3.3.1垂径定理 课件 2025-2026学年 浙教版九年级数学上册

3.3.1垂径定理 浙教版 1 复习提问: （２）正三角形是轴对称图形吗？ （１）什么是轴对称图形　 （３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。 有几条对称轴？ 是 ３ 导入新课 2 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴． 折一折 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 用折叠的方法 ●O 说一说 探究 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 5 ●O A B C D M└ CD⊥AB， 如图∵ CD是直径， ∴AM ＝ BM， ⌒ ⌒ AC ＝BC ⌒ ⌒ AD＝BD. 请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明 已知CD是直径，CD⊥AB， 求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB ⌒ ⌒ 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点. 试一试 6 归纳 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 7 例题解析 例1、已知AB如图，用直尺和圆规作这条弧的中点. ⌒ E 1. 连结AB; ⌒ 2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E; 作法: ∴点E就是所求AB的中点. ⌒ 分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上. ⌒ 8 想一想 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E 9 归纳 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 10 例题解析 例2、一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离. C 8 8 解: 作OC⊥AB于C, 由垂径定理得:AC=BC==0.5×16=8 由勾股定理得: 答: 截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距. 例如, 上图中, OC的长就是弦AB的弦心距. D 11 1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线； ． O A B C r d 2 ．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长AB=2 方法： 12 想一想 在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？　 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短; 弦心距越短,所对应的弦就越长. 13 课堂练习 1.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（ ） A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=AE D. BD=BC ⌒ ⌒ · O A B E C D C 14 课堂练习 2. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, OE=6cm, 则AB= cm. · O A B E 16 15 课堂练习 3. 如图，⊙O直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动. 则OP的取值范围是_________________. · A B P O 3≤OP≤5 16 课堂练习 4. 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长. · O A B E C D 解：连结OA. ∵ CD是直径，OE⊥AB， 设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得 x2=52+(x-1)2 . 解得：x=13. ∴ OA=13. ∴ CD=2OA=26. 即直径CD的长为26. ∴ AE=AB=5. 17 课堂小结 垂径定理 内容 辅助线 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 18 THANK YOU 19 $