精品解析：上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期第四周数学练习卷

上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期第四周数学练习卷 一、填空题 1. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】求对数函数的定义域需要满足真数大于0，所以只需解二次不等式. 【详解】要使函数有意义， 只需，即， 解得或， ∴函数的定义域为. 故答案为： 2. 直线的倾斜角为________．（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【详解】由可得， 所以直线斜率， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 3. 如果复数满足（为虚数单位），则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 4. 在中，若，，，则________．（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 5. 已知双曲线，则双曲线的焦距为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得与，进而可得焦距. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为， 由双曲线方程可知，， 则， 所以， 即双曲线的焦距为， 故答案为：. 6. 已知圆锥高为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】只需由勾股定理求出母线长，再结合圆锥的侧面积公式即可求解. 【详解】圆锥的母线长为，圆锥的侧面面积． 故答案为：. 7. 在的二项展开式中项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式可求出系数. 【详解】由通展开式项知，令，则， 二项展开式中项的系数为， 故答案为：. 8. 已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得且，利用数列的通项公式列出不等式，求解即得. 【详解】由题意知且， 即且， 因，代入可得且， 解得且，故的取值范围为. 故答案为： 9. 已知，，则的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论x的正负情况，当时，可得，构造函数，判断函数单调性，即可求解，继而判断时，不等式恒成立，综合可得答案. 【详解】由题意知，， 当时，，则，即为， 即， 令，设，则， 当且仅当时等号成立， 故在上单调递减，且， 故的解集为， 由，可得， 即此时的解集为； 当时，，则，即为， 而，则，， 故此时恒成立，此时解集为， 综合以上可知的解集为， 故答案为： 10. 已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 11. 某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 12. 已知实数、、、满足：，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义列式，结合三角函数恒等变换求得最小值. 【详解】设，，由，，可得、在单位圆上， 又，可得，可得. 设直线，则所求即为. 设，，， 结合图象，当时，、在同侧. 先考虑同侧，所求即为 ，而， 取值范围是， 所以所求式最小值在取到，此时最小值为. 再考虑异侧（含或在上），此时， 所求即为 ， 而，取值范围是， 因此所求式最小值为，在或时取到. 故答案为：. 二、选择题 13. 已知为大于1的正数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】， 在上是单调增函数， ，，充分性成立； ，，必要性成立. “”是“”的充要条件. 故选：C. 14. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 15. 假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）. A. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 16. 设为非空集合，函数的定义域为，若存在使得对任意的均有，则称函数具有性质. 给出以下两个命题，则下列选项中正确的是（ ）. ① 若且恒成立，则函数具有性质； ② 若且，则“”是“函数具有性质的必要非充分条件. A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】据函数具有性质的定义判断. 【详解】对于①：若存在，对，均有，即恒成立， 则为的最小值，但函数定义域为的函数，值域为， 且满足恒成立，但无最小值，不存在，使得恒成立，故①错误； 对于②：若，不妨取，此时， 显然不可能是的子集， 所以不具有“性质”，即“”不是“函数具有性质的充分条件； 若函数具有性质，因为函数的定义域为， 所以，对，， 因为的值域为，所以的最大值为，最小值为， 则，所以， 所以“”是“函数具有性质的必要条件 综上，“”是“函数具有性质的必要非充分条件.②正确. 所以①错误②正确. 故选：C. 三、解答题 17. 如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. （1）若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； （2）求证：平面. 【答案】（1）3； （2）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由是的中点，得，且， 而且，又为棱的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得点在平面上的射影在直线上，进而求出三棱柱的高及体积. （2）利用线面平行的判定推理即得. 【小问1详解】 在三棱柱中，平面平面， 由平面平面，得点在平面上的射影在直线上， 点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为， 因此，而正的面积， 所以三棱柱的体积. 【小问2详解】 略 18. 已知，其中. （1）若，求函数，的值域； （2）若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解． 【小问1详解】 当时，， 因此，函数值域为. 【小问2详解】 由题，应为极小值点的右侧第一个零点， 即，，因此. 又由区间长度可知， 其中，代入后解得. 因此. 19. 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： （1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； （2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； （3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 【答案】（1）； （2）茎叶图： （3）甲乙获胜的概率分别为，奖金分别为万元和万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，写出比赛结果的样本空间. （2）绘制击杀数分布的茎叶图. （3）利用相互独立事件的概率及对立事件的概率估计概率，再按概率分配奖金. 【小问1详解】 用表示甲队在第局获胜，则表示乙队第局获胜， 所以所求样本空间. 【小问2详解】 甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图，如图， 【小问3详解】 乙队获胜的事件为，则，， 因此甲队获胜的概率为， 由此分配10万元奖金，甲队分得（万元），乙队分得万元. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 21. 已知数列满足，首项. （1）若，求证：对于任意正整数，恒成立； （2）若，且数列从第2项起是等差数列，求所有可能的的值； （3）若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列. 【答案】（1）① 当时，成立； ② 假设当时，成立，此时， 则当时，，并且，于是也成立； 综上，对于任意正整数，都成立. （2）或 （3）设满足方程且，设满足方程且. 设，，此时函数的图像是连续不断的曲线. ， ， 则根据零点存在定理，存在，满足， 此时，即. 此时恒成立且数列不是常数列，满足条件，证毕. 【解析】 【分析】（1）根据假设验证法进行推导证明即可. （2）先判断数列是常数列，然后根据等差数列通项公式进行求解即可. （3）记，若，则严格增，且值域为；若，则严格减，值域也为，因此尝试让较小，且较大，进而也较大，，在这个过程中，增大会使得增大，进而增大，会减小，而从的变化过程中会使得从1减小到0，可以与相等. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列是等差数列，且，说明必须为常数列. 解得， 此时解，得或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期第四周数学练习卷 一、填空题 1. 函数的定义域为________． 2. 直线的倾斜角为________．（用反三角函数表示） 3. 如果复数满足（为虚数单位），则______. 4. 在中，若，，，则________．（用反三角函数表示） 5. 已知双曲线，则双曲线的焦距为________． 6. 已知圆锥高为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为________． 7. 在的二项展开式中项的系数为________. 8. 已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前项和为，若且，则的取值范围为________. 9. 已知，，则的解集为________. 10. 已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为________. 11. 某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 12. 已知实数、、、满足：，，，则的最小值为________. 二、选择题 13. 已知为大于1的正数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 15. 假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）. A. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 16. 设为非空集合，函数的定义域为，若存在使得对任意的均有，则称函数具有性质. 给出以下两个命题，则下列选项中正确的是（ ）. ① 若且恒成立，则函数具有性质； ② 若且，则“”是“函数具有性质的必要非充分条件. A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 三、解答题 17. 如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点. （1）若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积； （2）求证：平面. 18. 已知，其中. （1）若，求函数，的值域； （2）若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 19. 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： （1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； （2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； （3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 21. 已知数列满足，首项. （1）若，求证：对于任意正整数，恒成立； （2）若，且数列从第2项起是等差数列，求所有可能的的值； （3）若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $