎山近年实施保护性开发，古越水街等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元；当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）售价应降低2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为x， 由题意得： ， 解得 ，（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去）， 答：售价应降低2元． 19. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空： cm， cm；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当为何值时，的长度等于？ 【答案】（1）， （2）存在，当或3 （3）， 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据题意可直接求解； （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值； （3）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． 【小问1详解】 解：由题意，得，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 由题意，得， 解得：，， 当或3时，的面积等于． 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理，得， 解得：，． 20. 将两个等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内），求证： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） 证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴； （2） 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 由（1）可得， ∴， （3） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由是的外角得出，根据，即可得证； （2）由和是等腰直角三角形可证明，再（1）的结论，根据相似三角形的判定定理可得结论． （3）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （3）在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 【答案】（1）50人， 补全条形统计图如下： （2）等级C所对应扇形的圆心角的度数 （3）从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用树状图或表格求概率； （1）先由成绩优秀的学生人数除以所占百分比求出一共随机抽取的学生人数，然后用抽取学生总人数减去其余组的人数求出等级C人数，据此补全条形统计图 即可解决问题； （2）根据等级C人数所占的百分比乘以，求出等级C所对应扇形的圆心角的度数即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人恰好是一男一女的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生人数为人， 等级C人数是人， 【小问2详解】 解：等级C所对应扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的结果有4种， ∴从这3人中随机所选2人中恰好是1男1女的概率为． 22. 如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． （1）求证：； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2） 证明：由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与交于点，． （1）求直线的解析式； （2）连接，，点在直线上，若的面积为，四边形的面积为，当时，求点的坐标； （3）直线上有一点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（）求出点坐标，进而得出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点和点坐标，可得，设点，分点在点的下方和点在点的上方两种情况解答即可求解； （）分为菱形的对角线；菱形的边，点在点左边；菱形的边，点在点右边三种情况，画出图形，利用菱形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，菱形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 把，代入直线得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由，解得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点， 当点在点的下方时，如图， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点的上方时，如图， 则， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当为菱形的对角线时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，即此时点与点重合， ∵点与点关于轴对称， ∴； 当菱形的边，点在点左边时，如图①，设与轴相交于点，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴或， ∴或； 当为菱形的边，点在点右边时，如图②， ∵， ∴此时点与点重合，四边形是正方形， ∴； 综上，平面直角坐标系内存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省鹰潭市第二中学2025-2026学年九年级上学期数学期中卷 一、单选题 1. 某班共有学生31名，其中男生11名．老师随机请一名同学回答问题，则男生被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 若则的值是（ ） A. 3 B. 6 C. 15 D. 18 6. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，点在边上，且，连接，过点作分别交、于点E、M，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 若a 是方程的一个根，则代数式____． 8. 已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是___________ 9. 一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是____________. 10. 如图，在长方形中，是边的中点，是边上任意一点，连接，把沿着折叠，使点落在处当为直角时，的长为____________． 11. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 12. 在矩形中，，点是射线上一动点，连接，作线段的垂直平分线，分别交所在直线于点，交所在直线于点与交于点，连接、．连接，当点在射线上移动，且当是等腰三角形时，则长为_____． 三、解答题 13. 解下列方程： （1） （2） 14. 如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证： （1）四边形是平行四边形 （2）． 15. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 16. 如图，已知． （1）与相等吗？请说明理由． （2）判断与是否相似，并说明理由． 17. 如图，在中，对角线、交于点，过点作，交于点，过点作于点，点在边上，连接，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 18. 2025赛季赣超第12轮展开角逐，鹰潭队坐镇主场迎战景德镇队，吸引了大量观众前往鹰潭奥体中心现场观看比赛。 （1）【赣超效应】比赛期间许多外地游客来鹰潭游玩，经估算，第一天鹰潭接待外地游客约2万人次，第三天接待外地游客约万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）【文化赋能】鹰潭龙虎山近年实施保护性开发，古越水街等建筑，形成融合文保与商业的综合街区，重现商贸活力．如景区推出城市纪念徽章：每个徽章的成本为5元；当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售徽章获利1800元，则售价应降低多少元？ 19. 如图，在中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为． （1）填空： cm， cm；（用含的代数式表示） （2）是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （3）当为何值时，的长度等于？ 20. 将两个等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内），求证： （1）； （2）； （3）． 21. 为提高学生的动手能力，师一学校引入了劳动课程，并从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：A．优秀；B．良好；C．合格；D．不合格．并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的学生人数为______，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中等级C所对应扇形的圆心角的度数； （3）在这次劳动课程中，九（1）班共有3名学生获得了优秀，3名学生中有1名男生和2名女生，班主任决定从这3名学生中随机选出2名学生在班级做心得分享，请用列表或画树状图的方法，求所选2名学生恰好是1男1女的概率． 22. 如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． （1）求证：； （2）求证：四边形为平行四边形； （3）若，，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与轴，轴分别交于点和点，直线与交于点，． （1）求直线的解析式； （2）连接，，点在直线上，若的面积为，四边形的面积为，当时，求点的坐标； （3）直线上有一点，平面直角坐标系内是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $