21.1一元二次方程 课件 2025-2026学年 人教版九年级上册数学

21.1 一元二次方程 课件说明 本课是在学生已经学习一元一次方程、分式方程的基础上，进一步学习一元二次方程的有关概念． 学习目标： 1．理解一元二次方程的概念； 2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识 二次项系数、一次项系数及常数项． 学习重点： 一元二次方程的概念． 课件说明 　　 　　1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？ x m (2－x)m (2－x) x x : 2 : = 设雕像的下部应设计为高x米， x2 = 2 (2－x) A C B 引入新知　 则雕像的下部的高为(2－x)米 思考以下问题如何解决： 　　思考以下问题如何解决： 　　1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 (腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？ 去括号，得 x2 =4－2x； 移项，得 x2＋2x－4＝0. x2 = 2(2－x) 设雕像的下部高为x米， x m (2－x)m 则雕像的下部的高为(2－x)米 　　 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ (2)设切的正方形的边长为xcm， 制作成无盖方盒后， 盒底的长为 cm， 宽为 cm， 根据方盒的底面积为 3 600 cm2，得 =3600 (100－2x) (50－2x) (100－2x) (50－2x) x (100－2x) (50－2x) 　　 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ (2)设切的正方形的边长为xcm，得 =3600 (100－2x) (50－2x) 去括号，得 5000－200x－100x＋4x2 =3600； 移项，合并同类项，得 4x2－300x＋1400＝0； 化简，得 x2－75x＋350＝0. 　　　 从参赛队来看，如果有10个队参赛，那么每个队 都要和其余 个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛 和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，不能重复计算，那么全部比赛共 场. 　　　 3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 9 45 　　　设邀请x个队参赛，那么每个队都要和其余 个队各赛一场，那么全部比赛共 场，得. 　　　 3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？ 1 2 x (x－1) =28 1 2 x (x－1) (x－1) 1 2 x (x－1) =28 去分母，得 x2－x=56； 移项，得 x2－x－56＝0； 去括号，得 x (x－1)=56 　　 观察上述三个方程，它们什么共同点？ 　　　x2＋2x－4 = 0 　 x2－75x＋350 = 0 　　 x2－x－56 = 0 　　 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程， 叫做 一元二次方程． ①只含有一个未知数 ②未知数的最高次数是 2 ③等号两边都是整式 学习新知 11 　　 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理，都能化成如下形式： ax2 ＋ bx ＋ c = 0 其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数； 这种形式叫做一元二次方程的一般形式． bx 是一次项，b 是一次项系数； c是常数项. (a≠0) 练习1　 (1) x2 ＋ 8x－3=0； 　　辨别下列各式是否为一元二次方程？ (2) x2 ＋ 2x－y=3； (3) 3x2 ＋ x =20； (4) 2x2－3xy＋4=0； (5) 4x2 =81； (6) x2 ＋ － 1=0. x 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ × √ × √ √ 认识新知 　　 将方程 3x(x－1)=5(x＋2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解： 去括号，得 3x2－3x=5x＋10； 移项，得 3x2 －3x－5x－10＝0； 合并同类项，得 3x2－8x－10＝0. 其中二次项系数为3， 一次项系数为－8， 常数项为－10． 14 　　 练习2 将下列方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1) 5x2－1=4x； (2) 4x2 =81； (3) 4x(x＋2)=25； (4) (3x－2)(x＋1) =8x－3. 15 　　 练习2 将下列方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1) 5x2－1=4x； (2) 4x2 =81； (1) 移项，得 5x2 －4x－ 1＝0； 其中二次项系数为5, 一次项系数为－4， 常数项为－1． 解： (2) 移项，得 4x2 －81＝0； 其中二次项系数为4, 一次项系数为0， 常数项为－81． 16 (3) 4x(x＋2)=25； (4) (3x－2)(x＋1) =8x－3. 去括号，得 4x2 ＋8x= 25； 移项，得 4x2 ＋8x－25＝0； 其中二次项系数为4， 一次项系数为8， 常数项为－25． 去括号，得 3x2 ＋3x－2x－2=8x －3； 移项，得 3x2＋3x－2x－2－8x＋3＝0； 合并同类项，得 3x2 －7x＋ 1＝0. 其中二次项系数为3, 一次项系数为－7， 常数项为1． 17 　　2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式． 　　(1) 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； 　　(2)一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x； 　　(3)把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x． (1) 4x2 =25； (2) x(x－2)=100； (3) x= (1－x)2； 4x2 －25＝0； x2 －2x－ 100＝0； x2 －3x＋1＝0. 1.下列方程属于一元二次方程的是( ). A.2x＋1=0 B.x2＋x=1＋x2 C.x2＋1=0 D. ＋x2=1 x 2 2.若方程(m＋3)x|m|－1＋3mx=0是关于x的 一元二次方程，则( ). A.m=3 B.m=－3 C.m=±3 D.m≠－3 C A 巩固新知 4.一元二次方程2x－(x＋1)2=5化为一般形式是( ). A.x2＋4x－6=0 B.x²＋4x－4=0 C.x²＋6=0 D.x2－6=0 3.在一元二次方程x2－4x－1=0中，二次项系数 和一次项系数分别是( ). A.1，4 B.1， －4 C.1，－1 D. x²，4x B C 5.已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋a=0有一个 根为－2，则a的值是( ). A.5 B.－2 C.2 D.－5 6.生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向本组 其他成员互赠送1件，全组共赠标本132件.若 全组共有x名学生，则可列出的方程是( ). A.x(x＋1)=132 B.x(x－1)=132 C.x(x＋1)=132× D.x(x－1)=132×2 1 2 C B 　　(1) 本节课学了哪些主要内容？ 　 (2) 一元二次方程的概念是什么？ 　 (3) 如何将一元二次方程转化为一般形式， 一般形式包括哪些项？ 归纳小结 $