2026年 九年级数学中考一轮复习：等腰三角形

2026年 九年级数学中考一轮复习：等腰三角形 考试范围：等腰三角形；考试时间：120分钟；满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．如图，BE分别为△ABC的角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 2．如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AE⊥BD，垂足为E，且AB＝5，AE＝3，BC＝11，则∠BAE与∠C的关系为（　　） A．∠BAE＝3∠C B．∠BAE+2∠C＝90° C．∠BAE＝2∠C D．∠BAE+∠C＝90° 3．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝30°，∠QBC∠ABC；点D是射线BQ上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是（　　） A．30°或65° B．30°，65°或80° C．50°或80° D．50°，65°或80° 4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长（　　） A．大于9 B．等于9 C．小于9 D．不能确定 5．如图，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E，若BC＝10cm，则△ODE的周长为（　　） A．10cm B．8cm C．12cm D．20cm 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（　　） A．2.5 B．2 C．3.5 D．3 8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，若AB＝12，DE＝7，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（　　） A．6 B．4.5 C．3 D．2 10．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），以下五个结论正确的个数是（　　） ①AE＝CF； ②∠APE＝∠CPF； ③△EPF是等腰直角三角形； ④EF＝AP； ⑤S四边形AEPF． A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（每题4分，共24分） 11．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠A＝3∠C，求AC＝　 　 ． 12．将等腰三角形纸片ABC的底边BC沿着过B点的折线折叠，使点C落在腰AB上．这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则∠A＝ 　 　 ． 13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，CD⊥BE 于点D，BE交AC于点E．若AC＝8，BC＝5，则AE的长为 　 　 ． 14．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝12，AC＝9，则DE＝　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，过A作AH⊥CD，垂足为H，若∠AED＝45°，，AB＝12，则 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，在△ABC的内部取一点O，连接OA，OB，OC，恰有OA＝OC，∠OBA＝20°，∠OCA＝40°．给出下列说法：①∠BOA＝140°；②△OAB是等腰三角形；③∠OBC＝30°；④△ABC是等边三角形．其中说法正确的是　 　 ．（填序号） 三．解答题（共6小题，共66分） 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，DE∥AB，交AC于点E． （1）求证：△ADE是等腰三角形； （2）求证：AE＝EC． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AC的垂直平分线EF交AB于点E，交AD于点O，交AC于点F，连接OB，OC． （1）求证：△AOB是等腰三角形； （2）若∠BAD＝18°，求∠AEF的度数． 19．如图，△ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，交CA的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若∠B＝2∠F，BE＝2，CF＝16，求BC的长． 20．已知△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，作CD⊥AB．AF平分∠CAB，点N为EF的中点，过N作MN∥AB，且BC＝8，AB＝10． （1）求证：CE＝CF； （2）求MN的长． 21．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：　 　 ． （2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由． 22．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BD，BD平分∠ABC，AE⊥BD于E，P为线段AD上一动点． （1）求∠DAE； （2）当P到BD的距离为1，到AB的距离为2时，求AE的长； （3）当P运动至CE延长线上时，连接BP，求证：BP⊥AD． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B A D A A B C 二．填空题 11．． 12．36°． 13．3． 14．7.2． 15．． 16．①②③． 三．解答题 17．证明：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴∠CAD＝∠ADE， ∴EA＝ED， ∴△ADE是等腰三角形； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAE+∠C＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°， ∵∠CAD＝∠ADE， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∵AE＝ED， ∴AE＝EC． 18．（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB， ∴△AOB是等腰三角形； （2）解：∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠EAF＝2∠BAD＝36°， ∴∠AEF＝90°﹣∠EAF＝54°． 19．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠FEC＝∠DEB＝90°， ∴∠C+∠F＝90°，∠B+∠BDE＝90°， ∴∠BDE＝∠F， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠F， ∴AF＝AD； （2）解：∵∠B＝2∠F，∠B＝∠C， ∴∠C＝2∠F， ∵∠C+∠F＝90°， ∴∠F＝30°， ∵∠FEC＝90°，CF＝16， ∴CECF＝8， ∵BE＝2， ∴BC＝BE+CE＝8+2＝10． 20．（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAF+∠CFA＝90°， ∵CD⊥AB，即∠ADC＝90°， ∴∠DAE+∠DEA＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE，且∠DEA＝∠CEF， ∴∠CAF+∠DEA＝∠CAF+CEF＝90°， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF； （2）解：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE， ∵MN∥AB， ∴∠MNA＝∠NAB， ∴∠MAN＝∠MNA， ∴MN＝MA， 如图所示，连接CN， ∵△CEF是等腰三角形，点N为EF的中点， ∴CN⊥AF，即∠ANC＝90°＝∠MNA+∠MNC， ∵∠CAN+∠ACN＝90°， ∴∠MCN＝∠MNC， ∴MN＝MC， ∴， 在Rt△ABC中，， ∴MNAC＝3． 21．解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO， ∴EB＝EO，FC＝FO， ∵EF＝EO+FO， ∴EF＝EB+FC， 故答案为：EF＝EB+FC； （2）EF＝BE﹣CF， 理由是：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC， ∴∠EBO＝∠EOB， ∴EB＝EO， 同理可得：FO＝CF， ∵EF＝EO﹣FO， ∴EF＝BE﹣CF． 22．（1）解：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD45°， ∵AB＝BD， ∴∠ADB＝∠DAB（180°﹣∠ABD）（180°﹣45°）＝67.5°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5°； （2）解：如图2，连接PB， ∵PG⊥BD，PH⊥AB，AE⊥BD， ∴S△ABD＝S△BDP+S△ABPBD•PGAB•PHBD•AE， ∵BD＝AB， ∴PG+PH＝AE， ∵P到BD的距离为1，到AB的距离为2， ∴AE＝1+2＝3； （3）证明：∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∠AEB＝∠DCB＝90°， BD＝AB， ∴△BDC≌△BAE（AAS）， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°， ∴∠PED＝∠PDE＝67.5°， ∴PD＝PE，∠AEP＝22.5°， ∴∠PAE＝∠AEP＝22.5°， ∴AP＝PE， ∴PD＝AP， ∵AB＝BD， ∴PB⊥AD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/8 23:46:33；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $