精品解析：内蒙古自治区包头市第九中学外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度高中数学12月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角. 【详解】由已知直线的斜率， 设直线倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 2. 方程的化简结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由表达式几何意义并利用椭圆定义可知满足椭圆的方程，即可得出结果. 【详解】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即，解得，所以. 故选：A. 4. 已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 5. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合垂直平分线的性质可得，结合椭圆的定义判断曲线的轨迹形状，由此确定曲线方程. 【详解】圆：的圆心，半径. 由于， 所以在圆内，， 根据垂直平分线的性质可知， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 设该椭圆方程为，设椭圆的半焦距为， 则，， 所以，，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 7. 如图，棱长为1的正方体中，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】根据题意，设点到平面的距离为， 则，即， 则，得. 故选：D 8. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，再利用即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 因为渐近线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：C 9. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆的一般方程，利用待定系数法求出并化成标准方程形式. 【详解】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 故选：A 10. 已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 11. 直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率及与x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线斜率为，且过点， 则直线关于x轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即. 故选：B 12. 如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案； 【详解】记，则， 所以， 由于，故 ， 故. 故选：D. 二、多选题 13. 已知曲线，则（ ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线 D. 若，，则C是两条直线 【答案】CD 【解析】 【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当或时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 14. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. 与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D. 若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，由单位向量、法向量的定义即可判断；对于D，由四点共面的充要条件判断即可. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，若非零向量，，不共面，则取为平面的一组基底向量，为平面的法向量满足，，但不共线，故B错误； 对于C，由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，因为，所以，，，四点不共面，故D错误. 故选：AC. 15. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 16. 已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）. A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同离心率 D. 有相同的渐近线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 17. 设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设，根据椭圆、双曲线定义求得，进而判断AB；由，结合向量相关知识可得，进而判断CD. 【详解】设，， 则，解得，即，故B正确； 显然，可得，故A错误； 因为， 则， 且， 即，整理得， 则，即，故D正确； 因为不恒为0， 所以不一定垂直，故C错误； 故选：BD. 18. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（ ） A. 有一条切线方程为 B. 有一条切线方程为 C. D. 四边形的面积为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用圆心O到直线的距离d等于半径r求解判断A，B；利用圆的直径垂直平分弦判断C；利用面积公式求解判断D 【详解】由题意可知，过点作圆的两条切线斜率都存在， 所以设直线方程为， 所以圆心O到直线的距离d等于半径r， 即或， 所以切线方程为或，故A对；B错； 因为PA，PB是圆O的切线，所以， 所以四点共圆， 又，所以PO平分AB， 且PO是圆的直径，所以，故C对； ， 所以四边形的面积为，故D对； 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题 19. 已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据给定条件，可得为等边三角形，结合对称性得在轴上，求出点的坐标，再由直线的斜率求出椭圆的离心率． 【详解】由，且，得为等边三角形，点在线段的中垂线，即轴上， 令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为， 因此，所以的离心率为. 故答案为： 20. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线与所成角的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，利用线线垂直可证平面，进而可得，可求异面直线与所成角的大小. 【详解】取的中点，连接，因为， 所以，又，平面， 所以平面，平面，所以， 所以折纸后异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 21. 已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线过定点，然后利用两点斜率公式，结合图象求出斜率范围即可. 【详解】直线，即，所以直线过定点， 如图，． 因直线l与线段相交，则由图可知或， 即k的取值范围是． 故答案为： 22. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合双曲线的定义求，根据，即可求出结果. 【详解】因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得， 又，所以，即，则， 因为双曲线中，， 即，则，即， 又双曲线的离心率大于，所以. 所以双曲线离心率的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 23. 已知圆与圆相交于两点. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程. (2)求两圆的公共弦长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）两圆相减得到公共弦所在直线；（2）根据垂径定理构造方程，进而得到结果. 【详解】(1)设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标满足方程组 两式相减得 此方程即为过A,B两点的直线方程. 所以两圆的公共弦所在直线的方程为. (2)圆C1可化为(x+1)2+(y+4)2=25,圆C1的圆心为,半径长. )到直线的距离. 则弦长. 【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理． 24. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【小问1详解】 设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. 【小问2详解】 设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 25. 已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，得到，再由求解； （2）当直线l与x轴垂直，容易判断；当直线l与x轴不垂直，设直线l的方程是，与椭圆C的方程联立，由，即结合韦达定理求解. 【小问1详解】 因为，所以椭圆C的左焦点的坐标是， 所以，解得， 所以椭圆C的方程为 【小问2详解】 当直线l与x轴垂直， 则直线l与椭圆C的交点M，N的坐标分别是， 所以，符合题意； 此时直线的方程是； 若直线l与x轴不垂直，设直线的方程是， 由，消去y并整理，得， 设，则， ， 又，所以，即， 所以 ， 即， ， 显然满足， 所以直线l与x轴不垂直时，直线的方程是，即. 综上：直线的方程为或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学12月月考卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 方程的化简结果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C D. 5. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆（圆心为），点，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，棱长为1的正方体中，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 过三点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（ ） A. B. C. D. 11. 直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 13. 已知曲线，则（ ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线 D. 若，，则C是两条直线 14. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. 与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D. 若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 15. 已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（ ） A. B. C. D. 16. 已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）. A. 有相同的焦距 B. 有相同的焦点 C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线 17. 设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 18. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则下列判断正确的是（ ） A. 有一条切线方程为 B. 有一条切线方程为 C. D. 四边形的面积为2 第II卷（非选择题） 三、填空题 19. 已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为__________. 20. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线与所成角的大小为_____. 21. 已知点，若直线与线段相交，则k的取值范围是______． 22. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是_____. 四、解答题 23. 已知圆与圆相交于两点. (1)求两圆公共弦所在直线的方程. (2)求两圆的公共弦长. 24. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. （1）求椭圆的方程； （2）设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 25. 已知，是椭圆左、右焦点，点在椭圆上，且. （1）求椭圆方程； （2）已知，，若过点A的直线与椭圆交于M，N两点，若，求出直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $