3.8.2弧长及扇形的面积 课件 2025-2026学年 浙教版（2012）数学九年级上册

3.8.2弧长及扇形的面积 浙教版 1 在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗. 问题（1）这只狗的最大活动区域是什么图形？ 问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？ 问题（3）如果这只狗只能绕柱子转180°的角呢，又如何呢？若只能转120°的角呢？36°的角呢？它们又是些什么图形？ 导入新知 2 半径 半径 圆心角 弧 O B A 扇形 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. O B A 归纳 3 问题1 半径为r的圆,面积是多少？ O r 问题2 下面图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢? O r 180° O r 90° O r 45° O r n° 探究新知 4 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形的 面积 在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为 扇形的面积计算 归纳 6 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. O ● A B D C E F O ● A B C D 问题 扇形的面积与哪些因素有关？ 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 问题探究 l 弧 ＝ πR 180 n S扇形＝ 360 n πR2 问题探究 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想 :扇形的面积公式与什么公式类似？ 例题探究 例1、如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问哪一把扇子扇面的面积大？ 解：设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差， 所以两把扇子扇面的面积一样大. ∴ 而 练习 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的周长.（精确到0.01cm） O R 60° 解：∵n=60，r=10cm， ∴扇形的周长为 例题解析 例2、一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2公里，一辆汽车以每小时60公里的速度通过弯道,需时间20秒,试求弯道(弧AB)所对圆心角的度数(结果精确到0.1度). 解：汽车在20s内通过的路程为l=(km) 由弧长公式l=，得圆心角的度数为 n= 答：弯道所对圆心角的度数约为9.5°. · O A 解：设半径OA绕轴心O逆时针 方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90° 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动， π取3.14）？ 练习 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm） 讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？ 阴影部分. 问题探究 O. B A C D O. B A C D (2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC ，过点O作OD垂直于AB并交圆O于C. (3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交弧AB于点C,连接AC. ∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线， ∴AC＝AO＝OC. 　从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚. O. B A C D (3) 　　有水部分的面积： S＝S扇形OAB - SΔOAB 1、求的阴影部分是什么图形？ 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 2、如何由扇形的面积公式推导弓形的面积公式？ 思考 （1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差； （2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和； O O 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 弓形的面积公式 归纳 例2、我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73.如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01m/s)? 例题解析 解：∵ 输水管的直径为2.5m OB=OA= ∵ ∠AOB=45°,BD⊥OA ∴OD=OB ∴OB= 则 ∴水流速度== ∴ 如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D 两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 . A B C D 练习 课堂练习 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．3π D．6π C 2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（ ） A.30° B.36° C.45° D.60° C 3. 如图 ，扇形 OAB 的圆心角为 60°，半径为 6 cm，C，D 是弧 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是_____． 2π 4、如图，在3×3的方格中(共有9个小格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O，B，C是格点，则扇形OBC的面积等于__ _(结果保留π) 5.如图所示，在半径为12的圆中，两圆心角∠AOB=60°，∠COD=120°，连结AB，CD，求图中阴影部分的面积． 解：S扇形AOB= =24π， S△AOB=×12×6 =36 ， 则S弓形AB=24π-36 . S扇形COD= 48π， S△COD= ×12×6=36 ， 则S弓形CD=48π-36 . ∴S阴影=S弓形CD-S弓形AB=48π-36 -(24π-36 )=24π. 扇形 定义 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法 课堂小结 THANK YOU 28 $