【5年中考压轴真题】2022～2026年重庆市选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 汇编2022-2026年重庆中考压轴真题，含选择15题、填空16题、解答16题，聚焦几何变换、函数综合、新定义问题，梯度覆盖基础到难，适配一轮复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|15题|整式新定义（如“加算操作”）、正方形翻折|结合逻辑推理，多选项辨析| |填空题|16题|圆与菱形综合、“友谊数”等新定义|含双空题，考查计算与分类讨论| |解答题|16题|抛物线平移与几何综合、动态最值（如翻折后线段最小值）|多问设计，融合几何证明与代数运算|

【5年中考压轴真题】2022~2026年重庆市选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共15小题） 1．（2022•重庆）·【较易】在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号（x，y，z，m，n均不为零），加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…． 下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025•重庆）·【较易】如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025•重庆）·【较易】已知整式M：a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数，n，a1，a2，⋯，an为正整数，且a0+a1+⋯+an＝4．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当n＝3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026•重庆）·【较易】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•重庆）·【中档】已知整式M：a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0＜a1＜a2＜…＜an，且n+|a0|+|a1|+…+|an|＝6．下列说法： ①当n＝1时，满足条件的所有整式M的和为22x﹣7； ②当n＝2时，若函数y＝M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2024•重庆）·【中档】已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法： ①满足条件的整式M中有5个整式是单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个； ③满足条件的整式M共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2023•重庆）·【中档】在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2022•重庆）·【中档】对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…， 给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024•重庆）·【中档】已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+⋯+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5．下列说法：①满足条件的整式M中有5个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个； ③满足条件的整式M共有16个．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2024•重庆）·【中档】如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2023•重庆）·【中档】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（　　） A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α 12．（2022•重庆）·【中档】关于x的分式方程1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．13 B．15 C．18 D．20 13．（2022•重庆）·【中档】若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13 14．（2023•重庆）·【中档】如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F，连接OF，若AB＝2，则OF的长度为（　　） A．2 B． C．1 D． 15．（2024•重庆）·【中档】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共16小题） 16．（2026•重庆）·【易】自然数m与n均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则m+n的最小值为　 　 ；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2，则满足条件的所有k的值之和为　 　 ． 17．（2022•重庆）·【较易】如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 　 　 ．（结果保留π） 18．（2025•重庆）·【较易】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为 　 　 ，EH的长度为 　 　 ． 19．（2026•重庆）·【中档】如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，D在⊙O上，AD＝12，BE经过圆心O，且BE⊥AD，垂足为E，OE＝8．连接OC交⊙O于点F，连接FB并延长交⊙O于点G，BE＝OC，则OB的长度为　 　 ，BG的长度为　 　 ． 20．（2024•重庆）·【中档】我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 　 　 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 　 　 ． 21．（2023•重庆）·【中档】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 　 　 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 　 　 ． 22．（2022•重庆）·【中档】特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　 　 ． 23．（2022•重庆）·【中档】为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 　 　 ． 24．（2023•重庆）·【中档】对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 　 　 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 　 　 ． 25．（2023•重庆）·【中档】若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　 ． 26．（2022•重庆）·【中档】如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．（结果不取近似值） 27．（2023•重庆）·【中档】若关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 　 　 ． 28．（2024•重庆）·【中档】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 　 　 ；DF的长度是 　 　 ． 29．（2024•重庆）·【中档】一个各数位均不为0的四位自然数M，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且b﹣a＝c﹣b＝1，则这个数为 　 　 ；若M是一个“友谊数”，设F（M），且是整数，则满足条件的M的最大值是 　 　 ． 30．（2024•重庆）·【中档】如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D，E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB＝10，DE＝8，则AF＝ 　 　 ，DG＝ 　 　 ． 31．（2025•重庆）·【较难】我们规定：一个四位数M，若满足a+b＝c+d＝10，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为1+9＝2+8＝10，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是　 　 ；一个“十全数”M，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数M'，记F（M），G（M）．若与均是整数，则满足条件的M的值是　 　 ． 三．解答题（共16小题） 32．（2022•重庆）·【较难】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG． （1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长； （2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AFAE； （3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值． 33．（2024•重庆）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点（﹣1，6），与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接AC，BC，tan∠CBA＝4． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF．当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QDK＝∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 34．（2023•重庆）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 35．（2022•重庆）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PMAM的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线yx2+bx+c的对称轴对称．将抛物线yx2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 36．（2022•重庆）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． Ⅷ 37．（2026•重庆）·【较难】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，以BC为斜边在BC上方作等腰直角三角形BCD． （1）如图1，若∠ABC＝30°，BD＝3，求AC的长度； （2）如图2，连接AD，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，延长ED交BC于点F，连接CE．点G，H分别是AB，CE的中点，连接DG，GH．求证：BC﹣ACGH； （3）如图3，BC＝12，AC＝3，点P在直线BC上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ．点M在直线AB上，连接DM，QM，将△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN，连接CN．当AQ+DQ取得最小值时，连接CQ，NQ，请直接写出△CQN面积的最大值． 38．（2026•重庆）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线ybx+c与x轴交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，1），连接AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，E是x轴上一动点，连接PE．当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PEAE的最小值； （3）将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到抛物线y′，点B的对应点为F，M是平移后抛物线y′上一点，直线AM交直线BF于点N，且∠ANB＝∠ACB﹣90°．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程． 39．（2023•重庆）·【较难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 40．（2025•重庆）·【难】在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE． （1）如图1，α＝∠BAC＝60°，∠CAE＝20°，求∠ADB的度数； （2）如图2，α＝∠BAC＝90°，BD＜CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于G，连接BG．点F是DE的中点，点H是BG的中点，连接FH，CF．用等式表示线段FH与CF的数量关系并证明； （3）如图3，∠BAC＝120°，α＝60°，AB＝8，连接BE，CE．点D从点B移动到点C过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得线段BM，连接EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N．当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连接PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△QPE，连接BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积． 41．（2024•重庆）·【难】在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE．在直线AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，直线EF与直线AC交于点G． （1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若∠BAC＝90°，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 42．（2023•重庆）·【难】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若AC＝9，BD，求线段AD的长； （2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE； （3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值． 43．（2022•重庆）·【难】如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F． （1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数； （2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值． 44．（2023•重庆）·【难】如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF． （1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF； （2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH； （3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值． 45．（2024•重庆）·【难】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC． （1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD； （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CNBD； （3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 46．（2025•重庆）·【难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（6，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE＝4，连接BD，PE．当取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点M为点P的对应点，点N为抛物线y′上的一动点．若∠NAB＝∠OPM﹣45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 47．（2024•重庆）·【难】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PDPE的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PDPE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【5年中考压轴真题】2022~2026年重庆市选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等， 故①正确； ②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号， 故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； 故②正确； ③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算， ∴2×2×2＝8种， 所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果． 故选：D． 2．【解答】解：如图，连接GE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， ∵点E是BC边的中点， ∴BE＝CE＝1， ∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE， ∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°， ∵GE＝GE， ∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）， ∴GF＝GB， 设GB＝GF＝x，则AG＝2﹣x，DG＝2+x， 根据勾股定理可得AG2+AD2＝DG2， 即（2﹣x）2+22＝（2+x）2， 解得， ∴，， ∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H， ∴点H到AD，AG，GD的距离相等， ∴， 故选：A． 3．【解答】解：当n＝1时，a0+a1＝4， 当a0＝0，a1＝4时，整式M为4x， 当a0＞0时，整式M不可能为单项式， 当n＞1时， ∵a1，a2，…，an为正整数， ∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当n＝3时，a0+a1+a2+a3＝4， 当a0＝0时，a1+a2+a3＝4， 则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，2x+x2+x3， 当a0＝1时，a1+a2+a3＝3， 则a1＝a2＝a3＝1，故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3， 当a0＞1时，a1+a2+a3＜3，与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1，故②错误； ∵多项式为二次三项式， ∴n＝2， ∴a0+a1+a2＝4， 因为多项式为三项式，故a0≠0， 当a0＝1时，a1+a2＝3， 则有1+x+2x2，1+2x+x2两种， ∵1+x+2x2＝2（x，1+2x+x2＝（x+1）2＞0， ∴1+x+2x2，1+2x+x2两种都满足条件， 当a0＝2时，a1+a2＝2， 则有2+x+x2一种， ∵， ∴2+x+x2满足条件， 当a0＞2时，a1+a2＜2与a1，a2，…，an为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是2个， 故选：C． 4．【解答】解：设BE＝a（a＞0）， ∵CE＝2BE， ∴CE＝2a，BC＝BE+CE＝3BE＝3a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝3a， ∴∠ADF+∠CDE＝90°，， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°， ∴∠FAD＝∠CDE， 在△ADF和△DEC 中， ， ∴△ADF∽△DEC， ∴，即， 解得， 如图，过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥CD于点N， ∴四边形CMFN是矩形， ∴FM＝CN，FN＝CM，FN∥BC，FM∥CD， ∴△DFN∽△DEC， ∴，即， 解得，， ∴，， 又∵FM∥CD， ∴△BCG∽△BMF， ∴，即， 解得， ∴，， ∴△BEF与△CFG的面积之比为， 故选：B． 5．【解答】解：①当n＝1时，1+|a0|+|a1|＝6，即|a0|+|a1|＝5， ∵a0＜a1，a1为正整数， ∴|a0|+a1＝5， 当a1＝1时，则|a0|＝4，解得a0＝﹣4或a0＝4＞a1（舍去），此时M＝﹣4+x； 当a1＝2时，则|a0|＝3，解得a0＝﹣3或a0＝3＞a1（舍去），此时M＝﹣3+2x； 当a1＝3时，则|a0|＝2，解得a0＝﹣2或a0＝2，此时M＝﹣2+3x或M＝2+3x； 当a1＝4时，则|a0|＝1，解得a0＝﹣1或a0＝1，此时M＝﹣1+4x或M＝1+4x； 当a1＝5时，则|a0|＝0，解得a0＝0，此时M＝5x， 则满足条件的所有整式M的和为（﹣4+x）+（﹣3+2x）+（﹣2+3x）+（2+3x）+（﹣1+4x）+（1+4x）+5x＝22x﹣7，说法①正确； ②当n＝2时，，2+|a0|+|a1|+|a2|＝6，即|a0|+|a1|+|a2|＝4， 由题意可知，a2为正整数，a0，a1为整数，且a0＜a1＜a2， ∴|a0|+|a1|+a2＝4， ∵函数的图象关于y轴对称， ∴a1+1＝0，即a1＝﹣1， ∴|a0|+|﹣1|+a2＝4， 解得|a0|＝3﹣a2， ∵a0＜a1＜a2， ∴a0＜﹣1＜a2， ∴|a0|＞1， ∴3﹣a2＞1，解得a2＜2， 又∵a2为正整数， ∴a2＝1，|a0|＝3﹣1＝2， ∴a0＝﹣2或a0＝2＞﹣1（舍去）， ∴满足条件的整式M＝﹣2﹣x+x2，有且仅有1个，说法②正确； ③∵整式M是二次二项式， ∴n＝2，且M只有两个非零项，同②可得：|a0|+|a1|+a2＝4，a2为正整数， ∴在这个二次二项式中，a1＝0或a0＝0， （Ⅰ）当a1＝0时，，|a0|+a2＝4，a0＜0＜a2， ∴a2＝4﹣|a0|＝4+a0＞0， ∴a0＞﹣4， ∴当a0＝﹣1，a2＝3时，M＝3x2﹣1，不能在有理数范围因式分解，舍去； 当a0＝﹣2，a2＝2时，M＝2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1），能在有理数范围因式分解； 当a0＝﹣3，a2＝1时，M＝x2﹣3，不能在有理数范围因式分解，舍去； （Ⅱ）当a0＝0时，，|a1|+a2＝4，0＜a1＜a2， ∴a1+a2＝4， ∴只有a1＝1，a2＝3符合，此时M＝3x2+x＝x（3x+1），能在有理数范围因式分解； 综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个；说法③正确； 所以说法正确的个数是3个． 故选：D． 6．【解答】解：∵n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5， ∴0≤n≤4， 当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5， ∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0， 满足条件的整式有x4， 当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5， ∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）， 满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1， 当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5， ∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1）， 满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1； 当n＝1时，则1+a1+a0＝5， ∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2）， 满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2； 当n＝0时，0+a0＝5， 满足条件的整式有：5； ∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意； 不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意； 满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意； 故选：D． 7．【解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故说法①正确． 要使其运算结果与原多项式之和为0，则运算结果应为﹣x+y+z+m+n， 由x＞y＞z＞m＞n可知，无论怎样添加绝对值符号，结果都不可能出现﹣x+y+z+m+n，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 8．【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意； ②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意； ③第1种：结果与原多项式相等； 第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n； 第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n； 第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n； 第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n； 第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n； 第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n； 第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意； 正确的个数为3， 故选：D． 9．【解答】解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+⋯+a1+a0＝5， ∴0≤n≤4， 当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5， ∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0， 满足条件的整式有x4， 当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5， ∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1）， 满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1， 当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5， ∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1）， 满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1； 当n＝1时，则1+a1+a0＝5， ∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2）， 满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2； 当n＝0时，0+a0＝5， 满足条件的整式有：5； ∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意； 不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意； 满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意； 故选：D． 10．【解答】解：过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H， ∴∠H＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°，AD＝DC， ∵AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE， ∴AE＝FE，∠AEF＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠HEF， 在△ADE和△EHF中， ， ∴△ADE≌△EHF（AAS）， ∴AD＝EH，DE＝HF， ∴EH＝DC， ∴DE＝CH＝HF， ∴∠HCF＝45°， ∴∠G＝45°， 设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y， 则CE＝y﹣x，CF，CG， ∴FG＝CG﹣CF， ∴， 故选：A． 11．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示： 则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE＝45°， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AEF＝∠AEG， ∵∠BAE＝α， ∴∠AEB＝90°﹣α， ∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α， 故选：A． 12．【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2， ∵x＞0且x≠3， ∴a﹣2＞0且a﹣2≠3， ∴a＞2且a≠5， 解不等式组得：， ∵不等式组的解集为y≥5， ∴5， ∴a＜7， ∴2＜a＜7且a≠5， ∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13， 故选：A． 13．【解答】解：解不等式组得：， ∵不等式组的解集为x≤﹣2， ∴2， ∴a＞﹣11， 解分式方程2得：y， ∵y是负整数且y≠﹣1， ∴是负整数且1， ∴a＝﹣8或﹣5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13， 故选：D． 14．【解答】解：如图，连接AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BE＝BC，∠ABC＝90°，ACAB＝2， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴∠EBC＝180°﹣2∠BEC， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝2∠BEC﹣90°， ∵BF平分∠ABE， ∴∠ABF＝∠EBF∠ABE＝∠BEC﹣45°， ∴∠BFE＝∠BEC﹣∠EBF＝45°， 在△BAF与△BEF中， ， ∴△BAF≌△BEF（SAS）， ∴∠BFE＝∠BFA＝45°， ∴∠AFC＝∠BFA+∠BFE＝90°， ∵O为对角线AC的中点， ∴OFAC， 故选：D． 15．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， 在△AEM和△AFM中， ， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴EM＝FM； ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°， 设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x， 在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32， 解得x． 故选：D． 二．填空题（共16小题） 16．【解答】解：设两个自然数的十位上的数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位上的数字为b（0≤b≤9，且b为整数），则自然数n的个位上的数字为9﹣b， ∴m＝10a+b，n＝10a+9﹣b， ∴m+n＝（10a+b）+（10a+9﹣b）＝20a+9，mn＝（10a+b）（10a+9﹣b）＝100a2+90a+b（9﹣b）， 要使m+n＝20a+9最小，需a最小， 则当a＝1时，m+n的最小值为20×1+9＝29， 此时mn＝100+90+b（9﹣b）＝﹣b2+9b+190＝﹣（b）2， 由二次函数的性质可知，当b＝4或b＝5时，mn的值最大，最大值为或，符合题意． 当m＞n时，m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+9﹣b）＝2b﹣9＞0， 解得b＞4.5， ∴5≤b≤9，且b为整数， ∴1≤2b﹣9≤9， ∴k2＝m2﹣n2， ∴k2＝（m﹣n）（m+n）＝（2b﹣9）（20a+9）， 又∵2b﹣9为奇数，且1≤2b﹣9≤9， ∴2b﹣9所有可能的取值为1，3，5，7，9， ①当2b﹣9＝1，即b＝5时，k2＝20a+9mn＝（10a+5）（10a+4）， ∵1≤a≤9，且a为整数， ∴当a＝2时，k2＝49， 此时正整数k＝7，mn＝（10×2+5）×（10×2+4）＝600＜1000，符合题意； 当a＝8时，k2＝169， 此时正整数k＝13，mn＝（10×8+5）×（10×8+4）＝7140＞1000，不符合题意，舍去； ②当2b﹣9＝3，即b＝6时，k2＝3（20a+9），mn＝（10a+6）（10a+3）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝3（20a+9）； ③当2b﹣9＝5，即b＝7时，k2＝5（20a+9），mn＝（10a+7）（10a+2）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝5（20a+9）； ④当2b﹣9＝7，即b＝8时，k2＝7（20a+9），mn＝（10a+8）（10a+1）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝7（20a+9）； ⑤当2b﹣9＝9，即b＝9时，k2＝9（20a+9），mn＝10a（10a+9）， 当a＝2时，k2＝9×（20×2+9）＝441＝212， 此时正整数k＝21，mn＝10×2×（10×2+9）＝580＜1000，符合题意； 当a＝8时，k2＝9×（20×8+9）＝1521＝392， 此时正整数k＝39，mn＝10×8×（10×8+9）＝7120＞1000，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的所有k的值为7和21，它们的和为7+21＝28． 故答案为：29；28． 17．【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E， ∴BE＝BC＝2， 在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴sin∠AEB， ∴∠AEB＝30°， ∴∠EBA＝60°， ∴∠EBC＝30°， ∴阴影部分的面积：Sπ， 故答案为：π． 18．【解答】解：∵AB⊥CD，AG＝12，GF＝5， ∴CG＝GF＝5，即CF＝2CG＝10， ∴， ∵四边形ACDE是菱形， ∵CD＝AC＝13， ∴GD＝CD﹣GC＝13﹣5＝8，DF＝CD﹣CF＝13﹣10＝3， ∴， 如图，连接BC，BH， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°， ∴，即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∵四边形ACDE是菱形， ∴CD∥AE， ∴∠DAE＝∠CDA， 如图，过H作HM⊥AE于M， ∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 19．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝12， ∴BC＝AD＝12，AD∥BC， ∵BE⊥AD， ∴BE⊥BC， 设BE＝OC＝x（x＞0）， ∵OE＝8， ∴OB＝BE﹣OE＝x﹣8， 在Rt△BOC 中，OB2+BC2＝OC2，即（x﹣8）2+122＝x2，解得x＝13， ∴OC＝13，OB＝13﹣8＝5， 如图，过点O作OM⊥FG于点M，过点B作BN⊥OC于点N，连接OA，OG， BE经过圆心O，且BE⊥AD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BFN中，， 在Rt△FOM中，， 又∵OF＝OG，OM⊥FG， ∴， ∴， 故答案为：5，． 20．【解答】解：①设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8）， 由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b）， ∵1≤a≤9， ∴要使“方减数”最小，需a＝1， ∴m＝10+b，n＝18﹣b， ∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b， 当b＝0时，m2﹣n 最小为82； ②设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8）， ∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8， ∵B除以19余数为1， ∴1010a+99b+7能被19整除， ∴53a+5b 为整数， 又 2m+n＝k2 （k为整数）， ∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方数， ∵1≤a≤9，0≤b≤8， ∴38≤30a+b+8≤286， ∴7≤k≤16， 设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3， （Ⅰ） 当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3a，30a+b+8＝30a+3a+8是完全平方数， 又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解， （Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b，30a+b+8＝30a8是完全平方数， 又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解， （Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则， 是完全平方数， 若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142， ∴t＝3，k＝14， 此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣b＝60， ∴A＝682﹣60＝4564， 故答案为：82，4564． 21．【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12， 解得a＝4， ∴这个数为4312， 由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d， 整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d， 一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为： 100a+10b+c+100b+10c+d ＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c ＝110a+101b ＝99（a+b）+11a+2b， 又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9， a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去， 当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d， c取9或8或7时，均不符合题意， 当c取6时，d＝5， ∴满足条件的数的最大值是8165， 故答案为：4312；8165． 22．【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元， 由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy）， 15a＝20y， ∴， 则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3． 故答案为：4：3． 23．【解答】解：根据题意，如表格所设： 香樟数量 红枫数量 总量 甲 4x 5y﹣4x 5y 乙 3x 6y﹣3x 6y 丙 9x 7y﹣9x 7y ∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3， ∴， ∴y＝2x， 故数量可如下表： 香樟数量 红枫数量 总量 甲 4x 6x 10x 乙 3x 9x 12x 丙 9x 5x 14x 所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x， 设香樟的预算单价为a，红枫的预算单价为b， 由题意得， [16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x•b， ∴12a+25b＝16a+20b， ∴4a＝5b， 设a＝5k，b＝4k， ∴， 故答案为：． 24．【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0． 先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200． 故答案为：6200． 一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d． 由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7， 又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c； Q（M）＝a﹣5.若能被10整除当a取最大值9时， 即当a＝9时，满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313． 故答案为：9313． 25．【解答】解：解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴4， ∴a≤6， 解分式方程2， 得y， ∵y的值是非负整数，a≤6， ∴当a＝5时，y＝2， 当a＝3时，y＝1， 当a＝1时，y＝0， ∵y＝2是分式方程的增根， ∴a＝5（舍去）， ∴满足条件的a的值有3和1， ∵3+1＝4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是4． 故答案为：4． 26．【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2， 在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°， ∴BOAB＝1，AOAB， ∴AC＝2OA＝2，BD＝2BO＝2， ∴S菱形ABCDAC•BD＝2， ∴S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE ＝2 ， 故答案为：． 27．【解答】解：解不等式组， 得：， ∵原不等式组的解集为：x＜﹣2， ∴2， ∴a≤5， 解分式方程2， 得y， ∵y＞0且y≠1， ∴0且1， ∴a＞﹣2且a≠1， ∴﹣2＜a≤5，且a≠1， ∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5， ∴﹣1+0+2+3+4+5＝13． 故答案为：13． 28．【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∵BC＝5，CD＝3， ∴BD4， ∵BC切圆于点B， ∴直径AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°， ∴△CDB∽△CBA， ∴DB：BA＝CD：CB， ∴4：AB＝3：5， ∴AB， ∵AF∥BE， ∴∠BAF＝∠ABE， ∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE， ∴∠F＝∠BAF， ∴BF＝AB， ∴FD＝BF﹣BD4． 故答案为：，． 29．【解答】解：∵是一个“友谊数”， ∴a+d＝b+c＝9， 又∵b﹣a＝c﹣b＝1， ∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6， ∴这个数为3456； ∵是一个“友谊数”， ∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴3a+b+6是13的倍数， ∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9， ∴a≤8， ∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意； 当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意； 当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为6273； 故答案为：3456；6273． 30．【解答】解：连接OE、OD、OG，过O点作OH⊥DG于H点，CE交AF于P点，如图， ∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A， ∴AB⊥AC， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AC∥DE， ∴AB⊥DE， ∴DF＝EFDE＝4， ∵AB＝10， ∴OA＝OE＝5， 在Rt△OEF中，OF3， ∴AF＝OA+OF＝5+3＝8； ∵DE∥AC， ∴，∠DEG＝∠PCA， ∴PA8， 在Rt△ACP中，PC， ∵∠DOG＝2∠DEG，∠DOG＝2∠DOH， ∴∠DEG＝∠DOH， ∴∠DOH＝∠PCA， ∴Rt△DOH∽Rt△PCA， ∴DH：AP＝OD：PC，即DH：5：， ∴DH， ∵OH⊥DG， ∴DG＝2DH． 故答案为：8，． 31．【解答】解：设四位数M， 要求最小的“十全数”， ∴a＝1，c＝1， ∴b＝10﹣1＝9，d＝10﹣1＝9， ∴最小的“十全数”是1919； ∵一个“十全数”M， ∴a+b＝c+d＝10， ∴b＝10﹣a，d＝10﹣c， ∴M1000a+100（10﹣a）+10c+10﹣c＝900a+9c+1010， ∴M'1000（10﹣c）+100c+10（10﹣a）+a＝﹣9a﹣900c+10100， ∴F（M）a+c﹣10， ∴G（M）81a﹣81c+1010， ∴ ， ∴， ∵与均是整数， ∴与均是整数， ∴7a+c﹣3能被13整除，8a+8c﹣3能被17整除， ∵1≤a≤9，1≤c≤9， ∴7≤7a≤63，﹣2≤c﹣3≤6， ∴5≤7a+c﹣3≤69， ∴7a+c﹣3的值可以为13，26，39，52，65， ∴依次代入可得，当a＝3，c＝8时，2，均是整数，符合题意， ∴b＝10﹣a＝7，d＝10﹣c＝2， ∴满足条件的M的值是3782． 故答案为：1919，3782． 三．解答题（共16小题） 32．【解答】（1）解：如图1，连接CP， 由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°， ∴△FCG为等腰直角三角形， ∵点P是FG的中点， ∴CP⊥FG， ∵点D是BC的中点， ∴DPBC， 在Rt△ABC中，AB＝AC＝2， ∴BCAB＝4， ∴DP＝2； （2）证明：如图2， 过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H， ∴∠AEH＝90°， 由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°， ∴∠FEG＝∠AEH， ∴∠AEG＝∠HEF， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD， ∴AE＝HE， ∴△EGA≌△EFH（SAS）， ∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°， ∴∠EAG＝∠BAD＝45°， ∵AB⊥AC，HE⊥AC， ∴AB∥HE， ∴∠AMF＝∠HEF， ∵△EGA≌△EFH， ∴∠AEG＝∠HEF， ∵∠AGN＝∠AEG， ∴∠AGN＝∠HEF， ∴∠AGN＝∠AMF， ∵GN＝MF， ∴△AGN≌△AMF（AAS）， ∴AG＝AM， ∵AG＝FH， ∴AM＝FH， ∴AF+AM＝AF+FH＝AHAE； （3）解：∵点E是AC的中点， ∴AEAC， 根据勾股定理得，BE， 由折叠知，BE＝B'E， ∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上， 由旋转知，EF＝EG， ∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上， ∴B'G的最小值为B'E﹣EG， 要B'G最小，则EG最大，即EF最大， ∵点F在AD上， ∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为， ∴线段B′G的长度的最小值． 33．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4， ∵tan∠CBA＝4，则OB＝1， 即点B（1，0）， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x+4； （2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），则点F（，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4， 设点P（x，﹣x2﹣3x+4），则点D（x，x+4）， 则PD＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x， 当x＝﹣2时，PD取得最大值，则点E（﹣2，0）、D（﹣2，2），则MN＝2， 将点A向右平移2个单位得到点A′（﹣2，0），连接A′F交y轴于点N，过点N作NM⊥PE，连接AM， 则四边形MNA′A为平行四边形，则AM＝A′N， 则此时AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝22为最小； （3）将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m， 将点D（﹣2，2）的坐标代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2﹣3（﹣2+m）+4﹣m， 解得：m＝2， 则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x+m）2﹣3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣4x+4， 当点Q在AC下方时， ∵∠QDK＝∠ACB，则DQ∥BC， 则直线DQ和BC表达式中的k值相同， 而DQ过点D（﹣2，2）， 则直线DQ的表达式为：y＝﹣4（x+2）+2， 联立上式和新抛物线的表达式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8， 解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1， 即点Q（﹣1，﹣2）； 当点Q（Q′）在AC上方时， 同理可得，点H′（﹣4，）， 由点D、H′的坐标得，直线DH′的表达式为：y（x+2）+2， 联立上式和新抛物线的表达式得：（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7x﹣8， 解得：x＝﹣2（舍去）或， 即点Q（，）； 综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）． 34．【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：yx2x+2； （2）令yx2x+2＝0， 解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0）， ∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB， 则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED，cos∠PED， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2， 则PEx2x+2x﹣2（x﹣2）2+2≤2， 即PE的最大值为2，此时，点P（2，3）， 则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1）PE， 即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）； （3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位， 则平移后抛物线的对称轴为x， 设点M（，m），点N（s，t）， 由点A、P的坐标得，AP2＝18， 当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得： ，解得：， 即点N的坐标为：（，）； 当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得： 或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点N的坐标为：（，）； 综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）． 35．【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）． ∴， ∴． ∴抛物线的函数表达式为y； （2）∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， 由勾股定理得，AB＝5， ∵PQ⊥OA， ∴PQ∥OB， ∴△AQM∽△AOB， ∴MQ：AQ：AM＝3：4：5， ∴AM，， ∴PM， ∵B（0，3），A（4，0）， ∴lAB：y， ∴设P（m，），M（m，），Q（m，0）， ∴PM+2MQ， ∵， ∴开口向下，0＜m＜4， ∴当m＝1时，PM的最大值为，此时P（1，）； （3）由y知，对称轴为直线x， ∴P'（2，）， ∵直线l：x＝4， ∴抛物线向右平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为y'， 设D（4，t），C（c，）， ①AP'与DC为对角线时， ， ∴， ∴D（4，）， ②P'D与AC为对角线时， ， ∴， ∴D（4，）， ③AD与P'C为对角线时， ， ∴， ∴D（4，）， 综上：D（4，）或（4，）或（4，）． 36．【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入yx2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为yx2﹣x﹣4； （2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝x﹣4， 设P（m，m2﹣m﹣4），则PDm2+m+4， 在y＝x﹣4中，令ym2﹣m﹣4得xm2﹣m， ∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4）， ∴PC＝m﹣（m2﹣m）m2+2m， ∴PC+PDm2+2mm2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m）2， ∵﹣1＜0， ∴当m时，PC+PD取最大值， 此时m2﹣m﹣4（）24， ∴P（，）； 答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，）； （3）∵将抛物线yx2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y（x+5）2﹣（x+5）﹣4x2+4x， ∴新抛物线对称轴是直线x4， 在yx2+4x中，令x＝0得y， ∴F（0，）， 将P（，）向左平移5个单位得E（，）， 设M（﹣4，n），N（r，r2+4r）， ①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合， ∴， 解得r， ∴r2+4r（）2+4， ∴N（，）； ②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合， ∴， 解得r， ∴r2+4r（）2+4×（）， ∴N（，）； ③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合， ∴， 解得r， ∴r2+4r（）2+4×（）， ∴N（，）； 综上所述，N的坐标为：（，）或（，）或（，）． 37．【解答】（1）解：∵三角形BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝3，， 又∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴，即， 解得； （2）证明：如图所示，连接DH， ∵线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE， ∴DA＝DE，∠ADE＝∠ADF＝90°， ∵∠CDB＝90°， ∴∠ADE+∠ADC＝∠ADC+∠CDE，即∠CDE＝∠BDA， 在△CDE和△BDA中， ， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴CE＝BA， ∵点G，H分别是AB，CE的中点， ∴DH＝DG，∠EDH＝∠ADG， ∵∠EDH+∠HDA＝90°， ∴∠ADG+∠HDA＝90°，即∠HDG＝90°， ∴△HDG是等腰直角三角形， ∴，解得， ∵∠ADF＝∠CDB＝90°， ∴∠ADF﹣∠CDF＝∠CDB﹣∠CDF，即∠ADC＝∠FDB， ∵△BDC是等腰直角三角形， ∴DC＝DB，∠DCB＝∠DBC＝45°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠DBC＝45°， 在△ADC和△FDB中， ， ∴△ADC≌△FDB（ASA）， ∴AC＝BF，AD＝DF， ∵AD＝DE， ∴DE＝DF， ∴点D是线段EF的中点， 又∵点H是线段EC的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵CF＝BC﹣BF＝BC﹣AC， ∴； （3）解：如图所示，连接BQ， ∵线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，△BDC是等腰直角三角形， ∴DB＝DC，DP＝DQ，∠BDC＝∠PDQ＝90°，∠DBP＝∠DCB＝45°， ∴∠BDC﹣∠PDB＝∠PDQ﹣∠PDB，即∠CDP＝∠BDQ， 在△CDP和△BDQ中， ， ∴△CDP≌△BDQ（SAS）， ∴∠DCP＝∠DBQ＝45°， ∴∠CBQ＝∠DBC+∠DBQ＝90°， ∴点Q在与BC垂直且垂足为点B的直线l上， ∴作点D关于直线l的对称点D′，连接AD交直线l为点Q， 此时AQ+DQ最短，如下图所示， 连接DD'交直线l于点E，过点A作AF垂直直线l，交直线l于点F， ∴四边形ACBF是矩形， ∴AF＝BC，FB＝AC＝3， 在等腰直角三角形BCD中，BC＝12， ∴，解得， 在直角三角形DEB中， ，解得DE＝EB＝6， 则EF＝EB﹣FB＝3， 由对称性可知D′E＝6， 由题意知∠AFQ＝∠D'EQ＝90°，∠AQF＝∠D'QE， ∴△AQF∽△D'QE， ∴， 又∵EF＝3， ∴FQ＝2，EQ＝1， ∴BQ＝FB+FQ＝5， 在Rt△DEQ中，， ∴在Rt△BCQ中，； ∵△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN， ∴点Q，N是关于直线DM的对称点， ∴点D在线段QN 的垂直平分线上， ∴DN＝DQ， ∴点N实在以D为圆心，DQ长为半径的圆上运动， 过点N作NH⊥CQ交CQ于点N， ∴， ∴△CQN面积的最大，则需要HN最大， HN过圆心时取得最大值，如下图所示， 在Rt△DHC 和 Rt△DHQ中，DC2﹣CH2＝DQ2﹣QH2， 即， 解得，， ∴， ∴， ∴△CQN面积的最大值为． 38．【解答】解：（1）将，B（4，0），C（0，1）代入ybx+c中， ∴， 解得， ∴yx+1； （2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，连接PC、PB， 当△BCP的面积最大时，PD的长度取最大值， 设直线BC的解析式为y＝kx+1， ∴4k+1＝0， 解得k， ∴yx+1， 设P（t，t2t+1），则G（t，t+1）， ∴PGt2t+1t﹣1t2+t， ∴△BPC的面积（t2+t）（t﹣2）2+2， 当t＝2时，△PBC的面积最大，此时P（2，）， 当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0）， 在y轴上取点K（0，﹣1），作直线AK，则直线AK的解析式为y＝﹣x﹣1， 过E点作EH⊥AK交于H点， ∵OA＝OC＝1， ∴∠CAO＝45°， ∴∠OAH＝45°， ∴EHAE， ∴PEAE＝PE+HE≥PH， 当PH⊥AH时，PEAE的值最小， 连接AP、PK，延长PG交AK于点L， ∴△APK的面积1，即PH， ∴PH， ∴PEAE的最小值为； （3）∵抛物线沿射线CA方向平移个单位长度， ∴函数图象向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度， ∴y'x2x， ∵B（4，0）， ∴F（3，﹣1）， ∴直线BF的解析式为y＝x﹣4， 过点N作NQ⊥BF交x轴于点Q， ∴∠BQN＝∠CAO＝45°， ∵∠ANB＝∠ACB﹣90°， ∴∠ACB＝∠ANQ， ∴∠NAB＝∠CBA， ∴AN与BC的交点T在线段AB的垂直平分线上， ∴T（，）， ∴直线AM的解析式为yx， 当x2xx时，解得x＝1或x＝﹣1， ∴M（1，）； 当x﹣4x时，解得x， ∴N（，）， 过A点作AR∥NQ交BN于点R， ∴直线AR的解析式为y＝﹣x﹣1， 当﹣x﹣1＝x﹣4时，解得x， ∴R（，）， N点关于R点的对称点为N'（，）， ∴直线AN'的解析式为y＝4x+4， 当4x+4x2x时，解得x＝﹣1或x＝﹣14， ∴M（﹣14，﹣52）； 综上所述：M点坐标为（1，）或（﹣14，﹣52）． 39．【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：yx2x﹣3； （2）令yx2x﹣3＝0，则x＝﹣4或3，则点A（﹣4，0）， 由点A、C知，直线AC的表达式为：yx﹣3， 过点P作y轴的平行线交AC于点H，则∠PHC＝∠ACO， 则tan∠PHC＝tan∠ACO，则sin∠PHC， 则PD＝PH•sin∠PHCPH， 设点H（x，x﹣3），则点P（x，x2x﹣3）， 则PDPH（x﹣3x2x+3）（x+2）2， 即PD的最大值为：，此时点P（﹣2，）； （3）平移后的抛物线的表达式为：y（x﹣5）2（x﹣5）﹣3x2x+2， 则点F（0，2），设点Q（，m）， 则QF2＝（）2+（m﹣2）2，QE2（m）2，EF2＝9， 当QE＝QF时，则（）2+（m﹣2）2（m）2， 解得：m， 则点Q的坐标为（，）； 当QF＝EF时，则（）2+（m﹣2）2＝9， 解得：m＝5或﹣1， 则点Q的坐标为：（，5）或（，﹣1）； 综上，点Q的坐标为：（，）或（，5）或（，﹣1）． 40．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， 由旋转得∠DAE＝60°， ∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝60°﹣20°＝40°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝100°； （2），证明如下： 如图，连接CE，DH， ∵α＝∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACB＝45°， 由旋转知AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， 即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＝∠BDG＝∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠CGD＝∠ACB＝45°， ∴DG＝DC， ∴△BDG≌△ECD（SAS）， ∴∠BGD＝∠EDC，BG＝DE， ∵点H是BG的中点，∠BDG＝90°， ∴， ∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠HDG＝∠EDC， ∴∠HDG+∠GDE＝∠EDC+∠GDE， 即∠HDF＝∠GDC＝90°， ∵点F是DE的中点，∠DCE＝90°， ∴， ∴DH＝DF， ∴△HDF是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）如图，取BC中点U，AC中点V，连接AU，EV，UV， ∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°， ∴∠ACU＝30°，，AU⊥BC， ∴， ∵V是AC中点， ∴， ∴AU＝AV， 由旋转知AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形，∠DAE＝∠CAU＝60°， ∴∠DAU＝∠EAV， ∴△ADU≌△AEV（SAS）， ∴∠AVE＝∠AUD＝90°， 由点V为固定点，∠AVE＝90°，得点E在过点V且垂直于AC的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当CE取最小值时，即CE垂直于点E运动轨迹的直线， 即点E和点V重合时，CE最小， 此时如图， 由翻折可知AE＝QE， ∴点Q的轨迹为以点E为圆心，AE＝4为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当B、E、Q依次共线时，BQ取最大值， 此时如图，连接MA，过点B作BS⊥CN于点S，过点Q作QR⊥CN于点R， 由旋转知BM＝BE，∠MBE＝60°， ∴△BEM是等边三角形， ∴∠BEM＝60°，BE＝EM， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°，AE＝DE， ∴∠BEM＝∠AED＝60°， ∴∠AEM＝∠DEB， ∴△MAE≌△BDE（SAS）， ∴MA＝BD，∠MAE＝∠BDE， ∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠DAE＝∠BAD＝60°， ∴AD⊥BC， ∴ADAB＝4，， ∴， ∵E为AC中点， ∴DE＝CE， ∴∠EDC＝∠ACB＝30°， ∴∠MAE＝∠BDE＝180°﹣∠EDC＝150°， ∴∠MAN＝180°﹣∠MAE＝30°， ∴，ANMN＝6， ∵∠BAS＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴∠ABS＝30°， ∴ASAB＝4，， ∴SE＝AS+AE＝4+4＝8， ∴， ∵BS⊥CN，QR⊥CN． ∴∠BSE＝∠QRE＝90°， 又∵∠BES＝∠QER， ∴△BES∽△QER， ∴， 即， 解得， ∴， ∵MN⊥CA，QR⊥CN， ∴． 41．【解答】解：（1）如图1.1， ∵∠EFD＝∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠EFD＝60°， ∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α， ∴∠1＝60°﹣α， ∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°， ∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1， ∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α； （2）CG；理由如下： 在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△BCA为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB， ∴△ABD≌△BCM（SAS）， ∴∠3＝∠4， ∵∠AHM＝∠3+∠5， ∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°， ∵∠EFD＝∠BAC＝60°， ∴∠AHM＝∠EFD， ∴EG∥BM， ∵点D关于直线AB的对称点为点E， ∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°， ∴∠EBC＝120°， ∴∠EBC+∠C＝180°， ∴EB∥AC， ∴四边形EBMG是平行四边形， ∴BE＝GM， ∴BE＝GM＝BD＝CM， ∴CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND， 在Rt△DNB中，DN＝BD•sin∠ABCBD， ∴DE＝2DNBD， ∴， ∴CG； （3）连接BE，记AB与DE的交点为点N，如图2， ∵AB＝AC，∠EFD＝∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， 由轴对称知∠EAB＝∠DAB＝α，∠EBA＝∠DBA＝45°，DE⊥AB，NE＝ND， 当点G在边AC上时，由于∠EAG＞90°， ∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AE＝AG， ∵∠BAC＝∠AFG＝90°， ∴∠AGE＝α， ∴∠AEG＝α， ∵∠EAD＝2α， ∵AE＝AG，EG⊥AD， ∴∠FAG＝∠EAD＝2α， 在△AEG中，α+2α+2α+α＝180°， 解得α＝30°， ∴∠EAD＝60°， ∵AE＝AD， ∴△AED为等边三角形， ∴AE＝ED， 设AF＝x， ∵∠EAD＝60°， ∴AG＝AE＝ED2x， ∴DN＝x， 在Rt△DAN中，ANDN， ∵DE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴BNDN＝x， ∴AC＝ABx+x， ∴CG＝AC﹣AGx+x﹣2x， ∴； 当点G在CA延长线上时，只能是GE＝GA，如图3： 设∠BAD＝∠BAE＝β， ∴∠DAC＝∠GAF＝90﹣β， ∴∠EAF＝180°﹣2β， ∴∠GAE＝∠EAF﹣∠GAF＝90°﹣β， ∵GE＝GA， ∴∠GAE＝∠GEA＝90°﹣β， ∵∠EFD＝∠BAC＝90°， 在Rt△AFE中，90°﹣β+180°﹣2β＝90°， 解得β＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°＝∠GAF， 设GF＝x，则AG＝GE＝2x，AF， 在Rt△EFA中，EF＝2x+x＝3x， 由勾股定理得AE， 在Rt△EAN中，AN＝AE•cos60°，EN＝DN＝BN＝AE•sin60°＝3x， ∴AB＝AC＝3x， ∴CG＝AG+AC， ∴， 综上所述，或． 42．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵∠B＝60°，AC＝9， ∴BC3，AB＝2BC＝6 ∵BD， ∴AD＝AB﹣BD＝5； （2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图： 在Rt△ABC 中，点O为斜边AB的中点， ∴OC＝OB， ∵∠ABC＝60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°， ∴∠DOC＝120°， ∵△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE， ∴∠OCD＝∠BCE， 在△OCD和△BCE 中， ， ∴△OCD≌△BCE（SAS）， ∴∠EBC＝∠DOC＝120°， ∴∠OCB+∠EBC＝180°， ∴OC∥BE， 在GF上截取HF＝BF，连接DH， ∵点F是DE的中点， ∴FE＝FD． 在△BEF和△HDF中， ， ∴△BEF≌△HDF（SAS）， ∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF， ∴DH∥BE， ∴DH∥OC， ∴∠HDG＝∠OCD， 又∠G＝∠BCE， ∴∠G＝∠HDG， ∴HG＝HD， ∴HG＝BE， ∴GF＝HG+FH＝BE+BF； （3）解：取AB的中点S，连接PS，如图： 在CD取得最小值时，CD⊥AB， 设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a， ∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD， ∴CDa，BDBC＝a， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠DCE＝60°，CD＝CE， ∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB， ∵BC＝BC， ∴△BCD≌△BCE（SAS）， ∴BD＝BE＝a， ∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM， ∴BE＝BN＝a， ∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆， ∵点P为AN的中点，S为AB的中点， ∴PSBNa， ∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆， 当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图： ∵S是AB中点， ∴BS＝AS＝CSAB＝2a， ∵∠ABC＝60°， ∴△BSC是等边三角形， ∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a， ∴∠PCA＝30°， ∵CP＝CS+PS＝2aaa， ∴PTCPa，CTPTa， ∴AT＝AC﹣CTa， 连接PQ交NR于W，如图： ∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ， ∴PQ⊥BC， ∵AC⊥BC， ∴PQ∥AC，即PW∥AR， ∵P为AN中点， ∴PW是△ANR的中位线， ∴NW＝RWNR， 同理可得PT是△ANR的中位线， ∴PTNR， ∴PT＝NW＝RWa，PWAR＝ATa， ∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ， ∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ， ∴∠QCP＝120°， ∴PQCPa， ∴WQ＝PQ﹣PWaaa， ∴NQa， ∴． 43．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE， 在△BCE和△CBK中， ， ∴△BCE≌△CBK（SAS）， ∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD， ∵CE＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB， ∵∠BEC+∠AEF＝180°， ∴∠ADF+∠AEF＝180°， ∴∠A+∠EFD＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°； （2）结论：BF+CF＝2CN． 理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°， ∵AE＝BD， ∴△ABE≌△BCD（SAS）， ∴∠BCF＝∠ABE， ∴∠FBC+∠BCF＝60°， ∴∠BFC＝120°， 如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ， ∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ， ∴△CNM≌△QNF（SAS）， ∴FQ＝CM＝BC， 延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形， ∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PBC（SAS）， ∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°， ∴△PCQ是等边三角形， ∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN． 证法二：延长MC到P，使得CP＝CM，连接PB，PF，延长FC到Q，使得CQ＝BF． ∵FN＝MN，CP＝CM， ∴PF＝2CN， ∵CB＝CM＝CP，∠BCP＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△BCP是等边三角形， ∴∠BPC+∠BFC＝180°， ∴∠PBF+∠PCF＝180°， ∵∠PCQ+∠PCF＝180°， ∴∠PBF＝∠PCQ， ∴PB＝PC，BF＝CQ， ∴△PBF≌△PCQ（SAS）， ∴PF＝PQ，∠BPF＝∠QPC， ∴∠QPF＝∠BPC＝60°， ∴△PQF是等边三角形， ∴FQ＝CF+CQ＝CF+BF＝2CN； （3）由（2）可知∠BFC＝120°， ∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中）， ∴P，F，O三点共线时，PF的值最小， 此时tan∠APK， ∴∠HPK＞45°， ∵QK⊥PF， ∴∠PKH＝∠QKH＝45°， 如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL，PH，KH＝2， ∵S△PHK•PK•HL•KH•PJ， ∴PQ＝2PJ＝22 ∴． 44．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCA＝∠ECF， ∴∠BCE＝∠ACF， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴∠CBE＝∠CAF； （2）证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分BC， ∴EB＝EC， 又∵△BCE≌△ACF， ∴AF＝BE，CF＝CE， ∴AF＝CF， ∴F在AC的垂直平分线上， ∵AB＝BC， ∴B在AC的垂直平分线上， ∴BF垂直平分AC， ∴AC⊥BF，AG＝CGAC， ∴∠AGF＝90°， 又∵DGAC＝CG，∠ACD＝60°， ∴△DCG是等边三角形， ∴∠CGD＝∠CDG＝60°， ∴∠AGH＝∠DGC＝60°， ∴∠KGF＝∠AGF﹣∠AGH＝90°﹣60°＝30°， 又∵∠ADK＝∠ADC﹣∠GDC＝90°﹣60＝30°，KF∥AD， ∴∠HKF＝∠ADK＝30°， ∴∠FKG＝∠KGF＝30°， ∴FG＝FK， 在Rt△CED与Rt△CGF中， ， ∴Rt△CED≌Rt△CFG， ∴GF＝ED， ∴ED＝FK， ∴四边形EDFK是平行四边形， ∴EH＝HF； 解法二：连接CH，证明∠CHE＝90°，可得结论． （3）解：依题意，如图所示，延长AP，DQ交于点R， 由（2）可知△DCG是等边三角形， ∴∠EDG＝30°， ∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG， ∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°， ∴∠PAE＝∠QDE＝60°， ∴△ADR是等边三角形， ∴∠QDC＝∠ADC﹣∠ADQ＝90°﹣60°＝30°， 由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG， ∴DE＝GF， ∴DE＝DQ， ∴GF＝DQ， ∵∠GBC＝∠QDC＝30°， ∴GF∥DQ， ∴四边形GDQF是平行四边形， ∴QF＝DGAC＝2， 由（2）可知G是AC的中点，则GA＝GD， ∴∠GAD＝∠GDA＝30°， ∴∠AGD＝120°， ∵折叠， ∴∠AGP+∠DGQ＝∠AGE+∠DGE＝∠AGD＝120°， ∴∠PGQ＝360°﹣2∠AGD＝120°， 又PG＝GE＝GQ， ∴PQPGGQ， ∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示， ∴GQGCDC＝1， ∴PQ， ∴PQ+QF2． 解法二：由两次翻折，推得∠PGQ＝360°﹣240°＝120°，则PQPGEG， 由QF＝DG＝2，推出PQ1+QF的最小值，只需要求出EG的最小值， 当EG⊥AD时，EG的值最小，最小值为1， ∴PQ+QF的最小值为2． 45．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，BD∥AC， ∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵AE⊥CD， ∴∠ACD+∠CAE＝90°， ∵∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD， 又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°， ∴△ACE≌△CBD（ASA）， ∴BD＝CE， ∵点E是BC的中点， ∴BC＝2CE＝2BD， ∴AC＝2BD； 证明：（2）过点G作GH⊥AB于H，连接HF， ∵BD∥AC， ∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG， ∵点F是AD的中点， ∴AF＝DF， ∴△AGF≌△DBF（AAS）， ∴AG＝BD，BF＝GF， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠ACB＝45°， ∵GH⊥AH， ∴△AHG是等腰直角三角形， ∴， ∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF， ∴， ∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB， ∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC， ∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°， ∵FM⊥BG， ∴∠BFM＝90°， ∴∠HFM＝∠CFN， 设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x， ∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x， ∵CN平分∠ACB， ∴， ∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x， ∴∠HMF＝∠CNF， ∴△HFM≌△CFN（AAS）， ∴HM＝CN， ∵AM＝AH+HM， ∴； （3）解：过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH， ∵BD∥AC，∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝∠CBD＝90°， ∵DH⊥AC， ∴四边形BCHD是矩形， ∴BC＝DH＝AC， ∵点F是AD的中点，且AF＝AC， ∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF， ∴△FDH是等边三角形， ∴∠DFH＝∠FDH＝60°， ∴∠BDA＝∠DAH＝30°， ∴∠FHA＝∠FAH＝30°， 由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH， ∴∠DFQ＝∠HFP， ∴△DFQ≌△HFP（SAS）， ∴∠FDQ＝∠FHP＝30°， ∴点Q在直线DQ上运动， 设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，， ∴∠BDQ＝60°， 由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， ∴∠DBQ＝30°， 设AC＝DH＝6a，则， ∴， ∴， ∴， 在Rt△DFK中，， ∴， ∴QK＝DK﹣DQ＝3a， 在Rt△FQK中，由勾股定理得， ∵△DFQ≌△HFP， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得：， ∵FT≤FQ+TQ， ∴， ∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 46．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 把（6，0）代入得， 解得， ∴； （2）令x＝0，则y＝﹣6， ∴点C的坐标为（0，﹣6）， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 把（6，0）和（0，﹣6）代入得， 解得， ∴y＝x﹣6， 设点P的坐标为（x，x2﹣5x﹣6），过点P作PH∥y轴交BC于点F，交x轴于点H，如图， 则点F的坐标为（x，x﹣6）， ∴PF＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x， ∵PF∥y轴， ∴∠PFQ＝∠OCQ，∠FPQ＝∠COQ， ∴△QPF∽△QOC， ∴， ∴当x＝3时，取得最大值为，这时点P的坐标为（3，﹣12）， 把点P向上平移4个单位长度得到点G，点G的坐标为（3，﹣8），连接GD， 则四边形DEPG是平行四边形， ∴DG＝PE， 即BD+PE＝BD+DG， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为（﹣1，0）， 连接AG，则BD+PE＝BD+DG的最小值为AG长， 即， 即BD+PE的最小值为； （3）∵OB＝OC＝6， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵将抛物线y＝x2+bx+c沿射线BC方向平移个单位长度，即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线y′， 即， 过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点N作NK⊥x轴于点K，连接PM， 设点N的坐标为（a，a2﹣a﹣14）， 由平移得∠QPM＝45°， ∴∠NAB＝∠OPM﹣45°＝∠OPQ+∠QPM﹣45°＝∠OPQ＝∠POB， 如图1， ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即， 解得a＝﹣5（舍去）或a＝2， ∴点N的坐标为（2，﹣12）； 如图2， ∵tan∠NAB＝tan∠OPQ， 即， 解得或（舍去）， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为（2，﹣12）或． 47．【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为yx2x﹣3； （2）如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴交BC于H， 在yx2x﹣3中，令y＝0得0x2x﹣3， 解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴B（6，0）， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴， ∴sin， ∵PH∥y轴， ∴∠PHE＝∠BCO， ∴sin∠PHE， ∴PEPH， 由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为yx﹣3， 设 ，则， ∴， ∵抛物线 的对称轴为直线， ∴PD＝2（x）＝2x﹣5， ∴x2+5x﹣5， ∵0， ∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）； （3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为y（x+2）2（x+2）﹣3﹣1x2x﹣7，F的坐标为（3，﹣4）， 如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K， 由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1， 当 x＝0 时，y＝﹣1， ∴M（0，﹣1）， ∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK， ∵∠NMF﹣∠ABC＝45°， ∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°， ∴∠NMK＝∠ABC， ∴tan∠NMK＝tan∠ABC， 设， ∴， 解得： 或 （舍去）， ∴； 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N′作N'T⊥MT于T， 同理可得∠N'MT＝∠ABC， 设，则T（x，﹣1）， 同理可得：， ∴ 或x （舍去）， ∴， 综上所述，N的坐标为（，4）或（1，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $