精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测（12月）数学试题

延边第二中学2025—2026学年度第一学期第二次阶段检测 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 2. 已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为 A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 不能确定 3. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知等差数列的前项和为．若，，则 A. 35 B. 42 C. 49 D. 63 6. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） A. 的斜率为 B. 是锐角三角形 C. 四边形的面积是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________. 13. 已知数列满足，，则_____. 14. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）______块． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4. （1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值； （2）求过点M的圆O1的切线方程. 16. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求证：数列的前项和. 17. 已知在等差数列中，公差，其前n项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 已知椭圆离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆方程； （2）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 19. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. （1）求抛物线的方程； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和； （3）求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2025—2026学年度第一学期第二次阶段检测 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 28 B. 30 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算得解. 【详解】等差数列中，由，得. 故选：A 2. 已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为 A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 【详解】如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题. 3. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，由此求得双曲线的渐近线方程. 【详解】离心率，则，所以渐近线方程为. 故选：C 4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义证明求解. 【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以 所以， 所以常数， 所以是等差数列． 证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列的公差为， 则所以 当时， 所以当时满足. 所以常数， 所以{an}等差数列. 故选C. 【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题. 5. 已知等差数列的前项和为．若，，则 A. 35 B. 42 C. 49 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】运用等差数列的性质，、、依然等差数列来求解 【详解】已知数列为等差数列，则其前项和性质有、、也是等差， 由题意得，， 则，， 故选 【点睛】本题在解答时运用了等差数列前项和性质，在运用性质时注意下标数字、、，本题也可以转化为和的方程来求解． 6. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， ，设，则，， 过的直线与椭圆交于，两点， ，，，， ，在直角三角形中，由勾股定理得， 即，化简得， ，，在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 化简得，即. 故选：C. 8. 已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数列的单调性求解． 【详解】由题意，解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，得到，，，即可判断A、B、D，再根据的符号即可判断C. 【详解】由题意，，则，， 又是等差数列，所以，故A正确； 又，则，故D正确； 因为，故B正确； 因为时，，当时，， 所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：ABD 10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） A. 的斜率为 B. 是锐角三角形 C. 四边形的面积是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即， 设， 则，可得∥x轴， 因为，即， 可知为等边三角形，即， 且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确； 则直线， 联立方程，解得或， 即，，则， 可得， 在中，，且， 可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确； 四边形的面积为，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，可判断左焦点在抛物线准线上，从而待定系数法求抛物线标准方程． 【详解】双曲线的焦点为，可得，则抛物线的标准方程为. 故答案为：． 13. 已知数列满足，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法求解. 【详解】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. 14. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）______块． 【答案】 【解析】 【分析】设每层环数为，结合已知有求n，进而应用等差数列前n项和公式求三层共有扇面形石板数. 【详解】设每层环数为，则上层最后一环有块， 中层第一环有块，最后一环有块， 下层第一环有块，最后一环有块， 所以下层比中层多，可得， 则三层共有扇面形石板块. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4. （1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值； （2）求过点M的圆O1的切线方程. 【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0. 【解析】 【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案； （2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案. 【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心为(1，2)，半径r=2， 若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=， 又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0， 则有d=，解得； （2）根据题意，分2种情况讨论： 当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件， 当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)， 圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0， 所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题. 16. 已知等差数列中，，. （1）求数列的通项公式及前n项和Sn； （2）设，求证：数列的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式和前项和公式计算即可； （2）利用裂项相消法来求和，再用放缩法，不等式即可得证. 【小问1详解】 由题意可知， 等差数列的公差为， 所以， 又所以； 【小问2详解】 因为， 所以, 即. 17. 已知在等差数列中，公差，其前n项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列通项公式； （2）当时，；当时，，根据等差求和公式可求解． 【详解】（1）由，， 得，解得， 所以等差数列的通项公式为． （2）当时， ． 当时， ． 故． 18. 已知椭圆的离心率为分别为左右焦点，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可作答； （2）设直线，直线与椭圆的交点为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式求解即可； （3）分轴，与轴不垂直两种情况讨论求出弦长的最大值，进而求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，依题意，而， 解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去得， 则，解得， 可得， 则 ，解得， 所以直线方程为. 【小问3详解】 设，当轴时，直线， 由，得，则； 当与轴不垂直时，设直线的方程为，即， 依题意，，则， 联立，得， 则， ， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立； 当时，直线，由， 得，则； 综上所述，， 则的面积， 所以面积的最大值. 19. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，作点关于轴的对称点，记的坐标为. （1）求抛物线的方程； （2）求数列的通项公式，并求数列的前项和； （3）求的面积. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，即可得到，从而数列的通项公式，再由，利用裂项相消法计算可得； （3）由（2）可知：，，，求出点到直线的距离及，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，则，解得， 所以抛物线的方程； 【小问2详解】 由可知，， 因为点在抛物线上，则，且， 过，，且斜率为的直线， 联立方程，消去可得， 解得或，，可得， 所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列，所以， 又，， ； 【小问3详解】 由（2）可知：，，， 直线的方程为， 即， 点到直线的距离为， ， 所以的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $