精品解析：湖南省岳阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷

八年级数学12月督学卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 互为相反数的两数的立方根也互为相反数 C. 平方根是它本身的数有0和1 D. 的立方根是 【答案】B 【解析】 【详解】A选项：的算术平方根是，故是错误的； B选项：互为相反数的两个数的立方根也为相反数，故选项正确； C选项：平方根是它本身的数只有0，故是错误的； D选项：的立方根是，故是错误的； 故选B. 2. 下列各数中，3.14159，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：，， ∴（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），都是无限不循环小数，即都是无理数， 故选：B． 3. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 等边对等角 B. 两直线平行，同位角相等 C. 对顶角相等 D. 三个角都是的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键． 分别写出逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，点E是的中点，．某同学通过添加辅助线：延长到点F，使，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．证明，再逐项进行判断即可． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴，故②正确， ∴， ∴；故①正确； ∵． ∴．故③正确； 无法证明，故④不正确， 故选：A 5. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明成立的全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】由作法得，，而为公共边，所以（）． 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 6. 如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC． 【详解】由作法得MN垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8． 故选A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 7. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论． 【详解】如图，连接AD． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）． ∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 8. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　） A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可． 【详解】作MN⊥AD于N， ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°， ∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN=MC， ∵M是BC的中点， ∴MC=MB， ∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB=∠DAB=35°， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键. 10. 如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线定理的逆定理可证平分，通过等量代换得出，即可证明，推出②正确；利用证明，可得，推出①正确；仅一组对边相等，一组对角相等不足以证明，推出③错误． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵和中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴现有条件不能够证明，故③错误； 综上，正确的是①②． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线定理的逆定理，平行线的判定等知识点，难度不大，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可． 【详解】解：设点A表示的数是a， ∵正方形的边长为1， ， 即， ∴， 故点A表示 故答案为： 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形． 【详解】如图：可以画出7个等腰三角形； 故答案为7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 13. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论即可得． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴与130°相邻的内角为50°， 当为顶角时，其他两角都为、， 当为底角时，其他两角为、， 所以等腰三角形的顶角为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题． 14. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案 【详解】 解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD=x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠PBC，PF=PN， ∴PF=PM， ∵∠BPC=40°， ∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°， ∴∠CAF=100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， PA=PA，PF=PM， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP=∠PAC=50°． 故答案为：50°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键． 15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=，AE=，则用含、的代数式表示△ABC的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：，由于DE是线段AC的垂直平分线，，所以易证，从可知△ABC的周长为：． 【详解】解：∵， ∴， ∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC的周长为： 故答案为:． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质得出AE＝CE＝BC． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，乘法公式，单项式乘以多项式和多项式除以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案； （2）先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去中括号内的小括号，然后合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可； （2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18. 如图，点在的边上，且． （1）作的平分线，交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） ， 证明：平分， ， 又， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的步骤解答即可； （2）由角平分线的定义得，由外角的定义得，结合得，所以得出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的定义，外角的定义，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 19. 如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）依据角平分线的定义以及等边对等角，即可得到，即可判定； （2）过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据，即可得出的到长，进而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ． 20. 阅读与思考 下面是小英同学数学笔记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 直角等腰线 【概念】在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条线段把直角三角形分为一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条线段为这个直角三角形的直角等腰线，如图1，在中，将分成两个三角形，若一个是直角三角形（），另一个是等腰三角形（），则为的直角等腰线． 【问题1】如图1，在中，，若为的直角等腰线，则的度数为 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，，若是的直角等腰线，求的角平分线的长． 解：∵为的直角等腰线，∴． ∵是的角平分线， ∴（依据）． ∵， ∴． …… 任务： （1）问题1中的“▲”处应填写______，问题2中的“依据”是______． （2）将问题2中的解答过程补充完整． （3）在中，，D是上的一点，连接，且，试说明是的直角等腰线． 【答案】（1）；等腰三角形“三线合一” （2） 解：∵为的直角等腰线， ∴． ∵是的角平分线， ∴（依据）． ∵， ∴． ∵， ， ， ， ∴平分， ∵于点D，于点E， ∴． （3） 证明：， ， ， ∴， ∴， ， 是等腰三角形． ∵ 是直角三角形， ∴为的直角等腰线． 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据直角三角形及等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据（2）中过程，利用角平分线的性质定理即可求解； （3）根据题意得出，，再由等腰三角形的定义及直角等腰线的定义即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，为的直角等腰线， ∴，， ∴， 问题2中的“依据”是等腰三角形“三线合一”， 故答案为：；等腰三角形“三线合一”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点D在上，且，则的度数为________°；通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点B引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； 【答案】（1） （2） 如图所示： 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握垂直平分线的作图是关键． （1）由题意得，根据，得，即可求解； （2）根据题意作相应边的垂直平分线即可； 【小问1详解】 解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图1，在等边三角形中，D、E分别在边上，，交于点F， （1）求的度数： （2）如图2，若D、E分别在边的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并证明． 【答案】（1） （2） （1）中的结论成立，证明如下： 在等边三角形中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明，则，利用三角形外角的性质即可得到答案； （2）证明，得到，又由，再根据三角形外角的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解：在等边三角形中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 23. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设 ， 由（1）知，在和中， ， 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学12月督学卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是2 B. 互为相反数的两数的立方根也互为相反数 C. 平方根是它本身的数有0和1 D. 的立方根是 2. 下列各数中，3.14159，，（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），，，，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 等边对等角 B. 两直线平行，同位角相等 C. 对顶角相等 D. 三个角都是的三角形是等边三角形 4. 如图，点E是的中点，．某同学通过添加辅助线：延长到点F，使，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 5. 如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明成立的全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 13 7. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( ) A. 5 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 8. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　） A. 30° B. 35° C. 45° D. 60° 10. 如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是______． 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为_____． 13. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为______． 14. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________． 15. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=，AE=，则用含、的代数式表示△ABC的周长为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，点在的边上，且． （1）作的平分线，交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论． 19. 如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 阅读与思考 下面是小英同学数学笔记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 直角等腰线 【概念】在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条线段把直角三角形分为一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条线段为这个直角三角形的直角等腰线，如图1，在中，将分成两个三角形，若一个是直角三角形（），另一个是等腰三角形（），则为的直角等腰线． 【问题1】如图1，在中，，若为的直角等腰线，则的度数为 ▲ ． 【问题2】如图2，在中，，若是的直角等腰线，求的角平分线的长． 解：∵为的直角等腰线，∴． ∵是的角平分线， ∴（依据）． ∵， ∴． …… 任务： （1）问题1中的“▲”处应填写______，问题2中的“依据”是______． （2）将问题2中的解答过程补充完整． （3）在中，，D是上的一点，连接，且，试说明是的直角等腰线． 21. 小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点D在上，且，则的度数为________°；通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点B引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； 22. 如图1，在等边三角形中，D、E分别在边上，，交于点F， （1）求的度数： （2）如图2，若D、E分别在边的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并证明． 23. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $