精品解析：广西壮族自治区百色市右江区百色高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知、，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式求出直线的斜率，进而可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式可得， ，因此，. 故选：B. 2. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到， 解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者， ∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A． 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系． 3. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理求解. 【详解】 如图，在正三棱锥中，因为点G为的重心，连接并延长交于点, 所以， 又点M是线段上的一点，且， 所以， ， 故选：A. 4. 若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 5. 在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线的向量距离公式求出答案 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 点B到直线的距离为 . 故选：C 6. 已知实数，若直线与圆的两个交点恰好关于直线对称，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的一般方程变成标准方程后求出圆心，由直线经过圆心，且与直线垂直列方程组求出即可； 【详解】圆化为，圆心的坐标为. 根据题意，直线经过圆心，且与直线垂直， 从而可得， 解得， 所以. 故选：C. 7. 已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用动点与定点的距离之比为2，坐标化可以得到点的轨迹方程，数形结合即可求解. 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆M与x轴相切与焦点F，设，则，所以圆的半径为，利用是直角三角形，即可求出椭圆的离心率． 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为直角三角形，，， ，即，又，所以， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线截距式及其适用条件可判断A选项，根直线方向向量的概念可判断B选项；根据平行线间距离公式可判断C选项；根据斜率与倾斜角的关系可判断D选项. 【详解】A选项：当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A选项错误； B选项：由方向向量的定义知正确； C选项：直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C选项错误； D选项：直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故D选项正确； 故选：BD. 11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B. 轨迹C上的点到直线的最小距离为 C. 若点在轨迹C上，则的最小值是 D. 圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D. 【详解】设，由， 整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故A正确； 圆心到直线的距离， 所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误； 设，易知圆心到直线的距离 ，故C正确； 易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意， 则圆心距，解之得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助圆心到直线的距离、半径及弦长的关系计算即可得. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到的距离为， 所以，因为， 解得. 故答案为： 13. 已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______． 【答案】##-0.25 【解析】 【分析】由题意可得，设，由题意可得的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得. 【详解】解：由题意可得，设，, 则由在椭圆上可得， 直线与的斜率之积为， 椭圆离心率为，可得，即， 故． 即． 故答案为：． 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，则平面， ，平面，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令，得，， 因为平面， 所以，所以， 解得，则， 又， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求内角； （2）若为边上的中点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知利用余弦定理求解即可； （2）结合三角形面积公式求得，然后由平方，利用数量积的运算求解． 【小问1详解】 由已知条件，即， 由余弦定理可得，因为，从而. 【小问2详解】 因为，由，解得， 因为为边上的中点，所以， 平方得：， 所以. 16. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值； （2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数； （3）采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 【答案】（1） （2）小时 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果； （2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果； （3）根据古典概型的计算公式即可求出结果. 【小问1详解】 由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，. 由，得. 【小问2详解】 设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时. 因为前5组频率和为，前4组频率和为，所以 由，得. 故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时. 【小问3详解】 由题意得，周末阅读时间在中的人分别有15人､20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人､4人，分别记作及. 从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间，，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等， 抽取的2人在同一组包含的样本点有，共9个， 故所求概率. 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以 又面面ABCD，面面，面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）存在，或，理由如下： 取AB的中点，连结ON，则，所以 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， 设，，则， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，若， 取， 由直线AP与平面MBD所成角为，得， 化简得 解得或， 当或时，直线AP与平面所成角为. 【解析】 【分析】（1）由题设证得，取AD的中点，连结PO，应用面面垂直的性质证平面，再由线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定证结论； （2）取AB的中点，连结ON，则，构建空间直角坐标系，设，应用向量法，结合线面角大小列方程求，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知的圆心在直线上，且与直线相切与点． （1）求的标准方程； （2）求过点且被截得弦长为的直线的方程； （3）已知，是否存在这样的的值使得能平分的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明你的理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（1）由题意得圆心在直线上，进而得圆心坐标与半径，再求标准方程即可； （2）由题知圆心到该直线的距离，再分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论求解即可； （3）平分的周长即公共弦必过的圆心，得到公共弦所在直线方程带入得. 【小问1详解】 解：因为与直线相切与点，所以圆心在直线上． 又圆心在直线上， 所以，圆心坐标为，从而半径为2． 所以，的标准方程为； 【小问2详解】 解：因为直线截得圆所得弦长为，圆的半径为2， 所以，由弦长公式可知圆心到该直线的距离． 若过的直线不存在斜率，即，经检验圆心到其距离为1，符合题意， 若过的直线存在斜率设为，则直线方程为， 则，解得，此时直线方程为， 综上所述，符合题意的直线方程为或； 【小问3详解】 解：若能平分的周长，则它们的公共弦必过的圆心． 将两圆方程对应相减，可得公共弦所在的直线方程为：． 将代入，解得，． 此时的圆心为，半径为， ： 的圆心为，半径为， 因为，即， 所以，两圆位置关系属于相交，符合题意． 所以，时，能平分的周长. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值． 【小问1详解】 依题意，，且，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则， 周长， 当且仅当点是线段的延长线与椭圆的交点时取等号， 所以周长的最大值为. 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由消去得：，显然，， ， 因此面积， 令，，显然函数在上单调递增， 则当，即时，取得最小值， 所以当时，面积取得最大值3. 【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学月考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知、，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，在正三棱锥中，点G为的重心，点M是线段上的一点，且，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 若点关于直线：（，）的对称点为，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知实数，若直线与圆的两个交点恰好关于直线对称，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B. 向量是直线的一个方向向量 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线的倾斜角的范围是 11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B. 轨迹C上的点到直线的最小距离为 C. 若点在轨迹C上，则的最小值是 D. 圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为正实数，若直线被圆所截得的弦长为，则__________. 13. 已知为椭圆上的左右顶点，设点为椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为，若椭圆离心率为，则为______． 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求内角； （2）若为边上的中点，求线段的长. 16. 某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值； （2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数； （3）采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率. 17. 如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知的圆心在直线上，且与直线相切与点． （1）求的标准方程； （2）求过点且被截得弦长为的直线的方程； （3）已知，是否存在这样的的值使得能平分的周长？若存在，求出的值；若不存在，请说明你的理由． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $