精品解析：云南省红河哈尼族彝族自治州蒙自市第三中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

云南2025秋・蒙自三中期中考试卷九年级数学试卷 （考试范围：第二十一章至第二十四章） （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数的最小值是 D. 函数图象与y轴的交点坐标是 4. 已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 7. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 9. 云南某特产店销售一种普洱茶饼，原来每张茶饼售价为120元，经过连续两次降价后，现在每张茶饼售价为76.8元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 15. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 如图，AB是的直径，弦于点E，，，则______cm． 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 18. 如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为______． 19. 如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是________________________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图所示，，分别与相切于点和点，且，求的度数． 22. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标． 23. 信阳毛尖，中国十大名茶之一，产于河南省信阳市．茶叶颜色深绿，叶片肥厚，品质上乘，纯净清澈，香味持久，回味悠长．某茶农准备出售一批信阳毛尖茶叶．已知茶叶的进价为每斤80元，现在售价为每斤110元，每星期可卖100斤．经市场调研发现，若每斤茶叶每涨价1元，则每星期要少卖出2斤．设每斤茶叶涨价x元． （1）求每星期获得的利润y与x之间的函数关系式． （2）每斤茶叶涨价多少元时，每星期获得的利润最高？此时利润为多少？ 24. 在同一坐标系内，抛物线与直线相交于两点，若的坐标是． （1）求点的坐标； （2）连接，，，求的面积． 25. “云南三日游”的调研分析 背景 云南是全国世居少数民族最多的省份，民族文化丰富多彩．丽江古城的东巴文化、大理白族的扎染技艺、西双版纳的傣族泼水节等，从文化遗产到节庆活动，都展现出独特魅力．为了让更多的人了解云南，感受云南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“云南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“云南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“云南三日游”的人数为1500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到2160人． 素材二 该旅行社“云南三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“云南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 26. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. 如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为，连接、． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当时，求点坐标及四边形的面积； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南2025秋・蒙自三中期中考试卷九年级数学试卷 （考试范围：第二十一章至第二十四章） （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．注意将各个方程进行整理化简为一般式后，再去进行判断． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故B不是一元二次方程，不符合题意； C、可整理为，故C不是一元二次方程，不符合题意； D、，故D是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数的最小值是 D. 函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键 根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】由二次函数的顶点式为， 顶点坐标为)，选项A说法错误，故该选项不符合题意； 对称轴为直线，选项B说法正确，故该选项符合题意； 函数的开口方向由 a 决定，且， 抛物线开口向下，抛物线有最大值，最大值为顶点的 y 坐标，为，选项C说法错误，故该选项不符合题意； 令，则， 图象与y轴的交点坐标为，故D选项错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 已知的直径为，点在内，则线段的长度可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设为圆半径，为点到圆心距离．当时，点在圆内；当时，点在圆外；当时，点在圆上；据解决本题的关键是根据点到圆心的距离与半径的大小关系判断的长度． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点在内， ， 的长度可以是．   故选： D． 5. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7. 如图，点A，B，C均在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵为所对的圆周角，为所对的圆心角， ∴． 故选：C． 8. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9. 云南某特产店销售一种普洱茶饼，原来每张茶饼售价为120元，经过连续两次降价后，现在每张茶饼售价为76.8元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据连续两次降价，每次降价率为，则两次降价后的价格为原价乘以，据此列方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 则 第一次降价后价格为：， 第二次降价后价格为：， ∴． 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 11. 如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，由弧与弦之间的关系可得，由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：， ∴， ∴， 四边形是的内接四边形， ∴ ， 故选：A． 12. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的函数值计算与大小比较，熟练掌握二次函数的表达式代入求值是解题的关键．先根据函数表达式计算各点的函数值，再比较函数值大小． 【详解】解：∵ 函数为 ， ∴ 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ∵ 是常数， ∴ 比较的大小，即比较 ，，的大小， ∵ ∴ 故选：C． 13. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点，连接，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积公式，由四边形为正方形，得，，，再由题意可得，，然后由和扇形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ∴，，， ∵点是的中点，以点为圆心、为半径作弧，交于点， ∴，， ∴， ∴， ， 故选：． 14. 如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据题意，结合等边三角形的性质求出的长度，利用旋转的性质得到 的长度和的度数，再利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求出和的长度，再利用点在第二象限求解． 【详解】解：过点作轴于点，如下图 点， ，， . 是等边三角形， ． 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ． 在第二象限， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 15. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 如图，AB是的直径，弦于点E，，，则______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出OE即可解决问题． 【详解】解：，AB是直径， ， 在中，， ， 故答案为9． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 18. 如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与全等转化阴影面积． 先由角边角的判定方法证明与全等，由全等的性质可知，，即可转化阴影部分面积为，再结合矩形的面积即可求解． 【详解】解：过点O作交于点H，如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， 即为等腰三角形， ∴， ∵在矩形中， ， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵矩形的面积是20， ∴， ∴． 故答案为：5 ． 19. 如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 21. 如图所示，，分别与相切于点和点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形内角和，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 连接，根据圆的切线的性质得到，再根据四边形内角和求解． 【详解】解：连接， ∵，分别与相切于点和点， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）． （1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1； （2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2，并写出点A2的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 如图，即为所求， 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）分别作出三个顶点绕点B逆时针旋转90°的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图—旋转变换和中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和中心对称变换的定义和性质． 23. 信阳毛尖，中国十大名茶之一，产于河南省信阳市．茶叶颜色深绿，叶片肥厚，品质上乘，纯净清澈，香味持久，回味悠长．某茶农准备出售一批信阳毛尖茶叶．已知茶叶的进价为每斤80元，现在售价为每斤110元，每星期可卖100斤．经市场调研发现，若每斤茶叶每涨价1元，则每星期要少卖出2斤．设每斤茶叶涨价x元． （1）求每星期获得的利润y与x之间的函数关系式． （2）每斤茶叶涨价多少元时，每星期获得的利润最高？此时利润为多少？ 【答案】（1） （2）每斤茶叶涨价10元时，每星期获得的利润最高，此时利润为3200元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，确定利润的计算方法是解题的关键． （1）根据题意列出函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 化简，得． 【小问2详解】 解：， 当时，利润y最大，最大利润为元． 答：每斤茶叶涨价10元时，每星期获得的利润最高，此时利润为3200元． 24. 在同一坐标系内，抛物线与直线相交于两点，若的坐标是． （1）求点的坐标； （2）连接，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，用待定系数法求函数解析式，联立方程求解交点，计算三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）首先，利用已知点A的坐标代入抛物线和直线方程，求出参数a和b的值，接着联立抛物线和直线方程，解出另一个交点B的坐标； （2）设直线与轴交于点C，求出点C的坐标，通过坐标法计算的面积即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线方程，得：， 解得，， 抛物线方程为 ， 将点代入直线方程，得：， 解得，， 直线方程为， 联立抛物线和直线方程： ， 解得，， ， 的坐标为， ， 当时，， 故B点坐标为； 【小问2详解】 如图，设直线与轴交于点C， 当时，， 点C的坐标为， ， 25. “云南三日游”的调研分析 背景 云南是全国世居少数民族最多的省份，民族文化丰富多彩．丽江古城的东巴文化、大理白族的扎染技艺、西双版纳的傣族泼水节等，从文化遗产到节庆活动，都展现出独特魅力．为了让更多的人了解云南，感受云南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“云南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“云南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“云南三日游”的人数为1500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到2160人． 素材二 该旅行社“云南三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“云南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 【答案】任务1： 任务2：800元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率公式、销售利润公式是解题关键． 任务1：设增长率为，根据题意9月份人数1500人，10月为，11月为，建立方程求解即可． 任务2：设下调团费为元，则团费降低的金额为，总人数为，列方程求解即可． 【详解】任务1：解：设10月、11月的平均增长率为， 根据题意，， ， 解得，（舍去）， 答：10，11两个月报名人数的月均增长率为． 任务2：解：设下调后每人团费为元， 则团费降低的金额为，总人数为， 根据题意，， ， 解得，（因，舍去）， 答：下调后每人的团费为800元． 26. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 27. 如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为，连接、． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）当时，求点坐标及四边形的面积； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2），18 （3）6， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得点的坐标，再利用直角梯形的面积公式求解即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交于点，可得点的坐标，从而可得，然后根据面积等于、二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的函数解析式． 【小问2详解】 解：对于抛物线， 当时，， ∴， ∵， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为6， 当时，，解得或， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为． 【小问3详解】 解：由题意得：点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则，    ∴， ∴面积为 ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为6， 此时， 所以面积的最大值为6，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $