精品解析：上海民办民一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

民一中学2025学年八年级上期中试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列各数：、、、、、，其中无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 3. 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 4. 氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（     ） A. ； B. ； C. ； D. . 6. 对于一元二次方程，正确的结论是（ ） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 8. 若方程的两个根是和4，则______，_____． 9. 在实数范围内分解因式： ______________． 10. 已知，，则__________． 11. 已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是____________． 12. 将化成分数：________． 13. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 14. 已知m，n是方程的两实数根，则_______ 15. 如果最简根式与是同类二次根式，则________． 16. 已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足，________． 17. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 18. 若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________． 三.解答题（本大题共8小题，58分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 计算： （1） （2） 21. 已知，求的平方根. 22. 先化简再求值：，其中． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 24. 学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． （1）求、两种奖品的单价各是多少元？ （2）该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 25. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民一中学2025学年八年级上期中试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列各数：、、、、、，其中无理数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，注意带根号的要开方开不尽才是无理数，利用无理数是无限不循环小数分析求解即可求得答案． 【详解】解：， 下列各数：、、、、、，其中无理数有、、，一共3个， 故选：B． 2. 如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是． 设点A表示的数是a，求出之间的距离，求出，即可得出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：设点A表示的数是a， ∵在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C， ∴B、C之间的距离是， ∵B是的中点， ∴， ∵B点表示的数是2，A点表示的数是a， ∴， 解得： ， 故选：C． 3. 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 4. 氧原子的直径是0.000000000148米，用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：米米． 故选：C． 5. 下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（     ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式的应用，根与系数的关系，对于一元二次方程 ，两实数根之和为 ，且需判别式 ；分别验证各选项即可. 【详解】解：选项A：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项B：∵ ， ∴，无实数根；不符合题意； 选项C：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项D：∵ ， ∴，有两实数根； ∴ 两根之和为 ，符合题意； 故选：D 6. 对于一元二次方程，正确的结论是（ ） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无实数根，以及求根公式和等式的性质逐个验证即可． 【详解】解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：， 故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ， 又方程的判别式为， ， 方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③若是一元二次方程的根， 则根据求根公式得：或， 或， ， 故③正确； 综上，①②③正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及求根公式，掌握根的判别式并灵活应用是解题关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得． 故答案为：． 8. 若方程的两个根是和4，则______，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，，进而求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根是和4， ∴，． ∴． 故答案为：，． 9. 在实数范围内分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 已知，，则__________． 【答案】7.937 【解析】 【分析】根据立方根的运算法则即可求解． 【详解】∵ ∴ 故答案为：7.937． 【点睛】此题主要考查立方根的应用，解题的关键是熟知立方根的性质变形． 11. 已知是等腰的三条边长，其中，如果是关于的一元二次方程的两个根，则n的值是____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由是关于的一元二次方程的两个根，可得，由等边三角形的性质，三角形三边关系可得，然后求解作答即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵是等腰的三条边长，其中， ∴当时，，此时不能构成三角形，舍去； 当时，，此时不能构成三角形，舍去； 当时，能构成三角形，， 故答案为：9． 12. 将化成分数：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了循环小数化分数的方法． 根据混循环小数化分数的方法化为分数即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 14. 已知m，n是方程的两实数根，则_______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系．根据一元二次方程根的定义可得出，根据根与系数的关系得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为∶3． 15. 如果最简根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义得，即可求解；理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：，， 当时， ， 舍去， ， 故答案为：． 16. 已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程，然后利用根的判别式得出，即可求解． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 又方程有两个实数根， ， ， ∴应舍去． 故答案为：． 17. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得，，可得，，然后化简代入求值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 18. 若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：若一元二次方程的两实数根为，， 则，， 当时， ，； ，； …… ，； ∴ ． 三.解答题（本大题共8小题，58分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的解法，解题的关键是整式方程通过展开化简后因式分解求解，分式方程需去分母转整式方程并检验增根． （1）将方程展开化简为一元二次方程，因式分解求解； （2）分式方程去分母转整式方程，化简求解后检验增根，即可解答． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 检验：当时，，（舍去）． ∴方程的解为． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，分母有理化，并计算零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 已知，求的平方根. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的平方根为． 22. 先化简再求值：，其中． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据的大小化简是解题的关键．先将分子和分母分解因式，并根据二次根式的性质化简，再约分，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式 当时 原式 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1） 且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键． （1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解； （2）根据题意先求出，进而得到，再代入代数式中进行计算求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， ， ． ， 且． 【小问2详解】 解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ． 24. 学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． （1）求、两种奖品的单价各是多少元？ （2）该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】（1）奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 （2）购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； 【小问2详解】 解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 25. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； （3） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【小问1详解】 解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $