江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期第二次数学月考试卷

江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级（上）第二次数学月考试卷 一、选择题：本题共8小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.下列实数、、、、、中，无理数的个数是(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知一次函数的图象经过，两点，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是(    ) A. B. C. 平分 D. ≌ 7.如图，方格纸中有个小方格被涂成黑色，若从其余个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.如图，中，，，点在线段上运动，若将绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共20分。 9.的平方根是          ；的立方根是          ． 10.用四舍五入法取近似数，          精确到百分位． 11.比较大小：          选填“”，“”或“”． 12.一水库水位在最近内持续上涨下表记录了这内个时间点的水位高度，其中表示时间，表示水位高度根据表格中的变化规律，则与的函数表达式为      ． 13.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过、两点，若，则______填“”“”“” 14.函数与的图象如图所示，则______． 15.如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒下底面的点处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点处的食物，那么它至少需要      秒盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计． 16.如图，是的角平分线上的一点，，，是的中点，点是上的一个动点，若的最小值为，则的长度为______． 17.如图，在中，，的垂直平分线交、于点、，若，，则的面积是        ． 18.在平面直角坐标系中，已知、、、四点的坐标依次为、、、，若一次函数的图象将四边形的面积分成：两部分，则的值为        ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 19.求下列各式中的： ； ． 20.计算： ； ． 四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，． 请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出点坐标； 先将沿轴翻折，再沿轴向右平移个单位长度后得到，请在网格内画出； 在的条件下，的边上一点的对应点的坐标是          ． 22.本小题分 如图，已知线段，，求作，使，，且分别满足下列条件：上的中线为． 上的高为． 说明：尺规作图，保留作图痕迹；可以有必要的作图说明；每小题作出满足条件的一个三角形即可 23.本小题分 已知与成正比例，当时，． 求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图象； 结合图象，写出当时自变量的取值范围：______． 24.本小题分 一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点处． 求直线的表达式； 求的长． 25.本小题分 深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续年蝉联全国“百强区”第一名该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表用元可购进产品件和产品件利润售价进价 种类 种配件 种配件 进价元件 售价元件 求种配件进价的值． 若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26.本小题分 【模型建立】如图，在等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点求证：≌． 【模型应用】 如图，直线：与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式． 如图，四边形是长方形，为坐标原点，点的坐标为，点、分别在坐标轴上，是线段上的动点，是直线上的动点且在第四象限若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 1.【答案】  【解析】根据算术平方根的性质计算即可． 【详解】解：、，故原题错误； B、，故原题错误； C、，故原题错误； D、，故原题正确； 故选：． 2.【答案】  【解析】根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数得出即可． 【详解】为有理数、为无理数、为无理数、为有理数、为有理数、为无理数，其中无理数的个数为个； 故选B． 3.【答案】  【解析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：时，则三角形为直角三角形． 【详解】．，不能构成直角三角形； B.，不能构成直角三角形； C.，能构成直角三角形； D.，不能构成直角三角形． 故答案选：． 4.【答案】  【解析】解：由点在第二象限，得 ， 解得． 故选：． 根据第二象限的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 本题考查了点的坐标，利用第二象限的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式组是解题关键． 5.【答案】  【解析】解：设直线的解析式为：， 把，代入得，， 解得：，， ，， 故选：． 设直线的解析式为：，把，代入代入，得到和值，即可得到结论． 本题考查了一次函数图象与系数的关系，正确的求出，的值是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：垂直平分， ，故选项A成立； ，平分，故选项C成立； ， 在和中， ， ≌，故选项D成立； 由题目中的条件无法判断，故选项B不一定成立； 故选：． 根据线段垂直平分线的性质和图形，可以判断各个选项中的条件是否成立，从而可以解答本题． 本题考查全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7.【答案】  【解析】解：如图所示：不同的涂色方案共有个． 故选：． 直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可． 此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：在中，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 点在过点且垂直的直线上运动， 当时，的值最小， ，， ， ，， ， ， ， 故选：． 由旋转的性质可得，，由“”可证≌，可得，可得点在过点且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即可求解． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 9.【答案】        【解析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据解答即可． 【详解】解：的平方根是，的立方根是． 故答案为：，． 10.【答案】  【解析】把千分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】精确到百分位， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】先判断出，即可判断出，问题得解． 【详解】解：， ． 故答案为： 12.【答案】  【解析】解：根据表格信息可知，每小时水位上升，则是的一次函数， 设与的函数表达式为，把和代入， 则， 解得， ， 故答案为：． 根据记录表由待定系数法就可以求出与的函数表达式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，在解答时确定两个变量是一次函数关系是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：一次函数中， 随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． 此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 14.【答案】  【解析】解：一次函数与图象的交点横坐标为， ， 解得：， 交点坐标为， 代入，，解得． 故答案为． 首先根据一次函数与图象的交点横坐标为，代入一次函数求得交点坐标为，然后代入求得值即可． 本题考查了两条直线相交问题，解题的关键是交点坐标适合与两个解析式． 15.【答案】  【解析】解：如图所示：作关于的对称点，连接，蚂蚁走的最短路程是， 底面周长为， ， ， ， 根据勾股定理，得， 蚂蚁爬行的速度为， 它至少需要． 答：它至少需要． 故答案为：． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出关于边的对称点，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 16.【答案】  【解析】解：作于，则此时最小， 是的角平分线上的一点，，， ，， ， ，是的中点， ， 故答案为：． 根据垂线段最短、角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质解答． 本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：连接， 的垂直平分线交、于点、，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即， ， 在中，由勾股定理得：， 的面积为 ， 故答案为：． 连接，根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出方程，求出，再根据勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式求出答案即可． 本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的面积和勾股定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 18.【答案】或  【解析】解：如图：由、、、四点的坐标依次为、、、，可知：，， 四边形为平行四边形， ， ，当时，， 直线过定点，即直线一定过点， 一次函数的图象将四边形的面积分成：两部分， 直线经过的中点或经过的中点， 或， 或， 故答案为：或． 根据，得到直线过定点，即经过点，由图可知，四边形为平行四边形，根据一次函数的图象将四边形的面积分成：两部分，可知，直线经过或中点，利用待定系数法求出的值即可． 本题考查一次函数与几何图形的综合应用．根据题意得到四边形为平行四边形，以及直线过点是解题的关键． 19.【答案】【小题】 移项得：， 系数化为得， 开平方得：； 【小题】 移项得：， 开立方得：， 移项合并同类项得：．   【解析】  方程变形后，直接开平方即可求出解；   方程变形后，直接开立方即可求出解； 20.【答案】【小题】 解： ； 【小题】   【解析】  本题考查了实数的混合运算，涉及算术平方根，乘方，立方根，绝对值，准确理解运算顺序，并正确计算是解答本题的关键． 本题可根据算术平方根、立方根以及零指数幂的定义分别计算各项，再进行求和；   本题可根据算术平方根、立方根以及绝对值的定义分别计算各项，再进行运算． 21.【答案】【小题】 如图所示：； 【小题】 如图所示：即为所求； 【小题】   【解析】  此题考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 直接利用，点坐标建立平面直角坐标系得出答案；   利用轴对称以及平移的性质得出对应点位置进而得出答案；   先求出关于轴对称的点的坐标，再利用平移的性质得出点的坐标． 在的条件下，的边上一点沿轴翻折后的坐标为，再向右平移个单位的坐标是：． 故答案为：． 22.【答案】解：如图中，即为所求； 如图中，即为所求．   【解析】作线段，分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，延长到，使得，连接，即为所求； 作以线段，作以为直径的，以为圆心，为半径画弧交一点，连接，延长到，使得，连接，即为所求． 本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于展开常考题型． 23.【答案】；函数图象如下所示：     【解析】设与之间的函数关系式为， 当时，， ， ， ，即； 函数图象如下所示： 在中，当时，， ， 随增大而减小， ， 故答案为：． 设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求出对应的解析式，再画出对应的函数图象即可； 求出函数值为时，自变量的值，再根据增减性即可得到答案． 本题主要考查了画一次函数图象，求正比例函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． 24.【答案】；     【解析】一次函数的图象与轴、轴分别相交于点和点． ， 解得， 直线的表达式：． 点和点． ，， 则， 将沿折叠后，点恰好落在边上点处． ，，， 则，， ， 故在中，， ， 解得， 则． 运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为， 先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长． 本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25.【答案】解：依题意得：， 解得：， 答：的值为； 设购进种配件件，则购进种配件件， 依题意得：， 解得：， 为正整数， 设两种配件全部售出后获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为：， 此时， 答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．  【解析】利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； 设购进种配件件，则购进种配件件，根据种配件进货件数不低于种配件件数的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 26.【答案】【模型建立】证明：如图，为等腰直角三角形， ，， 又，， ，， ， 在与中， ， ≌； 【模型应用】解：如图，过点作，交于，过作轴于， ， 为等腰直角三角形， 由可知：≌， ，， 直线：中，若，则；若，则， ，， ，， ， ， 设的解析式为，则 ， 解得， 的解析式：； ， 理由：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 由可得，≌，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，符合题意； 当点在矩形的外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得：≌，则， 即：， 解得， ， ， 此时，，，，符合题意． 综上所述，满足条件的点的坐标为或  【解析】【模型建立】根据为等腰直角三角形，，，可判定≌； 【模型应用】过点作，交于，过作轴于，根据≌，得出，，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； 根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点在矩形的内部时，当点在矩形的外部时，设，分别根据≌，得出，据此列出方程进行求解即可． 本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，需要考虑的多种情况，解题时注意分类思想的运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $