精品解析：陕西省西安市爱知中学2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中试题 九年级数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，利用倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是2025． 故选：C． 2. 某物体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的意义判断即可． 【详解】 的俯视图是 ． 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键． 3. 如图，已知直线，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质；根据两直线平行，求解，结合，再利用三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴． 故选：D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算、分配律、多项式乘法和完全平方公式，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数，先求出正比例函数的比例系数，然后验证各点是否满足函数解析式即可，正确求出正比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：设正比例函数为， ∵图象经过点， ∴， 解得， ∴函数解析式为， 当时，，不经过，故A不符合题意； 当时，，不经过，故B不符合题意； 当时，，不经过，故C不符合题意； 当时，，经过，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，是高，是中线，，，，则的长（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先求解，再求解，结合三角形的中线的意义即可求解． 【详解】解：∵是高，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质．先求解，证明是等边三角形，进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵，， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ∴是等边三角形， ， ． 故选：A． 8. 如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用和把时间表示出来，发现用时为，如图过F作的垂线，垂足为E，经论证知，这样就把求时间最短问题，转化为求的最短问题，由垂线短最短知，当时，最短，即用时最短，如图中的即是最短用时、即是所求的点．接下来，只要运用一次函数的知识求出的坐标也就是所要求的时间最短时F的坐标． 【详解】解： 如图，分别作轴，轴，使直线交于点， ∵与x轴交于点B， ∴时，，即， ∵点C的横坐标为， ∴点C的纵坐标为， ， ， 又， 为等腰直角三角形， 过点作于点，连接， ， ∴， 又当时，取得最小值 此时 即 此时与交于 的横坐标等于的横坐标 把代入得 即当时，在整个运动过程中用时最少． 故选：A 【点睛】此题是典型的几何最值问题（胡不归）及求直线上点的坐标问题．“两点之间线段最短”、“垂线段最短”，勾股定理的应用等有关最短的几何性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：___________（填“＜”或“>”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较；通过平方将根式比较转化为整数比较，利用平方函数的单调性判断大小即可． 【详解】解：设，，则，． 由于，且，， 因此， 即． 故答案为：>． 10. 如图，为正六边形，为正方形，则图中的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键． 利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理运算求解即可． 【详解】解：∵为正六边形，为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 12. 如图，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，当重叠部分为四边形且面积为时，则正方形的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明两个三角形全等，把重叠部分面积转化为三角形面积．根据正方形的性质易证，从而这两个三角形的面积相等，从而可得重叠部分的面积是正方形面积的，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形 ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， 解得：， ∴正方形的边长为：． 故答案为： 13. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算乘方，去绝对值，然后计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 15. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，，请在边上求作点D，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键．过点A作交于点D，先利用等腰三角形的性质求出，然后利用含的直角三角形的性质即可判断． 【详解】 理由：由作图，知， ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在四边形中，，，，延长到点E，使，连接、．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，进一步可得答案． 【详解】略． 19. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液．每次倒出的液体是多少升？ 【答案】 【解析】 【分析】设每次倒出液体，第一次倒出后还有纯药液（20-x）L，药液的浓度为，再倒出后，倒出纯药液，利用就是剩下的纯药液，据此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设每次倒出液体，根据题意，得 整理得， 解得： 经检验，．不符合题意，舍去， 答：每次倒出的液体是． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系列方程是解题关键． 20. 不透明的袋子中装有3个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为___________ （2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查用列举法求概率； （1）根据概率公式计算概率即可； （2）画出树状图，得到共计20种结果，两人摸到相同颜色球的结果有8种，计算即可． 【小问1详解】 解：袋子中共有个球，红球有3个， 因此摸到红球的概率为 ； 故答案为：． 【小问2详解】 解：树状图如下： 共计20种结果，两人摸到相同颜色球的结果有8种， ∴两人摸到相同颜色球的概率． 21. 某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求y与x之间的函数关系式 （2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？ 【答案】（1） （2）这户居民上月用水25吨． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从函数图象中获取有效信息，会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式． （2）某户居民上月水费为91元，，将代入求解x值即可． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为：， 由题意得：， ， 与之间的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：∵某户居民上月水费为91元，， 当时，， 解得：， 答：这户居民上月用水25吨． 22. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为；，，，，，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 小组平均数（） A 5 B a C 20 D 15 E 8 请根据以上信息解答下列问题： （1）A组数据的众数为___________，频数分布表中的a的值为___________ （2）抽取的部分学生星期日做家务时间的平均数是多少？ （3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、样本容量、平均数，众数的含义，用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，并准确计算是解题的关键． （1）根据众数的含义求解A组数据的众数，再利用组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量；利用样本容量减去组的频数得到组的频数； （2）利用平均数公式列式计算即可； （3）用该校学生总数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比，即可估计该校学生劳动时间超过的人数． 【小问1详解】 解：由题意可得，A组数据的众数为． 本次调查的样本容量是， 则． 【小问2详解】 解：抽取的部分学生星期日做家务时间的平均数是： ． 【小问3详解】 解：（人）． 答：该校学生劳动时间超过的人数为860人． 23. 关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 【答案】塔高约为米． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：（米）， ， ， ， ， ， 米， （米）， ， 解得：（米）， 答：塔高约为米． 24. 如图，在中，，D、E分别是，的中点，， （1）求证：四边形是菱形 （2）连接交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此可得出，进而可得出结论． （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长及面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ，点为的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，， 又∵点为的中点， 为的中位线， ， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，灵活应用以上知识是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）求点、的坐标； （2）如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在；点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； 【小问2详解】 存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 26. 问题提出 （1）如图①，在平行四边形中，点为边上任意一点，过点作一条直线平分平行四边形的面积，并说明理由． 问题探究 （2）如图②，已知直线，点、在直线上（在的左侧），点、在直线（在的左侧），连接和，两者交于点，和有何数量关系，并说明理由． 问题解决 （3）如图③，矩形是某博物馆的平面图，其中米，米，是博物馆的入口，是博物馆的出口，是博物馆的售票处，已知米，米．在对角线上是否存在有一问讯处，使折线恰好将矩形的面积平分，若存在，请说明理由，并确定问讯处的位置（求出的长）． 【答案】（1）如图所示，连接AC，BD，二者交于点O，则直线OP即为所求，理由如下： 设直线与交于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线即为所求； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴； （3）存在点P满足米时，使得折线恰好将矩形的面积平分，理由如下： 如图所示，连接，过点E作分别交于Q，交于P， 连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时折线恰好将矩形的面积平分； 在中，米，米， ∴米， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， ∴米． 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，二者交于点O，设直线与交于E，可证明，得到，则可证明； （2）根据平行线间间距相等，结合同底等高的两个三角形面积相等得到，据此可得结论； （3）连接，过点E作分别交于Q，交于P， 连接，可证明四边形是平行四边形，得到，，则可证明，再证明，可得，则此时折线恰好将矩形的面积平分；由勾股定理求出米，再证明，可得，则米． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于作出辅助线构造平行四边形，通过平行四边形的性质转换图形面积之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中试题 九年级数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 某物体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若正比例函数的图像经过点，则这个图像必经过点（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是高，是中线，，，，则的长（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小：___________（填“＜”或“>”或“=”） 10. 如图，为正六边形，为正方形，则图中的度数为_____． 11. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 12. 如图，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，在正方形绕点O旋转的过程中，当重叠部分为四边形且面积为时，则正方形的边长为___________． 13. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 计算： 15. 解下列方程： （1）； （2）． 16. 化简：． 17. 如图，在中，，，请在边上求作点D，使．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在四边形中，，，，延长到点E，使，连接、．求证：． 19. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液．每次倒出的液体是多少升？ 20. 不透明的袋子中装有3个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． （1）甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为___________ （2）甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 21. 某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题： （1）当时，求y与x之间的函数关系式 （2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？ 22. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间t（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为；，，，，，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 小组平均数（） A 5 B a C 20 D 15 E 8 请根据以上信息解答下列问题： （1）A组数据的众数为___________，频数分布表中的a的值为___________ （2）抽取的部分学生星期日做家务时间的平均数是多少？ （3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数 23. 关中八大景之一的“雁塔晨钟”，吸引了很多来西安旅游的人，它是由荐福寺内的小雁塔和钟楼内的古钟共同构成．为了测出小雁塔的高度，九年级学生小爱设计出了下面的测量方法：已知塔前有一棵4米高的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D、E之间有一个花圃无法测量，然后在E处放置一个平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面境中看到树顶C的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求塔高．（结果精确到） 24. 如图，在中，，D、E分别是，的中点，， （1）求证：四边形是菱形 （2）连接交于点O，若，，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）求点、的坐标； （2）如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 26. 问题提出 （1）如图①，在平行四边形中，点为边上任意一点，过点作一条直线平分平行四边形的面积，并说明理由． 问题探究 （2）如图②，已知直线，点、在直线上（在的左侧），点、在直线（在的左侧），连接和，两者交于点，和有何数量关系，并说明理由． 问题解决 （3）如图③，矩形是某博物馆的平面图，其中米，米，是博物馆的入口，是博物馆的出口，是博物馆的售票处，已知米，米．在对角线上是否存在有一问讯处，使折线恰好将矩形的面积平分，若存在，请说明理由，并确定问讯处的位置（求出的长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $