3.3《垂径定理（2）》课件 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦垂径定理及其逆定理，通过“巧手来做一做”折纸活动导入，引导学生从垂径定理条件与结论出发，探索逆命题形成过程，构建“二推三”条件关系的知识支架，衔接定理与逆定理的逻辑脉络。 其亮点在于融合动手操作与实际应用，如赵州桥半径计算、隧道通行问题，培养学生几何直观与推理意识。通过“探索规律”分析轴对称图形等量关系，用数学语言表达几何逻辑，助力学生发展空间观念与应用意识，也为教师提供结构化教学资源。

3.3垂径定理（2） 1 定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 条件 ①CD为直径 ②CD⊥AB ⑤CD平分弧ADB ③CD平分弦AB ④CD平分弧AB 结论 2 垂径定理的逆命题是什么？ 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM. 你能说说这样找的理由？ 巧手来做一做 ●O ●M 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 条件 结论1 结论2 逆命题1：平分弦的直径垂直于弦． 逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦． 垂径定理的逆命题是什么？ 过点C作直径CD． 右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？ 你能发现图中有哪些等量关系？ 说说你的想法和理由． 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． AB是O的一条弧，且AC=BC. 探索规律 CD⊥AB AM=BM AD=BD CD是直径 AC=BC C D O M A B ┗ ⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 如图, 对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中: （3） （1） （2） （4） （5） （1） （4） （5） （1） （4） （3） （2） （5） （1） （5） （3） （4） （2） （2） （3） ●O A B C D M└ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 逆定理 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 垂径定理 已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE． 求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC 证明：连结OA，OB，则OA=OB ∴△AOB是等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB （等腰三角形三线合一） ∴ AD=BD，AC=BC 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 平分弧的直径垂直于弧所对的弦. 已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC 求证：CD⊥AB ⌒ ⌒ 证明：连结OA，OB，则AO=BO ∴△AOB是等腰三角形 ∵AC=BC ⌒ ⌒ ∴∠AOC=∠BOC ∴CD⊥AB 定理2 新知讲解 例3 赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).   OD=OC-DC=（R-7.23）(m). 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2 ∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31. 答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m. AB=37.02m,CD=7.23m, 解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB， 所以CD就是拱高.由题意，得 课堂练习 1.判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（ ） ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（ ） √    √ 10 3．如图，⊙O的半径为5，C是弧AB的中点，且BC＝4 那么BA＝　 　cm． 4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米? O B A 解 如图，OB＝1.5，OA＝1.15， ∵ AB2=OB2-OA2， ∴ AB≈0.96m. ∵ 0.96+2＝2.96＜3, ∴高为3m，宽为2.3m的集装箱 车不能顺利通过. 由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2, 又∵AB2=OB2-OA2， ∴OB≈2.31m. ∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径 至少为2.31m. 变式：某一公路隧道的形状如图所示，上部分抛物线拱的顶点距离地面4m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变下，上部分抛物线拱的顶点距离地面至少为多少米? 5.如图所示为某运动会所用的圣火盆的示意图，其中圣火盆高120cm,盆体深20cm,立柱高110cm,CD=60cm. （1）若曲线ACDB是一段圆弧，试求盆口的口径AB的长． （2）若曲线ACDB是抛物线的一部分，试求盆口的口径AB的长． 课堂小结 垂径定理的逆定理 定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________． 定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦． 垂直于弦 平分弦所对的弧 垂直平分 注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论． 圆 圆的轴对称性 垂径定理的逆定理 定理1 定理2 平分弦（不是直径）的直径__________，并且_______弦所对的弧 平分弧的直径_______ 弧所对的弦 垂直于弦 平分 垂直平分 课堂小结 2.如图所示，AB是半圆的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝8 cm，DE＝2 cm，则AB的长为______cm. 【解析】 E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥BC，CD＝BD＝4 cm.设OB＝x cm，则OD＝(x－2)cm.在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，2x＝10. $$