精品解析：河北唐山市迁安市2023-2024学年第二学期结业考试高二数学试卷

迁安市2023—2024学年度第二学期结业考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1-2页，选择题）和第Ⅱ卷（3-4页，非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、科目用2B铅笔涂写在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种 A. 72 B. 36 C. 12 D. 6 6. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ） A. 4 B. C. 9 D. 8. 某校团委对“学生喜欢体育和性别是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢体育的人数占男生人数的，女生喜欢体育的人数占女生人数的，若有95%以上的把握认为是否喜欢体育和性别有关，则调查人数中男生人数可能是（ ） 0.050 0.010 3.841 6.635 【附：，其中】 A. 35 B. 39 C. 40 D. 50 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若一组样本数据线性相关，则用最小二乘法得到的经验回归直线必经过样本中心点 B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，则推断与无关不成立，即认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C. 若随机变量和满足，则， D. 若随机变量，且，则 10. 已知，下列说法正确的是（　　） A. 在 处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 11. 若（），则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上. 12. 已知随机变量服从二项分布，且的期望，方差，则__________. 13. 已知函数有唯一的零点，则实数的值可以是__________.【写出一个符合要求的值即可】 14. 已知随机事件，发生的概率，，若，事件，分别表示不发生，不发生和至少有一个发生，则________，________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 16. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 17. 某健身俱乐部举办“燃脂运动，健康体魄”活动，参训的学员700人中超过90%属于超重人员，经过艰苦的训练，近五个月学员体重指标变化如下表： 月份 1 2 3 4 5 超重人数 600 500 420 340 240 （1）已知变量与变量具有线性相关关系，建立以为解释变量，为响应变量的一元经验回归方程； （2）俱乐部王教练每天从骑车和游泳中随机选择一种对学员进行减脂训练.选择方法如下：第一天选择骑车，随后每天用“一次性抛掷4枚质地均匀的硬币”来确定训练方式，若正面朝上的枚数小于3，则该天训练方式与前一天相同，否则选择另一种方式.求前三天骑车训练的天数的分布列和数学期望. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：. 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若方程在上有两个相异实根，求实数a的取值范围． 19. 某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000名学生中随机选出40名学生统计成绩，其中24名女生平均成绩为70个，标准差为4；16名男生平均成绩为80个，标准差为6. （1）高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布，若用这40名参赛的同学的样本平均数和标准差（四舍五入取整数）分别作为，，估计高一年级颠球成绩不超过60个的人数（四舍五入取整数）； （2）颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为，在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率. 附：若，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迁安市2023—2024学年度第二学期结业考试 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（1-2页，选择题）和第Ⅱ卷（3-4页，非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、科目用2B铅笔涂写在答题卡上； 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得集合，由并集定义可得结果. 【详解】，， . 故选：D. 2. 函数的图象在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为，所以，所以切点为，又， 由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率， 故得函数的图象在点处的切线方程是，即为． 故选：B 3. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，，由，可得， 所以，“”“”；但“”“”. 所以，已知，，则“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 设函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导后，将代入先求出，然后求出即可. 【详解】由，求导可得，， 取得到，解得， 此时，则. 故选：A 5. 在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种 A. 72 B. 36 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数公式，以及顺序一定问题，列式求解. 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法. 故选：C 6. 在的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出展开式的通项为，展开式中的项有和，系数相加即可求解. 【详解】展开式的通项为， 展开式中项为和， 所以的展开式中的系数为， 故选：C 7. 已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ） A. 4 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数解析式易知，则有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件. 【详解】由过定点， ∴， ∴，当且仅当，即时取等号． 故选：C． 8. 某校团委对“学生喜欢体育和性别是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢体育的人数占男生人数的，女生喜欢体育的人数占女生人数的，若有95%以上的把握认为是否喜欢体育和性别有关，则调查人数中男生人数可能是（ ） 0.050 0.010 3.841 6.635 【附：，其中】 A. 35 B. 39 C. 40 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】设男生女生人数均为，根据卡方公式得，根据表格得到不等式，解出即可. 【详解】设男生女生人数均为，则在列联表中，， 若有以上的把握认为学生是否喜欢体育和性别有关， 可知，解得， 又是5的整数倍，可得男生人数可取50， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若一组样本数据线性相关，则用最小二乘法得到的经验回归直线必经过样本中心点 B. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，则推断与无关不成立，即认为与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 C. 若随机变量和满足，则， D. 若随机变量，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归方程的性质判断A，根据独立性检验的思想判断B，根据期望与方差的性质判断C，根据正态分布的性质判断D. 【详解】对于A：若一组样本数据线性相关， 则用最小二乘法得到的经验回归直线必经过样本中心点，故A正确； 对于B：因为，所以有的把握可判断分类变量与有关联， 此推断犯错误的概率不大于，故B正确； 对于C：若随机变量和满足，则，，故C错误； 对于D：若随机变量，且， 则，故D正确； 故选：ABD 10. 已知，下列说法正确的是（　　） A. 在 处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数零点即可求出与交点的个数，从而判断出方程的解. 【详解】对于选项， 的定义域为，， ∵，∴， 由导数的几何意义可知在 处的切线方程的斜率为， ∴在 处的切线方程为，则错误； 对于选项，令得， ∴的单调递减区间为，则正确； 对于选项，令得， ∴的单调递增区间为， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，则正确； 对于选项，∵ ， ∴在上存在一个零点， ∵当时，， ∴在上没有零点， ∴与只有一个交点， ∴方程只有一个解，则错误； 故选： . 11. 若（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，令求解即可；对BC，令得到两个方程相加相减求解即可；对D，令求解即可. 【详解】对A，令可得，故A错误； 对BC，令可得，， 两式相加得， 即，故B正确； 两式相减得， 即，故C错误； 对D，令可得，故，故D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上. 12. 已知随机变量服从二项分布，且的期望，方差，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望、方差公式得到方程组，解得即可. 【详解】依题意，所以，， 解得，. 故答案为： 13. 已知函数有唯一的零点，则实数的值可以是__________.【写出一个符合要求的值即可】 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【解析】 【分析】由可得，令，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，直线与函数的图象有且只有一个公共点，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由可得，其中且， 令，其中，则， 令可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数的极大值为， 当时，；当时，， 由题意可知，直线与函数的图象有且只有一个公共点，如下图所示： 所以，实数的取值范围是. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可）. 14. 已知随机事件，发生的概率，，若，事件，分别表示不发生，不发生和至少有一个发生，则________，________. 【答案】 ①. 0.8## ②. 0.6## 【解析】 【详解】由题意得，， 所以，， 因为表示至少有一个发生，所以， 同理表示至少有一个不发生，所以， 则， 又，所以， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数．求： （1）共有多少个五位数？ （2）其中偶数排在一起的有多少个？ （3）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？ （4）其中两个偶数不相邻的有多少个？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）首先计算取5个数字的方法，再根据排列数公式，即可计算结果； （2）（3）根据（1），结合捆绑法，即可求解； （4）根据（1），结合插空法，即可求解. 【小问1详解】 依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数． 【小问2详解】 把选出的偶数捆绑在一起，和奇数进行全排列，故其中偶数排在一起的有（个）． 【小问3详解】 把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）． 【小问4详解】 先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）． 16. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求在上的最小值． 【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【小问1详解】 由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 17. 某健身俱乐部举办“燃脂运动，健康体魄”活动，参训的学员700人中超过90%属于超重人员，经过艰苦的训练，近五个月学员体重指标变化如下表： 月份 1 2 3 4 5 超重人数 600 500 420 340 240 （1）已知变量与变量具有线性相关关系，建立以为解释变量，为响应变量的一元经验回归方程； （2）俱乐部王教练每天从骑车和游泳中随机选择一种对学员进行减脂训练.选择方法如下：第一天选择骑车，随后每天用“一次性抛掷4枚质地均匀的硬币”来确定训练方式，若正面朝上的枚数小于3，则该天训练方式与前一天相同，否则选择另一种方式.求前三天骑车训练的天数的分布列和数学期望. 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 参考数据：. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）利用线性回归方程公式计算即可； （2）首先利用二项分布公式得，，再得出的所有可能取值为1,2,3，计算对应概率得到分布列，再利用期望公式即可. 【小问1详解】 由图表可知， ， 由， 则， 所以经验回归方程为. 【小问2详解】 一次性抛郑4枚质地均匀的硬币正面朝上的枚数记为,则， ，， 的所有可能取值为1,2,3， ， ， ， 所求分布列为 1 2 3 . 18. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若方程在上有两个相异实根，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调递增区间是；的单调递减区间是. （3） 【解析】 【分析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程； （2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间； （3）将原式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围. 【小问1详解】 解：因为函数， 所以，. 又因为，则切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 解：函数定义域为， 由（1）可知，. 令解得. 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以，的单调递增区间是； 的单调递减区间是. 【小问3详解】 解：方程在上有两个相异实根,即方程在上有两个相异实根， 即在上有两个相异实根， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以， 要使在上有两个相异实根，须， 所以实数的取值范围为. 19. 某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000名学生中随机选出40名学生统计成绩，其中24名女生平均成绩为70个，标准差为4；16名男生平均成绩为80个，标准差为6. （1）高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布，若用这40名参赛的同学的样本平均数和标准差（四舍五入取整数）分别作为，，估计高一年级颠球成绩不超过60个的人数（四舍五入取整数）； （2）颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为，在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率. 附：若，则，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数、方差公式求出、，再根据正态分布的性质求出，即可估计人数； （2）设事件表示“甲获胜”，事件表示“甲前局获胜”，求出、，再利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意，即， ， 所以， 同理， 所以， 所以 ， 所以，即， 因为，且， 所以， 所以，即估计颠球成绩不超过个的人数为. 【小问2详解】 设事件表示“甲获胜”，事件表示“甲前局获胜”，甲获胜有，，三类， 对应的概率分别为，，， 所以， ， 所以， 所以在甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $