山东省临沂市莒南县2025-2026学年高二上学期期中学业质量检测数学试题

2025-2026学年度上学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 2. 如果直线与直线平行，那么a等于（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知椭圆的两个焦点分别为，过作倾斜角为的直线交椭圆C于两点，则的周长为（ ） A. B. C. 9 D. 12 4. 在四面体中，点G是的重心，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，则两圆（ ） A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离 6. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率e为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量是的一个单位向量 C. 若为钝角，则m的取值范围为 D. 若在上的投影向量为，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于直线，下列说法中正确的是（ ） A. 的倾斜角可以为 B. 时，不经过第二象限 C. 的一个方向向量为时， D. 直线恒过定点 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（    ） A. 的方程为 B. C. 的面积随周长变大而变大 D. 直线和的斜率乘积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是________． 13. 在空间直角坐标系中，已知点，且平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为________． 14. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知直线过点，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求此直线的方程． （2）求直线：关于直线：对称的直线的方程． （3）求过三点，，的圆的一般式方程． 16. 如图，在平行六面体中，且. （1）求的长度； （2）求证：平面. 17. 已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． （1）判断直线l与圆C的位置关系； （2）求的最小值及的最大值； （3）证明直线过定点． 18. 如图，在直三棱柱中，点是线段上的中点，点，是侧棱上的动点. （1）若，请证明：平面； （2）若，，，，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 2025-2026学年度上学期期中学业质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）或.（2）．（3） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 【17题答案】 【答案】（1）直线与圆相离， （2）,的最大值为 （3）证明：设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由， 解得，即直线过定点， 【18题答案】 【答案】（1） 取上的中点，连接，. ，分别是和的中点，且. 又，且， 四边形是平行四边形，. 平面，平面.平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $