精品解析：江西省贵溪市第一中学2025-2026学年高一上学期第十四周周测数学试题

第十四周周测卷 一、单选题 1. 已知样本数据x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数与方差分别是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且样本数据y1，y2，…，yn的平均数与方差分别是b和a，则a﹣b＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义得到关于a，b的方程组，解出即可． 【详解】由题意得： ，解得：，故， 故选：A． 2. “新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是（ ） A. 86% B. 83% C. 90% D. 84% 【答案】D 【解析】 【分析】利用求加权平均数的公式解题即可． 【详解】利用求加权平均数的公式解得：＝0.84＝84%， 故选：D． 3. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则方程转化为的一元二次方程，解出这个的一元二次方程的解，画出的图象，通过图象数形结合得到的取值范围. 【详解】令，有，即， 解得或， 作出的图象，如图， 方程有且仅有5个不同实数根， 则由图得或， 解得或， 即或无解， 所以 故选：D 4. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数指数函数单调性以及它们各自所过的定点即可得解. 【详解】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增， 故可排除BCD， 且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意. 故选：A. 5. 在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（ ） A. 平均值 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数，平均数，众数和方差得定义进行判断，并举出反例. 【详解】一共9个数据，从小到大排列后分别为，则为中位数， 去掉最高分和最低分后，一共有7个数据，选取第4个数据，即仍然为中位数，故中位数一定不变， 其余数据可能改变，不妨设9个分数为， 平均数为，众数为3和5， 方差为， 去掉最高分10和最低分3后，平均数为，众数为5， 方差为， 平均值，众数和方差均发生变化. 故选：B． 6. 在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80-100分的学生人数是 A. 15 B. 18 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【详解】第二组的频率是，所有参赛的学生人数为 ，那么80-100分的频率是 ，所以人数为 ，选故A. 7. 某校进行了一次学党史知识竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 得分在之间的共有40人 B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5 C. 估计得分的众数为55 D. 这100名参赛者得分的中位数为65 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图和众数，中位数，以及频率概率之间的关系逐项分析即可得答案. 【详解】解： 对于选项A：根据频率和为，计算，解得，所以得分在之间的频率为，估计得分在的人数有（人），故A正确； 对于选项B：得分在的频率为，用频率估计概率，可知100名参赛者中随机抽取一人，得分在的概率为，故B正确； 对于选项C：根据频率分布直方图，最高小矩形对应的底边中点的横坐标为，故众数为55，故C正确； 对于选项D：设中位数为，则，得，故D错误. 故选：D 二、多选题 8. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：，化简即可判断；对B：，化简即可判断；对C：，结合对数函数性质化简即可判断；对D：即可判断. 【详解】对于A： 对，，恒成立. 左右平方得，化简得，显然恒成立，故A正确. 对B：对，，恒成立. 化简得显然不恒成立，故B不正确； 对于C，对，，恒成立 由在上单调递增，故， 化简可得，显然对恒成立，故C正确； 对D：， ，即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 9. 已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为________；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，画出函数图象，判断方程有2个不同的实数根时参数的范围；再根据一元二次方程的解法，方程的根与函数图象交点之间的关系，以及分段函数的性质，求出参数范围. 【详解】 如图所示，方程有2个不同的实数根时，，即实数a的取值范围为； 由，因式分解得， 解得或. 由函数图象可知有2个不同的实数根，则也有2个不同的实根， 则，解得或， 即实数a的取值范围为. 故答案为：，. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的奇偶性和在上单调递减，可得在上单调递增，所求可转化为，根据对数函数性质，计算化简，即可得答案. 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以可化为， 因为， 所以或， 因为在上单调递增， 所以或，解得或． 故答案为： 11. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据百分位数的计算方法可得答案. 【详解】由题意可得，解得， 将数据排序得，，，，， ，则这组数据的第百分位数为第和第位数的平均数，即. 故答案为：. 四、解答题 12. 为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A，1.5小时以上，B，1-1.5小时，C，0.5-1小时，D，0.5小时以下．图（1），（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： （1）本次一共调查了多少名学生． （2）在图（1）中将对应的部分补充完整． （3）若该校有3000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？ 【答案】(1) 200名 (2) (3) 150名 【解析】 【分析】（1）从题图中知，选A的共60人，占总人数的百分比为，由此能求出本次一共调查了200名学生． （2）被调查的学生中，求出选B的有100人，由此能补充完整的条形统计图． （3），由雌能估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下． 【详解】解：（1）从题图中知，选A的共60人，占总人数的百分比为，所以总人数为，即本次一共调查了200名学生． （2）被调查的学生中，选B的有（人），补充完整的条形统计图如图所示． （3），估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意； （2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案； （3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数， 所以，所以，解得， 所以， 当时，， 所以为奇函数，故； （2）有解，所以有解， 所以只需， 因为（时，等号成立）， 所以； （3）因为，所以， 可令，可得函数t在递增，即， 则，可得函数，， 由为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以时，取得最小值， 此时，解得， 所以在上的最小值为，此时． 【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题. 14. 已知函数过定点，函数的定义域为. （Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性； （Ⅲ）解不等式. 【答案】 （Ⅰ）函数过定点，定点为， ，定义域为， . 函数为奇函数. （Ⅱ）在上单调递增. 证明：任取，且， 则. ，， ，， ，即， 函数在区间上是增函数. （Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证； （Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性； （Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 （Ⅲ），即， 函数为奇函数 在上为单调递增函数， ， ，解得：. 故不等式的解集为： 【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案. 15. 已知二次函数． （1）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； （3）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式在实数集上能成立求参数范围； （2）由二次函数的性质求的区间单调性，进而求值域； （3）根据在区间单调性有，由已知问题化为，求参数范围. 【小问1详解】 由题意，在上能成立， 所以，可得或； 【小问2详解】 图象的开口向上，对称轴是， 故在上单调递减，而，， 所以的值域为； 【小问3详解】 因为在区间上是减函数，所以， 因此任意的，总有， 而，只需即可， 所以，即，则，解得， 又，因此. 16. 已知函数（为常数，，且） （1）判断的奇偶性，并用定义证明： （2）当时，证明：函数在定义域内单调递增； （3）求使不等式成立的的取值集合． 【答案】（1） 为奇函数，证明如下：由解析式知函数定义域为， 且，所以为奇函数， （2） ，任取，且， 则 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3） 当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断证明； （2）设，作差法比较与的大小即可证明； （3）由指数函数的单调性，结合指数与对数的互化解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，所以， 当时，可得，当时，可得， 综上，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四周周测卷 一、单选题 1. 已知样本数据x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均数与方差分别是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且样本数据y1，y2，…，yn的平均数与方差分别是b和a，则a﹣b＝（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. “新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是（ ） A. 86% B. 83% C. 90% D. 84% 3. 已知函数，若方程有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（ ）． A. B. C. D. 5. 在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为（ ） A. 平均值 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80-100分的学生人数是 A. 15 B. 18 C. 20 D. 25 7. 某校进行了一次学党史知识竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 得分在之间的共有40人 B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5 C. 估计得分的众数为55 D. 这100名参赛者得分的中位数为65 二、多选题 8. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 9. 已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，则实数a的取值范围为________；若关于x的方程有4个不同的实根，则实数a的取值范围为________． 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为______． 11. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的第百分位数为_____. 四、解答题 12. 为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A，1.5小时以上，B，1-1.5小时，C，0.5-1小时，D，0.5小时以下．图（1），（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答以下问题： （1）本次一共调查了多少名学生． （2）在图（1）中将对应的部分补充完整． （3）若该校有3000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？ 13. 设函数是定义R上的奇函数． （1）求k的值； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围； （3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值． 14. 已知函数过定点，函数的定义域为. （Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性； （Ⅲ）解不等式. 15. 已知二次函数． （1）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围； （2）已知函数的定义域为，其中常数，求的值域； （3）若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数（为常数，，且） （1）判断的奇偶性，并用定义证明： （2）当时，证明：函数在定义域内单调递增； （3）求使不等式成立的的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $