分式方程的应用：经济问题、行程问题、工程问题复习讲义-2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学复习讲义按经济问题、行程问题、工程问题三大应用模块构建分式方程知识体系，各考点通过“知识点解析”系统梳理核心量、公式及解题步骤，用表格归纳行程问题不同场景的等量关系，用步骤分解呈现经济问题解题流程，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于现实情境化练习设计，例题与变式训练涵盖纪念品购买、研学行程等真实场景，培养模型意识与应用意识。如行程问题通过“原计划与实际路程速度关系”题型，引导学生用数学思维分析等量关系，分层训练满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主复习提升。

分式方程的应用：经济问题、行程问题、工程问题复习讲义 分式方程的应用：经济问题、行程问题、工程问题复习讲义 考点目录 分式方程的应用：经济问题 分式方程的应用：行程问题 分式方程的应用：工程问题 考点一 分式方程的应用：经济问题 【知识点解析】 1. 明确销售问题的核心量与公式 （1）核心量：进价（成本）、售价、销量、利润、利润率、折扣 （2）基础公式 ①单件利润 = 售价 - 进价； ②总利润 = 单件利润 × 销量； ③利润率 = （单件利润 / 进价）× 100%（注意：利润率的分母是进价，不是售价）； ④折扣后售价 = 原价 × 折扣（如 8 折 = 原价 ×0.8）； ⑤销量变化：常与售价反向相关（售价涨→销量降，售价降→销量涨）. 2.解题步骤 步骤 1：审题→标注关键量，确定未知量； 步骤 2：设未知数→优先设“影响多个量的核心量”； 步骤 3：找等量关系→列分式方程； 步骤 4：解方程→去分母转化为整式方程； 步骤 5：作答→明确回答问题（带单位）. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 例2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 例3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．（商品利润率） (1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的倍时，这个商人得到的总利润率为，设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，请求出的值； (2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率． 例4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． (1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ (2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同． (1)求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？ (2)该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？ 变式2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 变式3．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A，B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A，B分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管的根数比花320元购得的小球的个数多了80．请你们帮老师算一算，每根塑料管和每个小球的价格各是多少元？ 变式4．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 考点二 分式方程的应用：行程问题 【知识点解析】 1. 行程问题核心公式（基础前提） （1）路程（s）= 速度（v）× 时间（t） （2）推导公式：速度（v）= 路程（s）/ 时间（t）；时间（t）= 路程（s）/ 速度（v） 2.解题步骤 步骤 1：审题→拆解运动过程，标注关键量 · 运动类型：相遇、追及、同向 / 反向、往返、顺流 / 逆流（流水行船）、顺风 / 逆风（航空）； · 已知量：路程（总路程、分段路程）、速度（已知速度、速度差 / 比）、时间（总时间、时间差 / 比）； · 未知量：通常是速度（如 “求甲车速度”）或时间（如 “求行驶某段路的时间”），偶尔是路程。 步骤 2：设未知数→优先设 “核心关联量” 步骤 3：找等量关系→列分式方程 场景类型 核心等量关系 分式方程特征 往返 / 同路程 去程路程 = 返程路程； 去程时间 ± 时间差 = 返程时间 时间 = 路程 / 速度， 出现分式（如 s/x ± a = s/(x+b)） 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程； 甲乙运动时间相等（同时出发、同时相遇） 时间相等→ 甲路程 / 甲速度 = 乙路程 / 乙速度 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离；追及时间相等 时间相等→ （快者路程）/ 快速度 = （慢者路程）/ 慢速度 顺流 / 逆流 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度； 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度； 顺 / 逆流路程相等 顺流时间 = 逆流时间 ± 时间差→ s/(x+y) = s/(x-y) ± a 步骤 4：解方程→转化为整式方程求解 步骤 5：双重检验（关键！避免错误） 步骤 6：作答→明确回答问题（带单位） 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为千米．因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为千米，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了分钟．求大巴车原计划的平均速度． 例2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 例3．（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 例4．（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）小强和小刚两人的家到学校的路程都是2千米，小强从家先步行200米到公交车站，剩余路程再搭乘公交车去学校；小刚从家骑自行车去学校．某天两人同时从家出发去学校，小强步行200米到公交车站等候4分钟然后坐上公交车，结果两人同时到达学校．已知小强步行的速度是小刚骑自行车速度的倍，公交车的速度是小刚骑自行车速度的3倍，求小刚骑自行车的速度． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 变式2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 变式3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 变式4．（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 考点三 分式方程的应用：工程问题 【知识点解析】 工程问题核心公式（基础前提） 工程问题的核心逻辑围绕 “工作量、工作效率、工作时间” 展开： · 基本公式：工作总量（W）= 工作效率（P）× 工作时间（t） · 推导公式：工作效率（P）= 工作总量（W）/ 工作时间（t）； 工作时间（t）= 工作总量（W）/ 工作效率（P） · 关键约定：若无明确工作量，默认将总工作量设为 1（如 “完成一项工程”“修一条路”），此时： 单独完成工作的效率 = 1 / 单独完成时间（如甲单独做需 5 天→ 甲效率 = 1/5）； 合作效率 = 各主体效率之和（如甲效率 1/5，乙效率 1/6→ 甲乙合作效率 = 1/5 + 1/6）. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 例2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 例3．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 例4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 变式3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (注：工作天数取整数) (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？ (2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可以合作施工多少天？ 变式4．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 课后提升训练 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元． (1)求该校教师人数和学生人数； (2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？ 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程（组）解下列问题： 近期“渝超”联赛火热进行中，全重庆掀起一股足球热潮．我校为鼓励学生参与足球运动，决定花费10800元购进一批足球．已知学校计划采购120个入门款足球供体育课使用，20个专业款足球供足球队训练，且专业款足球单价是入门款单价的3倍． (1)求入门款足球和专业款足球的单价分别是多少元？ (2)考虑到体育器材的损耗，学校计划再次采购，恰逢供应商降价酬宾，其中入门款足球每个降价a元，专业款足球每个降价3a元．经计算，学校花费5500元购进入门款足球的数量比花费4950元购进专业款足球数量的3倍多10个，求a的值． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走苏伊士运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国上海港出发，原来走苏伊士运河航线海运里程约公里，取道北极航线海运里程缩短公里，时间节省天，因北极航线临近大陆，风浪较小，平均速度是原来的倍．求集装箱货轮走北极航线平均每天航行多少公里？ 5．（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 6．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式方程的应用：经济问题、行程问题、工程问题复习讲义 分式方程的应用：经济问题、行程问题、工程问题复习讲义 考点目录 分式方程的应用：经济问题 分式方程的应用：行程问题 分式方程的应用：工程问题 考点一 分式方程的应用：经济问题 【知识点解析】 1. 明确销售问题的核心量与公式 （1）核心量：进价（成本）、售价、销量、利润、利润率、折扣 （2）基础公式 ①单件利润 = 售价 - 进价； ②总利润 = 单件利润 × 销量； ③利润率 = （单件利润 / 进价）× 100%（注意：利润率的分母是进价，不是售价）； ④折扣后售价 = 原价 × 折扣（如 8 折 = 原价 ×0.8）； ⑤销量变化：常与售价反向相关（售价涨→销量降，售价降→销量涨）. 2.解题步骤 步骤 1：审题→标注关键量，确定未知量； 步骤 2：设未知数→优先设“影响多个量的核心量”； 步骤 3：找等量关系→列分式方程； 步骤 4：解方程→去分母转化为整式方程； 步骤 5：作答→明确回答问题（带单位）. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 例2．（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同． (1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； (2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【答案】(1)甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元 (2)最少需购买4盒甲种茶叶礼盒 【详解】（1）解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元； （2）解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为4． 答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒． 例3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．（商品利润率） (1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的倍时，这个商人得到的总利润率为，设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，请求出的值； (2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元， ∴甲种商品的售出价为元，乙种商品的售出价为元， 设售出甲种商品件，则售出乙种商品件， 根据题意，得， 解得：， 所以，； （2）解：设售出的甲、乙两种商品的件数均为，则 商人的总利润率， ， 答：此时这个商人的总利润率为． 例4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）某超市用4500元购进一批水果，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该种水果，但这次的进货单价比第一次的单价提高了，购进数量比第一次的2倍还多100千克． (1)该超市第一次购进水果的单价是每千克多少元？ (2)如果超市按每千克15元的定价出售，一部分水果售出后，余下的500千克按定价的8折售完．那么这两次水果销售中，该超市总共获利多少元？ 【答案】(1)超市第一次购进水果的单价是每千克10元 (2)总获利为元 【详解】（1）解：设该超市第一次购进水果的单价是每千克元，则第二次进货单价是每千克元， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：该超市第一次购进水果的单价是每千克10元； （2）解：由题意可知，第一次购进水果的数量为：（千克）；第二次购进水果的数量为：（千克）； 则两次一共购进水果：（千克）； 按15元每千克出售的水果有：（千克）， 则总销售额为：（元）， 总成本为：（元）， 总获利为：（元）． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某书店销售精装和简装两种版本的名著，精装版单价比简装版贵15元．用450元购买简装版的数量与用720元购买精装版的数量相同． (1)求简装版和精装版名著的单价分别是多少元？ (2)该书店计划一次性购进两种版本共40本，且总进货费用不超过1200元，则最多能购进精装版多少本？ 【答案】(1)简装版单价25元，精装版单价40元 (2)最多能购进精装版13本 【详解】（1）解：设简装版名著单价为元，则精装版名著单价为元． 根据题意，． 解得：，经检验是原方程的解，且符合实际； 因此，简装版单价为元，精装版单价为元． （2）设购进精装版本，则购进简装版本． 总进货费用为元． 根据总进货费用不超过1200元，得不等式： 解得： 由于为整数，因此． 故最多能购进精装版本． 变式2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 变式3．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A，B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个A分子模型与1个B分子模型，制作一个A，B分子模型需要的小球、塑料管数量分别为与，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管的根数比花320元购得的小球的个数多了80．请你们帮老师算一算，每根塑料管和每个小球的价格各是多少元？ 【答案】(1) 制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根 (2) 每根塑料管的单价是元/根，每个小球的单价是1元/个 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根， 由题意，得， 解得， 则， 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根； （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个， 根据题意得， 解得， 经检验：是原方程的解， 则（元）， 答：每根塑料管的单价是元/根，每个小球的单价是1元/个． 变式4．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)16万元，14万元 (2)20万元 【详解】（1）解：设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：款机器人每件成本为16万元，款机器人每件成本为14万元． （2）解：设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元， 根据题意，得， 解得：． 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是20万元． 考点二 分式方程的应用：行程问题 【知识点解析】 1. 行程问题核心公式（基础前提） （1）路程（s）= 速度（v）× 时间（t） （2）推导公式：速度（v）= 路程（s）/ 时间（t）；时间（t）= 路程（s）/ 速度（v） 2.解题步骤 步骤 1：审题→拆解运动过程，标注关键量 · 运动类型：相遇、追及、同向 / 反向、往返、顺流 / 逆流（流水行船）、顺风 / 逆风（航空）； · 已知量：路程（总路程、分段路程）、速度（已知速度、速度差 / 比）、时间（总时间、时间差 / 比）； · 未知量：通常是速度（如 “求甲车速度”）或时间（如 “求行驶某段路的时间”），偶尔是路程。 步骤 2：设未知数→优先设 “核心关联量” 步骤 3：找等量关系→列分式方程 场景类型 核心等量关系 分式方程特征 往返 / 同路程 去程路程 = 返程路程； 去程时间 ± 时间差 = 返程时间 时间 = 路程 / 速度， 出现分式（如 s/x ± a = s/(x+b)） 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程； 甲乙运动时间相等（同时出发、同时相遇） 时间相等→ 甲路程 / 甲速度 = 乙路程 / 乙速度 追及问题 快者路程 - 慢者路程 = 初始距离；追及时间相等 时间相等→ （快者路程）/ 快速度 = （慢者路程）/ 慢速度 顺流 / 逆流 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度； 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度； 顺 / 逆流路程相等 顺流时间 = 逆流时间 ± 时间差→ s/(x+y) = s/(x-y) ± a 步骤 4：解方程→转化为整式方程求解 步骤 5：双重检验（关键！避免错误） 步骤 6：作答→明确回答问题（带单位） 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）某校组织八年级师生乘大巴车前往红色教育基地开展研学活动，原计划路程为千米．因道路维修临时改道，从学校到基地的实际行驶路程为千米，大巴车的平均速度降低为原计划的，最终行程用时比原计划多了分钟．求大巴车原计划的平均速度． 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶千米 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶x千米，则实际大巴车平均每小时行驶千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划大巴车平均每小时行驶千米． 例2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 例3．（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 【答案】(1)千米/小时 (2)千米 【详解】（1）解：设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时， 解得 经检验，是原方程的解， 则“信鸽”的速度为千米/时； 答：“信鸽”仿生飞行器的速度是千米/时． （2）解：3小时5分30秒小时， “信鸽”飞行的路程：千米， “云鹗”飞行的路程：千米， 多飞行的路程：千米． 答：“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行约千米． 例4．（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）小强和小刚两人的家到学校的路程都是2千米，小强从家先步行200米到公交车站，剩余路程再搭乘公交车去学校；小刚从家骑自行车去学校．某天两人同时从家出发去学校，小强步行200米到公交车站等候4分钟然后坐上公交车，结果两人同时到达学校．已知小强步行的速度是小刚骑自行车速度的倍，公交车的速度是小刚骑自行车速度的3倍，求小刚骑自行车的速度． 【答案】12千米/小时 【详解】解∶设小刚骑自行车的速度为v千米/分钟， 则小强步行速度为千米/分钟，公交车速度为千米/分钟． 小强步行距离为200米即0.2 千米，公交车距离为千米， 小强步行时间为：分钟，等待时间为4分钟， 公交车时间为 小强总时间为分钟． 小刚时间为分钟， 两人同时到达，所以 整理得 解得：千米/分钟． 经检验是分式方程的解． 转换为千米/小时∶千米/小时， 答∶小刚骑自行车的速度为12千米/小时 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）“湘超”足球联赛火爆三湘四水．在“湘超足球联赛”期间，小敏和小兰俩相约步行去郴州市体育中心（赛场）观看郴州队和娄底队的比赛，已知小敏家离这个赛场的距离是米，小兰家离这个赛场的距离是米，小兰的步行速度是小敏的倍，但小敏比小兰提前分钟出发，结果她俩同时到达此赛场，求小兰的步行速度是每分钟多少米？ 【答案】米 【详解】解：设小敏的步行速度是每分钟x米，则有：， 整理，得， 解得， 经检验：既是原方程的解，又符合题意． 所以：． 答：小兰的步行速度是每分钟米． 变式2．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积： 油价：8元/ 续航里程： 每千米行驶费用：元 新能源车 电池容量： 电价：1元/ 续航里程： 每千米行驶费用：______元 已知燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． (1)根据表格中的数据，新能源车每千米行驶的费用为______；（用含m的代数式表示） (2)请分别求出这两款车的每千米行驶费用； (3)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用）？ 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 (3)当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低 【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）， 故答案为：元； （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（元）， （元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）解：设每年行驶里程为， 由题意，得：， 解得． 故当每年行驶里程超过时，买新能源车的年费用更低． 变式3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 变式4．（24-25八年级上·湖北宜昌·月考）不忘初心，夷陵志愿者在行动．每年的12月5日是国际志愿者日，这一天，某志愿者步行到离家1000米的社区去开展服务工作，到社区后发现服务用具不够，于是他立即按原路步行回家，拿到用具后立即按原路骑自行车返回社区．已知该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍． (1)求该志愿者步行速度（单位：米/分）是多少？ (2)下午结束后，该志愿者骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果该志愿者骑自行车和步行的速度不变，该志愿者步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从社区到家时间的3倍，那么该志愿者家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 【答案】(1)步行的速度为米/分 (2)该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米 【详解】（1）解：某志愿者步行到离家米的社区去开展服务工作，即总路程为米，该志愿者骑自行车速度是步行速度的倍， 设步行速度为米/分，则骑自行车的速度为米/分， ∵该志愿者步行从社区到家所用的时间比他骑自行车从家到社区所用的时间多10分钟， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行的速度为米/分； （2）解：步行的速度为米/分， ∴骑自行车的速度为米/分， ∴该志愿者骑车从社区到家的时间为（分钟）， 设从家到图书馆的距离为米， ∴， 解得，， ∴该志愿者家与图书馆之间的路程最多是米． 考点三 分式方程的应用：工程问题 【知识点解析】 工程问题核心公式（基础前提） 工程问题的核心逻辑围绕 “工作量、工作效率、工作时间” 展开： · 基本公式：工作总量（W）= 工作效率（P）× 工作时间（t） · 推导公式：工作效率（P）= 工作总量（W）/ 工作时间（t）； 工作时间（t）= 工作总量（W）/ 工作效率（P） · 关键约定：若无明确工作量，默认将总工作量设为 1（如 “完成一项工程”“修一条路”），此时： 单独完成工作的效率 = 1 / 单独完成时间（如甲单独做需 5 天→ 甲效率 = 1/5）； 合作效率 = 各主体效率之和（如甲效率 1/5，乙效率 1/6→ 甲乙合作效率 = 1/5 + 1/6）. 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【答案】甲组每天生产个，乙组每天生产个 【详解】解：设甲组每天能生产个专用控制元件， 则乙组每天能生产个专用控制元件， 可列方程为， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， 所以乙组每天分别能生产个专用控制元件， 答：甲组每天生产个，乙组每天生产个． 例2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 例3．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换公里钢轨比一个人工工作队更换公里钢轨所用时间少小时． (1)求一辆型快速换轨车每小时更换钢轨多少公里； (2)现在有一个紧急维修任务，需要在小时内（包含小时）完成公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台型快速换轨车和多个人工工作队同时协同作业，假设每个人工工作队的速度相同，求至少需要多少个人工工作队才能完成这个紧急维修任务？ 【答案】(1)2 (2)8 【详解】（1）解：设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆型快速换轨车每小时更换钢轨公里 解得 经检验是原方程的解， 公里， 答：一辆型快速换轨车每小时更换钢轨2公里； （2）解：设需要y个人工工作队， ， ∴至少需要 8 个人工工作队． 例4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树棵，乙组比甲组每天多植树20棵． (1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值； (2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务． ①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数； ②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若，则；若，则；若，则．） 【答案】(1) (2)①，；②正确 【详解】（1）解：甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， 根据题意列分式方程得： ． 整理得，，解得， 经检验，是原分式方程的解， 的值是． （2）解：①∵甲组每天植树棵，则乙组每天植树棵， ∴甲组完成160棵任务需要天，乙组完成200棵任务需要天． 故答案为：，． ② ， ∵， ， ，即：， ， ∴甲组完成任务所用的时间更少， ∴嘉淇的说法正确． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 (2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 变式2．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 变式3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天． (注：工作天数取整数) (1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？ (2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用低于7900元，则两工程队最多可以合作施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各完成600米和300米； (2)两工程队最多可以合作施工4天． 【详解】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成米，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是方程的解，则（米）， 答：甲、乙两工程队每天各完成600米和300米； （2）设两工程队最多可以合作施工a天，根据题意得： ， 解得：， ∵，且工作天数取整数， ∴为偶数， ∴两工程队最多可以合作施工4天． 变式4．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 课后提升训练 1．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）为庆祝中华人民共和国成立七十六周年，某校组织了大型的庆祝活动，需保证每位师生都拥有一面小五星红旗．已知该校学生人数比教师人数的8倍还多人，购买教师用小五星红旗和学生用小五星红旗分别花了元和元． (1)求该校教师人数和学生人数； (2)在庆祝活动期间，学校为每位教师和学生提供一瓶饮用水，且购买饮用水的费用不超过元，则每瓶饮用水的价格不超过多少元？ 【答案】(1)教师人数为人，学生人数为人； (2)每瓶饮用水的价格不超过元； 【详解】（1）解：设该校教师人数为，则学生人数为； 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 即：教师人数为人，学生人数为人； （2）解：设每瓶饮用水的价格为元，由题意得： ，解得； ∴每瓶饮用水的价格不超过元． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 3．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程（组）解下列问题： 近期“渝超”联赛火热进行中，全重庆掀起一股足球热潮．我校为鼓励学生参与足球运动，决定花费10800元购进一批足球．已知学校计划采购120个入门款足球供体育课使用，20个专业款足球供足球队训练，且专业款足球单价是入门款单价的3倍． (1)求入门款足球和专业款足球的单价分别是多少元？ (2)考虑到体育器材的损耗，学校计划再次采购，恰逢供应商降价酬宾，其中入门款足球每个降价a元，专业款足球每个降价3a元．经计算，学校花费5500元购进入门款足球的数量比花费4950元购进专业款足球数量的3倍多10个，求a的值． 【答案】(1)入门款足球单价为60元，专业款足球的单价为180元 (2) 【详解】（1）解：设入门款足球单价为x元，专业款足球的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：入门款足球单价为60元，专业款足球的单价为180元， （2）根据题意得： 解得：， 检验：当时，， ∴． 4．（25-26九年级上·云南昆明·期中）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走苏伊士运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国上海港出发，原来走苏伊士运河航线海运里程约公里，取道北极航线海运里程缩短公里，时间节省天，因北极航线临近大陆，风浪较小，平均速度是原来的倍．求集装箱货轮走北极航线平均每天航行多少公里？ 【答案】集装箱货轮走北极航线平均每天航行600公里 【详解】解：设集装箱货轮原来走苏伊士运河航线平均每天航行公里，则走北极航线平均每天航行公里． 走苏伊士运河航线里程20000公里，航行时间为天； 走北极航线里程为（公里），航行时间为天； 时间节省20天，故列方程：， 化简， 即，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 北极航线平均每天航行里程：（公里）． 答：集装箱货轮走北极航线平均每天航行600公里． 5．（25-26八年级上·河北邢台·期中）某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 6．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 2 学科网（北京）股份有限公司 $