内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．若方程表示圆，则m的范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 3．直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．已知椭圆的右焦点为，点在上，点到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 5．若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．19 D．21 6．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．若双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,则双曲线的离心率是(   ) A． B． C． D． 8．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为），则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 10．下列说法不正确的是（　　） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．点关于直线的对称点为（1，1） C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 11．下列说法正确的是（    ） A．若，且直线不经过第二象限，则， B．方程（）表示的直线都经过点 C．，直线不可能与轴垂直 D．直线的横、纵截距相等 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线上一点M的横坐标为3，且，则抛物线方程为 ． 13．已知直线与平行，则实数 ． 14．已知双曲线的方程为，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知圆：，是圆内一点，是圆外一点． （1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积； （2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 16．已知点，直线，且点均在直线上，， (1)求点的坐标： (2)若，求直线的方程. 17．已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且的面积为6． (1)求E的方程； (2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 18．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，设，，，    (1)以为空间基底表示向量． (2)求证：平面． 19．如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．    (1)证明：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A C C A ACD BCD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】配方变形为圆的标准方程后可得． 【详解】方程配方后得，它表示圆，则，． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆，可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件． 2．C 【分析】根据圆的弦长公式，结合圆心距与两圆的半径和与差的关系进行求解即可. 【详解】圆，所以，半径为， 圆的圆心，半径为， 到直线的距离为， 由圆的弦长公式可得： ， 即，半径为， 因为，两圆半径和为， 所以两个圆外切， 故选：C 3．D 【分析】每段弧所对的圆心角都为，故圆心到直线和的距离都等于，结合圆心到直线的距离求得，从而求得正确答案. 【详解】， 依题意可知，且两条直线的斜率都为，两直线平行. 由于和将单位圆分成长度相等的四段弧， 所以每段弧所对的圆心角都为， 所以圆心到直线和的距离都等于， 即，， 所以. 故选：D. 4．B 【分析】由椭圆的右焦点为求得的值，得出椭圆方程，设，点到直线的距离为求得，代入椭圆方程求出，利用两点间距离可求得答案. 【详解】已知椭圆的右焦点为，则，故椭圆， 设，点到直线的距离为，则，解得或， 当时，，由题意得，即，此方程无解； 当时，，由题意得，即，则， 综上，. 故选：B. 5．A 【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可. 【详解】由圆，则圆心，半径， 由圆，即， 则圆心，，， 所以， 因为两圆外切，则， 即，解得. 故选：A. 6．C 【分析】由题意首先得出的几何意义，再画出图形通过数学结合、三角形三边关系即可求解的最大值. 【详解】设点在圆上，由题意， 若，则，而， 所以，即的几何意义为圆上的点到坐标原点的距离， 如图所示： 设为圆的圆心，其半径为2，点为圆上的点，为坐标原点，三点共线， 由三角形三边关系可知，等号成立当且仅当重合， 所以的最大值为. 故选：C. 7．C 【分析】设双曲线的方程为,根据已知条件列方程,确定双曲线的方程,在利用计算即可. 【详解】设双曲线的方程为, 根据已知条件得:, 解得:, 双曲线的方程为, 则, . 故选:C. 8．A 【分析】借助待定系数法，设，结合所给定义及其在基底下的斜坐标，列方程计算即可得答案. 【详解】因为向量在基底下的斜坐标为）， 所以可得， 设， 即有 即可得，解得， 即， 即向量在基底下的斜坐标为. 故选：A. 9．ACD 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断. 【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错； 若是空间的一个基底，则不共面， 若共面，则，， 显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对； 若，，在空间中不一定平行，C错； 若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】对选项A，根据倾斜角和斜率的概念即可判断A正确，对选项B，，设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断B错误，对选项C，分别求出直线与两坐标轴的交点，即可判断C错误，对选项D，分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，即可判断D错误. 【详解】对选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A正确. 对选项B，设关于直线对称的点为， 则，即关于直线对称的点为，故B错误. 对选项C，直线，令，得，令，， 则直线与坐标轴围成的面积，故C错误. 对选项D，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，故D错误. 故选：BCD 11．BD 【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，求解可判断A，利用直线过定点的求法可判断B，直接举例可判断C，求出直线的横、纵截距可判断D. 【详解】对于A，因为，所以可化为， 若直线不经过第二象限，则即，，故A错误； 对于B，直线方程可整理为， 由得 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误； 对于D，直线的横、纵截距均为，故正确． 故选：BD． 12． 【分析】由解出即可 【详解】抛物线的准线方程为： 所以，解得 所以抛物线的方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查的是抛物线的定义的应用，较简单. 13．0或. 【分析】由两直线平行条件，分和两种情况讨论，即可得到的值. 【详解】当时，两直线化为和，显然，两直线平行，满足题意； 当时，因为两直线平行，所以即：， 解之得：. 故答案为：0或. 14． 【分析】根据双曲线方程的特征可直接构造不等式求得结果. 【详解】由双曲线方程特征知：，解得：， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（1）；（2），. 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，确定最长弦及最短弦，进而求出四边形面积； （2）由，可知当时，面积最大，进而求得最大值以及直线方程. 【详解】（1）过最长的弦为直径，最短的弦为垂直于的弦， 圆的半径，， 所以，， 所以． （2），， 当时，面积的最大值为， 此时，到的距离为2，所以的倾斜角为或， 则的斜率为，所以，的方程为． 【点睛】圆的弦长的常用求法： (1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 16．(1) (2)或 【分析】（1）设，由题意列方程组，即可求得. （2）设，由题意可得，可求得点的坐标，可求直线的方程. 【详解】（1）设，由题意可得：，解得：， 所以点的坐标为. （2）设，由（1）知点的坐标为. 根据题意可得，解得或， 所以点的坐标为或， 当点为时，直线的方程为，即， 当点为时，直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 17．(1) (2)直线MN过定点． 【分析】（1）根据已知条件建立方程组，解出即可; （2）设出直线AP的方程为，与直线,椭圆联立，分别表示出M，P，N的坐标，进而表示出直线，求得定点. 【详解】（1）由题意知   解得，，， 所以E的方程为． （2）显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为， 又直线BC的方程为，由，解得，， 即． 由得，解得或， 当时，，即， 所以直线CP的斜率， 所以直线CP的方程为，令，得，即． 所以直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为， 即，所以直线MN过定点．    18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）取DC中点H，连接HM，HN，利用线面平行证面面平行，由面面平行可得线面平行. 【详解】（1）； （2）取DC中点H，连接HM，HN，    因为H是DC中点，N是PC中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理，得，平面，平面， 所以平面， 又，平面，平面， 故平面平面， 因为平面， 所以平面. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，给合三角形中位线定理、平行线的性质进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以． 在正三棱柱中， 所以． 又平面，平面，所以平面． （2）取的中点，连接．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则 易知是平面的一个法向量， 所以． 故平面与平面夹角的余弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级 数学答题纸16.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 14.（10分） 15.（10） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处 贴条形码区域 注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 ` 1 A B C D 6 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 客观题（请用2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（每题5分，共15分） 11. 12. 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（17分） 18.（17分） 17.（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $