广东省中山市中山纪念中学2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试卷

广东省中山市纪念中学2024-2025学年高二数学二段考 一、单选题 1. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 2. 若，两点到直线的距离相等，则（ ） A. B. C. 2或 D. 2或 3. 已知圆与圆的公切线有且只有一条，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当变动时，动直线与定圆相切，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列给出的命题中正确的有（ ） A. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 点为平面上的一点，点是平面外一点，且，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 已知，则在上的投影向量为 10. 已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 若为正方形，则的边长为 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 长方形的面积的最大值为14 三、填空题 12. 如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则_________. 13. 过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为______. 14. 已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为_____. 四、解答题 15. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点. （1）用向量，，表示； （2）求线段的长及直线与所成角的余弦值. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 19. 已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，A，B分别是C的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率之积为. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线：，交C的左、右两支于D，E两点（异于A，B）. ①求m的取值范围； ②若，其中O为坐标原点，求直线的方程. 广东省中山市纪念中学2024-2025学年高二数学二段考 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2）的长为,余弦值为 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值. 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为平面，所以，， 又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，，平面， 所以平面， 所以平面平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以， 由（2）知是平面的一个法向量， 若平面，可得，则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【19题答案】 【答案】（1）. （2）①或；②或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $