精品解析：广东省新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第一学期期中考试试题 高二年级数学 2025年11月 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量分析空间中的线、面位置关系，结合空间向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，若，得，则，解得，故B错误； 对于C，若，得，所以，所以， 则或，故C错误； 对于D，若，得，则，解得，，故D错误. 故选：A 2. 直线的倾斜角不可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，可得当时，直线方程为，此时倾斜角为； 当时，直线方程化为，则斜率为：， 即，又由，解得或， 又由且，所以倾斜角的范围为， 显然A，B都符合，只有D不符合， 故选D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力. 3. 已知空间四边形，其对角线为，，，分别是，的中点，点在线段上，且，现用基底表示向量，有，则，，的值分别为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】由向量运算的三角形法则和向量共线定理、平行四边形法则可得，从而可得结果. 【详解】 如图所示， 因为，分别是，的中点，点在线段上，且， ， ， ， 又有， ，故选A. 【点睛】本题考查了向量的三角形法则和向量共线定理、平行四边形法则，属于基础题. 向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 4. “”是“直线与互相平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】当时，直线方程为与，可得两直线平行； 若直线与互相平行，则，解得， ，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选 【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 5. 已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合 二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标. 【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝. 所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝， 即点Q的坐标为. 故选：C 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A. 7. 已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将转换为，连接，找到点的位置，从而求出线段和的最小值 【详解】将圆方程化为标准方程为：，如下图所示： 作点关于x轴的对称点，连接与圆相交于点，与x轴相交于点，此时，的值最小，且，由圆的标准方程得：点坐标为，半径，所以，，所以最小值为9 故选：C 8. 已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的面积最小时点坐标，再由是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程. 【详解】 由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有(　　) A. •a2 B. •a2 C. •a2 D. •a2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，建立空间坐标系，表示出各个点的坐标，利用空间向量的数量积运算公式即可求解． 【详解】以为坐标原点，、、所示的空间直角坐标系，如下图: 则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)， D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)， 对于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，则•a2，A错误； 对于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，则•a2，B正确； 对于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，则•a2，C正确； 对于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，则•a2，D错误； 故选：BC． 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有一条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径差列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D． 【详解】由，得， 联立，解得， 直线恒过定点，故A正确； 圆心到直线的距离等于1， 直线与圆相交，而圆的半径为2， 故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B错误； 两圆恰有一条公切线，则两圆内切，曲线化为标准式，圆心，半径为1， 曲线化为标准式，圆心，半径为， ∴圆心距为，解得，故C错误； 设点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为， 两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，， 令，，解得，，故直线经过定点，故D正确． 故选：AD. 11. 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 【答案】AD 【解析】 【分析】先求得点的轨迹方程，然后根据圆与圆的位置关系求得的取值范围，进而求得正确选项. 【详解】圆的圆心为，半径为. 为的中点，，所以， 设，则，所以点的轨迹方程为. 即在圆心为，半径为的圆上. ，都在直线上，且， 设线段的中点为，则， 以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角， 所以， 即，，所以或， 即或. 所以AD选项正确. 故选：AD 【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系. 第II卷（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】解：若直线平面，则， ，解得， 故答案为：2. 13. 已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断直线AB与圆相离，再根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径的和求解即可. 【详解】由得直线AB的方程为，即． 圆化为标准形式为， 圆心的坐标为，半径， 则圆心到直线AB的距离， 所以直线AB与圆相离， 所以点到直线AB的距离的最大值为． 故答案为： 14. 如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时，________． 【答案】 【解析】 【分析】设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】设，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 则， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍，且直线分别满足下列条件：（结果化成一般式） （1）若过点，求直线的方程． （2）若在轴上截距为，求直线的方程． （3）若在轴上截距为3，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】 先由题意，求出直线的斜率； （1）根据直线的点斜式方程，可直接得出结果； （2）根据直线的点斜式方程，可直接得出结果； （3）根据直线的斜截式方程，可直接得出结果. 【详解】由直线得其斜率为，则其倾斜角的正切值为，， 又直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍， 故所求直线的倾斜角为，其斜率为； （1）若所求直线过点，由点斜式方程得：， 整理得：； 即所求方程为； （2）若所求直线在轴截距为，则直线过点， 由点斜式方程得：， 整理得； 即所求方程为； （3）在轴上截距为3，由斜截式方程得：， 整理得：； 即所求方程为. 16. 如图，直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证∶平面； （2）求与平面所成角的正弦值及直线到面的距离． 【答案】 (1)在直三棱柱中，连接A1C交AC1于点N，连接MN，如图， 则点N是线段A1C中点，而M是线段A1B1中点，从而有MN//B1C， 又平面，平面， 所以平面； (2)；. 【解析】 【分析】(1)连接A1C交AC1于点N，连接MN，证明B1C//MN即可推理得证； (2)由给定条件，以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量即可求线面角及线面距离. 【详解】(1)略 (2)依题意，平面ABC，又， 则以点C为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 令为平面的法向量， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值是； 由(1)知，平面， 则直线到平面的距离等于点B1到平面的距离d， 因此，， 所以直线到平面的距离是. 17. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【小问1详解】 解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. 【小问2详解】 解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 18. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点．用空间向量坐标法解答以下问题： （1）求与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由；若存在，求的值． 【答案】（1） （2） （3）当或时，使得二面角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求，利用夹角公式即可求解； （2）求平面的法向量为，显然平面的法向量为，利用夹角公式即可求解； （3）设，即，求平面的法向量为，利用夹角公式得，即，解出即可求解. 【小问1详解】 由平面，所以， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 由，所以， 设，由， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由题意有， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然平面的法向量为， 所以， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设，即，由, ， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以， 化简整理得：，解得或， 所以存在点，当或时，使得二面角的余弦值为. 19. 已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； （3）设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明： 设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 则， 所以当不断变化时，轴始终平分. （3）存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证； （3）设，由为圆的切线，得到，得到方程，结合方程的恒成立，列出方程组，求得的值，进而得到答案. 【小问1详解】 由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又由圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称， 可得，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 假设存在定点，使得为定值，设，，， 因为点在圆上，所以，则， 因为为圆的切线，所以， 所以，， 所以， 整理得（）， 若使（）对任意恒成立，则，可得， 代入③整理得，解得或， 所以或， 所以存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第一学期期中考试试题 高二年级数学 2025年11月 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 直线的倾斜角不可能为 A. B. C. D. 3. 已知空间四边形，其对角线为，，，分别是，的中点，点在线段上，且，现用基底表示向量，有，则，，的值分别为 A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. “”是“直线与互相平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 7. 已知点，Q为圆上一点，点S在x轴上，则的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有(　　) A. •a2 B. •a2 C. •a2 D. •a2 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有一条公切线，则 D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点 11. 已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 第II卷（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______． 13. 已知点及圆：，若为上动点，则点到直线AB的距离的最大值为______． 14. 如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，且，点是线段上一点，当二面角的平面角的大小为时，________． 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的倾斜角是所求直线的倾斜角的大小的5倍，且直线分别满足下列条件：（结果化成一般式） （1）若过点，求直线的方程． （2）若在轴上截距为，求直线的方程． （3）若在轴上截距为3，求直线的方程． 16. 如图，直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证∶平面； （2）求与平面所成角的正弦值及直线到面的距离． 17. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. （1）求点的坐标； （2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程； （3）当取得最小值时，求的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点．用空间向量坐标法解答以下问题： （1）求与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若不存在，请说明理由；若存在，求的值． 19. 已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； （3）设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $