精品解析：江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

九江市匡庐星瀚高级中学第三次月考高二数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知，直线，且，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 5. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ） A. 点关于x轴对称的点的坐标为 B. 点关于xOy平面对称的点的坐标为 C. 点关于原点对称的点的坐标为 D. 点到xOy平面的距离为4 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为4 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，若，，且，则_____. 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 16. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求向量与的夹角． 17. 已知平行六面体． （1）求的长度？ （2）求证：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，求： （1）异面直线与所成角的余弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）二面角的余弦值； 19. 已知椭圆的长轴长为6，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于两点. ①若，求实数的值； ②当变化时，线段的中点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论，若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市匡庐星瀚高级中学第三次月考高二数学试题 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间两点距离公式即可得到答案. 【详解】． 故选：C. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果. 【详解】该直线的斜截式方程为，则斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：D 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 可得：， 解得， 故选：B 4. 已知，直线，且，则的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知，直线，且， 则，所以. 故选：A. 5. 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 6. 如图，在长方体 中， ， ，点 是棱 的中点，则点 到平面 的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， 分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则． 从而. 设平面的法向量为， 则，即，得， 令，则， 所以点E到平面的距离为． 故选：A. 7. 已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，再得到，，进而结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由，得. 令，解得，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 因为当时，直线与线段也有交点， 所以的取值范围是，故A正确. 故选：A 8. 下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ） A. 点关于x轴对称的点的坐标为 B. 点关于xOy平面对称的点的坐标为 C. 点关于原点对称的点的坐标为 D. 点到xOy平面的距离为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间中点的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：点关于x轴对称的点的坐标为，故A错误； 选项B：点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确； 选项C：点关于原点对称的点的坐标为，故C正确； 选项D：点N到xOy平面的距离为4，故D正确. 故选：BCD 10. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案. 【详解】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 的周长为，D对. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为4 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程可求解判断；对BCD，设直线，设，则联立直线与抛物线，利用韦达定理求解判断. 【详解】对于A：抛物线的焦点，准线方程为：， 所以焦点到准线的距离为，A正确； 对于B：设直线，设， 则由得， 所以， 又由抛物线定义可得， 所以，B正确； 对于C：若的中点的纵坐标为，则，得， 所以，，C错误； 对于D：若，则，又， 所以，整理得，又， 所以，即，因为，所以， 所以，解得， 所以，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，若，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积求出，再由空间向量模计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，， 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，点在上，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过焦半径公式计算出，再把点的坐标代入抛物线即可. 【详解】由抛物线定义可得，又， 所以，则， 所以抛物线的方程为， 因为点在上， 所以，又，则. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由双曲线定义求出，求出，，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，，由双曲线定义可得， 即，所以，， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程．（用圆的一般方程表示） 【答案】 （1）①标准方程为， 故圆的圆心为，半径为3； ②圆即为，其标准方程为， 故圆的圆心为，半径为； （2）圆的方程为 【解析】 【分析】（1）化①②的圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得． （2）设所求圆的一般方程为，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径． 【详解】（1）略 （2）设所求圆的一般方程为， 由题意可得，解得， 所以，所求圆的方程为， 该圆的标准方程为，圆心为，半径为1． 16. 已知向量. （1）求； （2）求； （3）求向量与的夹角． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【小问1详解】 ∵， ， . 【小问2详解】 ， ， 则. 【小问3详解】 ， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 17. 已知平行六面体． （1）求的长度？ （2）求证：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） ， 则，则. （3） 【解析】 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【小问1详解】 设，， ，，， 则 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 18. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，求： （1）异面直线与所成角的余弦值； （2）直线与平面所成角的正弦值； （3）二面角的余弦值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【小问1详解】 由题意，平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 所以，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）的，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 而平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆的长轴长为6，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于两点. ①若，求实数的值； ②当变化时，线段的中点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论，若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）①； ②变化时，线段的中点恒在上， 理由如下：设，则， 由①知， 所以， 消去可得， 所以变化时，线段的中点恒在上. 【解析】 【分析】（1）由长轴长为6，得出的值，再根据离心率结合已知得出的值即可得出椭圆的方程； （2）①画图，联立方程组，由直线与椭圆相交于两点得出，解得的取值范围，再根据题意建立方程组解出的值即可得出结论；②当变化时，根据题意可以得出结论即直线方程. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为6， 所以有， 又因为椭圆的离心率， 所以有， 所以， 所以该椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①如图所示： 将直线方程与椭圆方程联立：， 化简整理得：， 因为直线与椭圆相交于两点， 所以有， 设， 则有， ， 即， 所以实数的值为 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $