精品解析：广东省中山市中山纪念中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试卷

广东省中山市纪念中学2024-2025学年高二数学二段考 一、单选题 1. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 2. 若，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 2或 D. 2或 3. 已知圆与圆的公切线有且只有一条，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当变动时，动直线与定圆相切，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，点是平面外一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 已知，则在上的投影向量为 10. 已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为14 三、填空题 12. 如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则_________. 13. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 14. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____. 四、解答题 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点. （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 19. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市纪念中学2024-2025学年高二数学二段考 一、单选题 1. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 2. 若，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 得，解得或， 即实数的值为或. 故选：C 3. 已知圆与圆的公切线有且只有一条，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为. 因为圆和圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，所以，即或． 故选：C. 4. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由该双曲线焦点坐标在轴上可得，再利用焦点坐标与方程的关系计算即可得解. 【详解】由该双曲线的一个焦点坐标为，则， 由可得， 即有，解得. 故选：B. 5. 已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 6. 过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据可得，设直线方程联立抛物线，由根与系数关系得出，即而求出B点，根据斜率公式求解即可. 【详解】设， 由，可得，即 ， 设直线方程为：， ，， ， 故选：D 7. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设，数形结合判断最大时的位置，再应用余弦定理求得，结合离心率范围确定答案. 【详解】由题设，当且仅当为椭圆上下顶点时最大，只需此时即可， 显然，此时为等腰三角形，且， 所以，则， 故，又，则椭圆的离心率范围是. 故选：C 8. 当变动时，动直线与定圆相切，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定的直线方程，求出定点到动直线的距离（定值）得圆的圆心及半径，进而求出圆面积. 【详解】直线，即，， 当变动时，点到直线的距离为常数， 因此动直线与圆相切， 由动直线与定圆相切，得圆的圆心为，半径， 所以圆的面积为. 故选：C 二、多选题 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，点是平面外一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 已知，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的意义判断A；利用共面向量的推论计算判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得共面， 故不是空间的一个基底，A错误； 对于B，由，点P在平面上， 得，解得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，，则， 所以在上的投影向量为，D正确. 故选：BD 10. 已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时，有最值，则 ，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 11. 加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确. 【详解】对于A，由椭圆的方程知，则， 椭圆的离心率，A正确； 对于C，由A知，椭圆对应的蒙日圆方程为，C正确； 对于B，由C可知，正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径， 正方形的边长为，B错误； 对于D，设长方形的长和宽分别为长方形的对角线长为椭圆对应蒙日圆的直径， 长方形的面积（当且仅当时取等号）， 即长方形的面积的最大值为14，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 13. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：. 14. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据点差法可求的关系，从而可求离心率. 【详解】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点. （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2）的长为,余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解, （2）根据数量积的定义求解，，，即可根据模长公式以及夹角公式求解. 【小问1详解】 由题意知 . 【小问2详解】 因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 即线段的长为. 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，把点A、B和圆心的坐标代入圆的方程和圆心直线方程列出方程组求解即可 （2）由，要使最小，则需最小，此时与直线垂直，求出直线PM的方程，从而求出点P坐标，即可求出以为PM直径的圆，再两圆方程作差可得. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由已知得，解得 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由(1)知圆的方程为，圆心为，半径． 因为， 所以要使最小，则需最小，此时与直线垂直， 由直线，可得直线的斜率为， 直线的方程为，即， 由解得即， 则以为直径的圆的方程为． 由两式相减可得直线的方程为． 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 【答案】（1） （2） 由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程； （2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得. 由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为，焦距为，， 所以点T的轨迹W的方程为 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，所以，， 又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，，平面， 所以平面， 所以平面平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以， 由（2）知是平面的一个法向量， 若平面，可得，则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【解析】 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明平面，然后可证明平面平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面角的平面角的余弦值； （3）由表示出点坐标即可表示出，再根据位置关系确定出与法向量的关系，确定方程解的情况可作出判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 又由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）①或；②或. 【解析】 【分析】（1）设，由点在双曲线上及直线，的斜率之积为，结合焦点到渐近线的距离为1，即可求解； （2）（i）联立直线、双曲线方程，结合韦达定理即可求解；（ii）结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 设双曲线的一个焦点为，渐近线方程为，即， 根据题意，，双曲线的方程为. 设点，则，于是， 由，得，， 根据题意，， 解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）设点，，联立方程组得， ， 易知恒成立， 由根与系数的关系，，. 因为直线与双曲线左右两支相交，所以m需满足 ，解得或. （ii）由图易知，， 则 ， 所以，解得或， 由（i）知，得，直线的方程为， 即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $