3.3.2垂径定理 课件 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦垂径定理及逆定理，通过“温故知新”回顾原定理，“想一想”引导逆命题思考，“探究”活动让学生自主发现等量关系与对称性，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生逐步理解定理内涵。 其亮点在于以圆的轴对称性为基础，通过辨析题强化概念辨析，结合赵州桥、拱桥等实际问题培养数学眼光，证明过程注重推理逻辑发展数学思维，例题用方程解决实际问题提升数学语言表达能力。学生能提升应用与推理能力，教师可借助结构化内容高效教学。

3.3.2垂径定理 浙教版 1 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 条件 ①CD为直径 ②CD⊥AB ⑤CD平分弧ADB ③CD平分弦AB ④CD平分弧AB 结论 温故知新 2 垂径定理的逆命题是什么？ 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 想一想 AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 过点M作直径CD. ●O 上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? C D ● M A B ┗ 探究 想一想 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ●O A B C D M└ ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中: （3） （1） （2） （4） （5） （1） （4） （5） （1） （4） （3） （2） （5） （1） （5） （3） （4） （2） （2） （3） 5 归纳 垂径定理逆定理 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 6 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. 求证：CD⊥AB，AC=BC ⌒ ⌒ 证明：连结OA，OB，则AO=BO ∴△AOB是等腰三角形 ∵AP=BP ∴CD⊥AB ∴AC=BC (垂直于弦的直径平分弦所对的弧) ⌒ ⌒ 请独自证明定理2 证明定理1 7 说一说 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （3）圆内两条非直径的弦不能互相平分. × √ × （4）平分弦的直线，必定过圆心。 （5）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。   （6）弦的垂直平分线一定是圆的直径。  8 例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m). 例题解析 9 例题解析 A B D 解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB， 所以CD就是拱高.由题意，得 ∴AD=AB=0.5×37.02=18.51, OD=OC-DC=（R-7.23）(m). 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m. C AB=37.02m,CD=7.23m, (m) O 10 练一练 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16 m，桥拱最高处点C离水面4 m. (1)求该桥拱的半径； (2)若大雨过后，桥下水面宽度为12 m，则水面涨高了多少？ 11 解：(1)如图，设点O为圆心，连结OA，OC，OC交AB于点D. 由题意，得AB＝16 m，CD＝4 m，， ∴OC⊥AB， ∴AD＝AB＝×16＝8(m)． 设⊙O的半径为x m，则在Rt△AOD中， OA2＝AD2＋OD2，即x2＝82＋(x－4)2， 解得x＝10. 所以该桥拱的半径为10 m. D 12 (2)设水面上涨到EF位置(如图)． 此时EF＝12 m，EF∥AB，有OC⊥EF(设垂足为M)， ∴EM＝EF＝×12＝6(m)． 连结OE，则有OE＝10 m， ∴OM＝＝＝8(m)． 又∵OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)， ∴OM－OD＝8－6＝2(m)， 即大雨过后，水面涨高了2 m. 总结： 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 课堂练习 1.如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2， DE＝8,AB的长为(　　) A．9 B．8 C．6 D．4 B 2．如图所示，AB，AC是圆的两条弦，AD是圆的一条直径，且AD平分∠BAC，下列结论中不一定正确的是(　 　) A.AB＝DB B.BD＝CD C．BC⊥AD D．∠B＝∠C A 15 课堂练习 3．如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，AB＝10 cm， OE＝3 cm，则CD的长为________cm. 8 4.如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为 。 16 课堂练习 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米, 拱顶高出水面2.4米. 现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里, 此货船能顺利通过这座拱桥吗？ 17 课堂练习 解:如图,用表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. AD=，OD=OC-DC=R-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理， 得， 即 由题设得 解得 R≈3.9（m）. 18 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 ∴此货船能顺利通过这座拱桥. 即：OH= ∴DH=3.6-1.5=2.1>2 课堂小结 圆 圆的轴对称性 垂径定理的逆定理 定理1 定理2 平分弦（不是直径）的直径__________，并且_______弦所对的弧 平分弧的直径_______ 弧所对的弦 垂直于弦 平分 垂直平分 20 THANK YOU 21 $