精品解析：福建省同安第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

同安一中2024-2025学年（上） 高三数学期中考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出复数在复平面内对应的点的坐标，根据对称性得到在复平面内对应的点的坐标，即可得到，从而得到其共轭复数. 【详解】复数在复平面内对应的点为，关于虚轴对称的点为， 所以，则. 故选：A 2. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 推不出； 由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3. 已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律即可求解. 【详解】如图，连接，，因为是圆的直径，所以， 又，，则， 又是的中点，则， . 故选：B. 4. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的性质直接求解即可. 【详解】由已知得，当时，则，即，， ∵为偶函数，∴，即， ∴，，∴， 故选：. 6. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转体的定义可知该几何体为圆柱的八分之一，求其表面积即可. 【详解】因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转弧度，所形成的几何体为柱体的一部分， 是底面半径r为2,高h为2的圆柱的八分之一， 所以其表面积， 故选：C 7. 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，设球冠的半径为，根据几何性质可得，从而可得，根据同角三角函数的基本关系与二倍角公式即可得的值. 【详解】 设优弧所在圆的圆心为，半径为，连接，如图所示． 易知“水滴”的“竖直高度”为，“水平宽度”为，由题意知，解得， 因为与圆弧相切于点，所以， 在中，， 又，所以， 由对称性知，，则， 所以， 故选：D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分析可知为偶函数，结合偶函数可得，进而可知6为的周期，赋值可知，结合周期性运算求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为R， 因为，则， 可得，所以为偶函数， 由可得， 即，整理得， 可得， 则，可得， 所以6为的周期， 由， 令，可得，可得； 令，可得，可得； 所以． 故选：A． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三个内角的对应边分别为，且，则（     ） A. 若，则 B. 若，则在上投影向量的模长为1 C. 若，，则角有两解 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,画出图形根据三点共线的向量表达式判断； 对于B，用投影向量的模长公式计算判断； 对于C，画出图形，求出高线，比较大小来判断解的个数； 对于D，用数量积和余弦定理综合考虑即可判断. 【详解】对于A,如图所示， ，根据三点共线的向量表达式得到.故A正确. 对于B，在上投影向量的模长为．故B错误. 对于C，如图所示，求得，则有两组解,故C正确. 对于D，，则为钝角，则，即， 即，故，故D正确． 故选：ACD. 10. 函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上有个极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象以及是等腰直角三角形，求出，计算可知A正确；当时，，可知B错误；计算可知C正确：由解得或，可知D错误. 【详解】由题意可得，则, 该函数的最小正周期，则. 又点在的图像上，所以，， 则，所以，所以，A正确； 当时，，单调递减，B错误； ，所以的图像关于点对称，C正确： 令，则，，即，. 又，则或，即在区间上有个极值点，D错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了由图象求解析式，考查了三角函数的单调性、对称性，考查了函数极值，属于中档题. 11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用判断A，根据向量的夹角公式判断异面直线所成角判断B，利用向量法求点到平面距离判断C，利用向量法确定截面为四边形对角线垂直，求面积判断D. 【详解】如图，以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，所以，故A正确； ，则与所成角的余弦值为，故B错误； ，设平面的法向量为， 则令，可得， 则点到平面的距离为，故C正确； 设过点的平面与线段的交点为， 则， 因为共面，则共面， 故存在唯一实数对使得， 即， 所以 解得， 所以，则，因为， 所以， 所以过点的平面截四棱锥的截面面积为 ，故D错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：利用坐标的方法，确定D选项中的截面与线段的交点为的坐标，再由此确定确定垂直，是解决四边形面积的关键所在. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积模的坐标表示及投影向量的定义求解即可. 【详解】由， 则， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 13. 记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为______． 【答案】218 【解析】 【分析】根据题意，列式求出的通项公式，判断当时，，当时，，列式求出数列的前20项和为. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， ，可得当时，，当时，， 设数列的前20项和为， 则 . 故答案为：218. 14. 若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，根据，可转化为，利用求出，再检验即可得解. 【详解】令，则定义域为，且， 由题意，，， ， 又在上可导， 所以为函数的极值点， ，，即， 当时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，成立. 综上，时的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，由等差数列的前n项和公式求得公差，即得通项公式；由作差法得数列为等比数列，由等比数列的通项公式求解. （2）由（1）求出，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到所求和． 【小问1详解】 由，得，即，解得，则， 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式为； 由，得当时，，两式相减得，即， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）及，得， 令数列的前n项和为， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围. 【小问1详解】 ，则，又， 所以的切线方程为； 【小问2详解】 ， 故是函数的一个零点， 由题意可知，方程有两个不同的非零实数根， 显然不合题意， 令，则， 设，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 又时，，时，， 故，即. 17. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1）证明：正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）不存在，理由：由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， ∴， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明平面，由此证明，再证明，结合线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，满足条件，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 的内角所对的边分别为.已知. （1）若，求； （2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出即可； （2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式结合导数求出范围. 【小问1详解】 由正弦定理可知， 所以， 所以， 由余弦定理， 因为的内角，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理， ， 又平分，所以， 因为四边形的内角和为，且，易知， 所以 ，① 设，则①， 令，则 ， 因为在中，所以，所以， 所以时恒成立， 且，时，，时， 则，所以. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）在中，求证：； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）2 （2）证明：设， 则 ， 当且仅当且时等号成立， 在中，. （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）先求得点的轨迹方程，画出图象，从而求得点的轨迹所围成的图形面积. （2）根据绝对值三角不等式以及曼哈顿距离的定义证得不等式成立. （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 设，则， 当时，则；当时，则； 当时，则；当时，则. 如图，点的轨迹是一个边长为的正方形， 点的轨迹所围成的图形面积为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点到直线的距离为. 设，则， 当时，，又此时，满足题意； 当时，， 又且恒成立，当且仅当时等号成立. 综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是和 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2024-2025学年（上） 高三数学期中考试 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是以为直径的圆上一点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一张边长为2的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段和优弧所围成的平面图形，其中点所在直线与水平面平行，和与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三个内角的对应边分别为，且，则（     ） A. 若，则 B. 若，则在上投影向量的模长为1 C. 若，，则角有两解 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示，点是图象上的最高点，点是图象与轴的交点，点在轴上.若是等腰直角三角形，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上有个极值点 11. 如图，四棱锥中，底面，底面为正方形，且，分别为的中点，则（ ） A. B. 与所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离为 D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则在上的投影向量坐标为___________. 13. 记为等差数列的前项和，已知.则数列的前20项和为______． 14. 若，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和等差数列的前n项和分别为，，且，，. （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 17. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 18. 的内角所对的边分别为.已知. （1）若，求； （2）点是外一点，平分，且，求的面积的取值范围. 19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离. （1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积； （2）在中，求证：； （3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $