山东省济南市历城第二中学2025-2026学年高三12月月考数学试题

2025年12月济南历城第二中学高三月考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 10 C. D. 5 4. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 6. 函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则（ ） A. B. 双曲线的实轴长为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 10. 函数在一个周期内的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于_________． 14. 已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知． （1）证明：； （2）若的面积，求角的大小． 16. 如图，四边形是圆柱的轴截面，点在底面圆上，，点是线段的中点 （1）证明：平面； （2）若直线与圆柱底面所成角为，求点到平面的距离. 17. 设为实数，函数． (1)求的单调区间与极值； (2)求证：当且时，． 18. 一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． （2）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． （3）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，直线l与相切，与圆相交于A，B两点．当l垂直于x轴时，． （1）求的方程； （2）对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为． （i）若M，N分别为线段与圆O，P为圆O上一点，当的面积最大时，求； （ii）若，均存在，记两者中的较大者为．已知，，均存在，证明：． 2025年12月济南历城第二中学高三月考数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：由正弦定理得， 故，于是． 又，故，所以或， 因此（舍去）或，所以． （2）或. 【16题答案】 【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示， 为中点，则，又，得， 由，，得， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面. （2） 【17题答案】 【答案】(1)f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞）， f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值． （2）证明：设g（x）=ex﹣x2+2ax﹣1，x∈R， 于是g′（x）=ex﹣2x+2a，x∈R． 由（1）知当a＞ln2﹣1时， g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0． 于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增． 于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0． 即ex﹣x2+2ax﹣1＞0， 故ex＞x2﹣2ax+1． 【18题答案】 【答案】（1） （2），不独立； （3）当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：因为，，均存在， 设点，，，，，， 且，，， 设是集合Y中到的最近点，根据对称性，不妨设， 令点到集合Z的最近点为，点到集合Y的最近点为， 因为是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则， 因为是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则， 因此， 而在坐标平面中，， 又点是集合Y中到点的最近点，则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $