精品解析：天津市滨海新区大港实验中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段性检测数学试卷

大港实验中学2025-2026学年度高二（上）数学第二次阶段性检测 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系式可得答案. 【详解】由斜率计算公式得： 直线的斜率 . 故选：A 2. 已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直关系可得直线的斜率为，结合截距式方程运算求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，直线，可知直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为，所以的方程为，即. 故选：B. 3. 已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个圆的方程相减可得直线的方程. 【详解】两圆和， 两圆方程相减可得：， 即相交弦所在的直线方程为， 故选：A 4. 已知空间向量且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可. 【详解】，且，则，解得. 故选：C. 5. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行确定，再由平行线间距离公式求解即可； 【详解】因为平行， 可得， 则， 所以和间的距离为， 故选：D 6. 在数列{an}中,，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据递推表达式，逐一写出即可． 详解：，故选B． 点睛：当递推表达式比较复杂时，逐一前面有限项观察规律，把行数看成数列的项数，个数看作数列的项，尽可能的多推导前面有限项看出规律． 7. 在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式建立方程，可解得公差d得选项. 【详解】解：因为在等差数列中，，且，，，构成等比数列，所以，即， 所以，解得或， 故选：A. 8. 若双曲线（，）的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可得，将代入双曲线方程可求得，由此可得结果. 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为：，，即， 则双曲线方程可化为：，由双曲线过点， ，解得，，双曲线方程为：. 故选：C. 9. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点与准线，结合题意以及抛物线定义建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线， 由题意可得，且， 则点到准线的距离，解得， 所以焦点. 故选：D. 10. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 11. 设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为， 又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得． 故选：． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题． 12. 过双曲线的左焦点，且垂直于轴的直线与双曲线相交于、两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入双曲线方程可得，结合题意可得，代入运算求解即可. 【详解】设双曲线左焦点，，， 因为点在双曲线上，则，整理可得， 即，可得， 由题意可知：，所以，即， 显然，可得，即，可得， 所以双曲线的离心率等于2. 故选：B. 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，利用椭圆的定义可得出的周长. 【详解】在椭圆中，， 由题意可知，的周长为. 故答案为：. 14. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由方程表示双曲线的充要条件可得. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知数列中，，则___________，数列的通项公式是___________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【分析】根据题意可得，数列首项为1，公差为的等差数列.由此可得数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，并求出. 【详解】由得. 因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列. 所以. 所以数列的通项公式是. 所以. 故答案为：①，②. 16. 如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为______；点到直线的距离为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,,,1,,,1,,,1,,,,, ，， 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，，是平面的一个法向量， 又， 设与平面所成角为，则， 取，， 则，， 故点到直线的距离为； 故答案为： 17. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用与之间关系直接求解即可. 【详解】当时，； 当时，，不满足； . 故答案为：. 18. 已知圆心为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间距离公式，可的半径r，根据点斜式方程，可得直线的方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d等于半径r，代入公式，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意得，圆的半径， 直线的方程为：，整理得：， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 所以，解得， 所以圆C的方程为. 故答案为： 19. 已知圆，直线，直线恒过定点坐标___________；则直线截圆所得弦长的最小值为___________. 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】分离参数，求直线与的交点可得直线恒过定点坐标；设圆心到直线的距离为，由，知当取得最大值时，的值最小.分析易知的最大值为圆心到直线所过定点的距离，由此可求得的最小值. 【详解】由直线，得. 由，得. 所以直线恒过定点坐标为，记为点. 圆的圆心为，半径为. 因为，所以点在圆内. 设圆心到直线的距离为，则. 所以当取得最大值时，的值最小. 易知当时，取得最大值，最大值为. 所以直线截圆所得弦长的最小值为. 故答案为：；. 20. 抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为___________；若点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线方程，结合抛物线的几何性质求抛物线的焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义证明与准线垂直，在中，利用，，求得等边三角形边长，再计算面积即可. 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为， 因为点在抛物线上，所以与点到准线的距离相等， 因为为等边三角形时，所以， 所以与点到准线的距离相等，又点在准线上， 所以与直线垂直，点为垂足， 设直线与轴的交点为，则， 由已知， 在中，，， 所以，即等边三角形边长为4， 故等边三角形面积为. 故答案为：，. 三、解答题（共50分） 21. （1）在等差数列中，，求通项及数列的前项和； （2）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； 【答案】（1）， ， （2），. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列式求出，进而得到通项公式； （2）根据与的关系求出通项. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，即，解得， 所以，故， 由，可得， 故， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为，前项和， （2）当时，， 当时，, 当时，依然成立， 所以数列的通项公式是，. 22. 已知圆的方程为：. （1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可得圆心与半径，利用点到直线距离公式以及弦长公式，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分斜率存在与不存在两种情况，根据切线的判定，结合点到直线距离公式，可得答案. 【小问1详解】 圆的方程为：，则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于，两点，且， 圆心到直线的距离， ，，解得或. 【小问2详解】 由已知得，点在圆外， 切线的斜率不存在时，直线，与圆相切； 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为； 综上所述，切线方程为或. 23. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点D到平面的距离. 【答案】（1） 根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 显然，又平面， 所以 平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则； 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 24. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港实验中学2025-2026学年度高二（上）数学第二次阶段性检测 一、选择题（每题5分，共60分） 1. 已知直线的倾斜角为，则该直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知直线的斜率为，直线，且直线在轴上的截距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两圆和相交于、两点，则相交弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列{an}中,，，则 A. B. C. D. 7. 在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（ ） A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 0或 8. 若双曲线（，）的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 11. 设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 过双曲线的左焦点，且垂直于轴的直线与双曲线相交于、两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（每题5分，共40分） 13. 过椭圆的一个焦点的弦与另一个焦点围成的的周长是______． 14. 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是__________. 15. 已知数列中，，则___________，数列的通项公式是___________. 16. 如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为______；点到直线的距离为______. 17. 若数列的前项和是，则数列的通项公式是___________. 18. 已知圆心为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为___________ 19. 已知圆，直线，直线恒过定点坐标___________；则直线截圆所得弦长的最小值为___________. 20. 抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程为___________；若点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为___________. 三、解答题（共50分） 21. （1）在等差数列中，，求通项及数列的前项和； （2）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； 22. 已知圆的方程为：. （1）若直线与圆C相交于两点，且，求实数的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 23. 如图，是边长为4的正方形，平面，，且. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点D到平面的距离. 24. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $