精品解析：山东省济南市历城第二中学2025-2026学年高三12月月考数学试题

2025年12月济南历城第二中学高三月考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 4. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 6. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 10. 函数在一个周期内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 14. 已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 17. 设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 18. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． （2）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． （3）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线l与相切，与圆相交于A，B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求的方程； （2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为． （i）若M，N分别为线段与圆O，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ii）若，均存在，记两者中的较大者为．已知，，均存在，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月济南历城第二中学高三月考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别化简两个集合，并进行交集运算. 【详解】因为， 所以，即 故选：B 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，进而判断在复平面内对应的点所在象限. 【详解】依题意，， 所以， 对应点为，在第四象限. 故选：D 3. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式即得. 【详解】的展开式的通项为， ， 则含的项的系数是. 故选：A. 4. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，成等比数列，可解出. 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列，则， 即，解得或. 设等比数列公比为，则， ，则，得. 故选：B 5. 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 【答案】B 【解析】 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 6. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平移后的函数，根据新函数是偶函数即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，向左平移得到， 所以， 因为为偶函数， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 故选：C 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到在，和的切线斜率，在变化过程中，确定点的轨迹，最后根据弧长公式求解. 【详解】，， ，则， 故在处的切线方程为， ，， 故在处的切线方程为， ，， 故在处的切线方程为， 当的切点横坐标从连续变为时， 切线从变为，此时两切线与圆的交点左边从到， 右边从到， 同理，当的切点横坐标从连续变为时， 切线从变为，此时两切线与圆的交点左边从到， 右边从到， 故点的轨迹为劣弧和劣弧， 其中，故， 故其轨迹对应的圆心角为， 由弧长公式得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD. 10. 函数在一个周期内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数，利用平移变换判断. 【详解】函数， 其中， 因为，所以， 又函数是由向左或向右平移个单位得到的， AC符合题意， 故选：AC 11. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A：优先考虑个位为奇数，再考虑千位不能是0，借助排列组合数公式计算即可；对于选项B：优先考虑个位为0以及个位为5，再利用排列组合数公式及分类计数原理计算即可；对于选项C：分别讨论个位是0，1，2，3，4，再利用排列组合数公式及分类计数原理计算即可；对于选项D：借助计数原理等知识，优先考虑千位数，依次讨论千位数为1，2，3，在考虑百位数，直至找到第71个数即可. 【详解】对于选项A：当末位是数字1，3，5时，千位不能是0，共有个奇数．所以选项A错误； 对于选项B：能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，可以组成个， 当末位是数字5时，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，有个， 根据分类计数原理知共有个，所以B正确； 对于选项C：该四位数中个位上的数字小于十位上的数字，个位是0，有个； 个位是1，有个；个位是2，有个； 个位是3，有个；个位是4，有个， 共有：个，所以选项C正确； 对于选项D：当千位是数字1时，可以组成个偶数； 当千位是2时，偶数共有个偶数； 千位是3时，百位为0时有：个；合计66个， 千位是3．百位是1时，偶数依次为：3102，3104，3120，3124，3140， 3140就是0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来第71个数． 所以选项D不正确； 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，再利用向量夹角的坐标表示即可得到答案. 【详解】依题意，由，有， 解得，所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线方程及点T坐标，设出直线l的方程并联立曲线，再由韦达定理和抛物线焦半径公式可解点A，然后可求的面积. 【详解】如图，因为抛物线C的焦点，所以，解得， 则抛物线C的方程为，准线方程为， ， 易知直线l斜率存在，设方程为，，, 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又， ，且， ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， . 故答案为. 14. 已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，，即可得，最后应用导数求最大值. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由有三个零点，则， 由，而，则， 又，则，， 则，且， 对于且，则， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以， 综上，最大值. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 【答案】（1）证明：由正弦定理得， 故，于是． 又，故，所以或， 因此（舍去）或，所以． （2）或. 【解析】 【分析】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由得，故有，因，得．又，所以．当时，；当时，． 综上，或． 考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理. 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，通过证明，得证平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，易知，又，得. 由平面，且直线与圆柱底面所成角为，即，则有. 如图，以为原点，分别为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则有，， ， 设平面的一个法向量为，则， 令，有，得， ， 设点到平面的距离为， . 17. 设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 【答案】(1)f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值． （2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R， 于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． 由（1）知当a＞ln2﹣1时， g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0． 于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增． 于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0， 故ex＞x2﹣2ax+1． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由，知．令f′(x)=0，得x=ln2．列表讨论能求出f(x)的单调区间区间及极值． （2）设，于是,由（1）知当时，g′(x)最小值为，于是对任意，都有，所以g(x)在R内单调递增．由此能够证明． 试题解析：解：∵f（x）=ex﹣2x+2a，x∈R， ∴f′（x）=ex﹣2，x∈R． 令f′（x）=0，得x=ln2． 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2）， 单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值， 极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值． （2）略 考点：1.导数与单调性和极值；2.导数的应用. 18. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． （2）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． （3）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 【答案】（1） （2），不独立； （3）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【解析】 【分析】（1）根据次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式求解即可； （2）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （3）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【小问1详解】 有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为，取到黑球的概率为， 由次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为. 【小问2详解】 当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. 【小问3详解】 从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线l与相切，与圆相交于A，B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求的方程； （2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为． （i）若M，N分别为线段与圆O，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ii）若，均存在，记两者中的较大者为．已知，，均存在，证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：因为，，均存在， 设点，，，，，， 且，，， 设是集合Y中到的最近点，根据对称性，不妨设， 令点到集合Z的最近点为，点到集合Y的最近点为， 因为是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则， 因为是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则， 因此， 而在坐标平面中，， 又点是集合Y中到点的最近点，则， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再结合离心率求出即得； （2）（i）利用仿射法表示出，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （ii）利用新定义，结合对称性推理即得. 【小问1详解】 当l垂直于x轴时，，解得， 离心率，解得，所以的方程为：． 【小问2详解】 （i）当P作圆的切线，其切线平行于时，是以此为底边的面积最大值，设，如上左右两图，则， 则， 即， 当时，取得最大值，， 对于线段上任意点E，连接并延长与圆O交于点F， 则F是圆上与E最近的点，当E为线段的中点时，取得最大值， 所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $