精品解析：广东省东莞市虎门汇英学校2025-2026学年九年级上学期11月期中练习数学试题

2025～2026学年第一学期期中练习题 九年级数学卷 （满分120分，时长120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 一元二次方程的二次项的系数为，则一次项的系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的各项系数，即可判断． 【详解】解：一元二次方程的一次项的系数为5，常数项为-2． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的各项系数，熟练掌握一元二次方程的一般式的二次项的系数为，则一次项的系数为 和常数项为 是解题的关键． 3. 下列各数中，哪个是方程的解（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 5. 关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有三个交点 B. 有两个交点 C. 有一个交点 D. 没有交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与轴交点个数，熟记二次函数图象与轴交点坐标的求法是解决问题的关键． 由二次函数图象与轴交点坐标的求法，令，则，求解方程即可得到二次函数的图象与轴交点为和，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得， 即二次函数的图象与轴交点为和， 二次函数的图象与轴交点个数的情况是有两个交点， 故选：B． 6. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， 故选：B． 7. 已知二次函数，可知一定正确的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 其最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： 二次函数中， ，图象开口向上， 故A错误； 令得，即其图象的对称轴为直线，故B错误； 由，对称轴为直线，得抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，故C错误； 当时，y取最小值为1，故D本选项正确． 故答案为：D． 8. 把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图象的平移规律解答即可． 【详解】解：由二次函数的平移规律可得：把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为：． 故选D． 9. 如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 10. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的相关结论是解题的关键； 对于配方后的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，，据此即可求解． 【详解】解：若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 故答案为：0． 12. 二次函数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知对于二次函数，当时，函数有最大值h，当时，函数有最小值h是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，二次函数的开口向下，顶点为， ∴函数有最大值， 故答案为：． 13. 点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 函数的图象与y轴交点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 令，则有，即可求解图象与y轴交点的坐标． 【详解】解：令，则有， 所以，该函数图象与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 15. 如图，已知，与关于点C成中心对称，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴， ∵， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程是解题的关键． 直接运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，，， ， 所以， 所以，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出将向右平移5个单位长度得到的； （2）请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可得，点的坐标为． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）二次函数图象与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； 【小问2详解】 解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 【答案】（1）平均每次降价每件盈利减少的百分率为 （2）若商场每天要盈利元，每件应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，进行列式计算，即可作答． （2）结合每件盈利元，平均每天可售出件，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设平均每次降价每件盈利减少的百分率为， 根据题意，得， 解得（舍去）或， 答：平均每次降价每件盈利减少的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价元， 根据题意，得， 解得，， 尽快减少库存，且一件女款上衣每降价元，每天可多售出件 答：若商场每天要盈利元，每件应降价元． 20. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】（1）y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） （2）能飞越 把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）8.1米 【解析】 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 如图，在⊿OAB中，∠OAB=90°.OA=AB=6.将⊿OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到⊿OA1B1 （1）线段A1B1的长是 ∠AOA1的度数是 （2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形 ; （3）求四边形OAA1B1的面积 . 【答案】（1）6，90； （2）∵A1B1=AB=6，OA1=OA=6，∠OA1B1=∠OAB=90°，∠AOA1=90°， ∴∠OA1B1=∠AOA1，A1B1=OA， ∴B1A1∥OA， ∴四边形OAA1B1是平行四边形； （3）36 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质即可直接求解； （2）根据旋转的性质以及平行线的判定定理证明B1A1∥OA且A1B1=OA即可证明四边形OAA1B1是平行四边形； （3）利用平行四边形的面积公式求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知：A1B1=AB=6，∠AOA1=90°． 故答案是：6，90°； （2）略 （3）S=OA•A1O=6×6=36． 即四边形OAA1B1的面积是36． 【点睛】本题考查旋转的性质以及平行四边形的判定和面积公式，证明B1A1∥OA是关键． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的判定和性质求点的坐标，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴，交直线于点，根据三角形的面积列出二次函数，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况进行讨论，然后根据平行四边形的判定定理和性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由于当四边形面积等于和面积之和，而的面积为定值， 故面积最大时，四边形面积最大， 如图1，过点作轴，交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，最大值为18， ∴将代入得，， ∴； 【小问3详解】 解：在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴对称轴是直线， ∴根据对称性，由得， ∵点是抛物线对称轴上的动点， ∴的横坐标为， ①如图2，以为边时，当时，四边形是平行四边形，由（2）可得点的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴点的坐标是， 又∵点的坐标是，点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ②如图3，以为边时，四边形是平行四边形， 由（2）可得，点的横坐标为3， ∵点的坐标是，且点的横坐标为， 根据到的平移规律可知，点的横坐标为，代入得， ， ∴； ③如图4，以为对角线时， 根据到的平移规律可知，到的平移规律， ∴点的横坐标为，代入得，， ∴； 综上，点的坐标为或或． 23. 如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度； （2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当三点在同一条直线上时，请画出图形并直接写出的长度． 【答案】（1） 补充图形如图， （2）仍然成立， 理由如下： 延长，交于，交于， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ； （3） 如图， 或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，进而求得结果； （2）延长，交于，交于，证明≌，从而可求得结论； （3）当点在线段上时，作于，可得，进而根据勾股定理求得，从而求得，当点在线段上时，同样得出结果． 【小问1详解】 在中，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当点在线段上时，作于， ， 在中， ， ， 当点图中在线段图中上时， ， 综上所述：或 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出两种情形的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期期中练习题 九年级数学卷 （满分120分，时长120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项的系数为，则一次项的系数和常数项分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各数中，哪个是方程的解（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 4. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图象与轴交点个数的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有三个交点 B. 有两个交点 C. 有一个交点 D. 没有交点 6. 设方程的两个根为，那么的值等于（ ） A. 5 B. C. 1 D. 7. 已知二次函数，可知一定正确的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 其最小值为1 8. 把的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 12. 二次函数的最大值是______． 13. 点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是___． 14. 函数的图象与y轴交点的坐标为___________． 15. 如图，已知，与关于点C成中心对称，则的长是___________． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出将向右平移5个单位长度得到的； （2）请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求二次函数图象与轴的交点坐标． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 某市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利元，平均每天可售出件． （1）求平均每次降价每件盈利减少的百分率； （2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价元，每天可多售出件，若商场每天要盈利元，每件应降价多少元？ 20. 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 21. 如图，在⊿OAB中，∠OAB=90°.OA=AB=6.将⊿OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到⊿OA1B1 （1）线段A1B1的长是 ∠AOA1的度数是 （2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形 ; （3）求四边形OAA1B1的面积 . 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，已知直线交轴正半轴于点，与轴正半轴交于点，抛物线经过、两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请求出点的坐标； （3）在（2）的结论下，过点作轴的平行线交直线于点，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 23. 如图，在中，，点分别在边上，且，此时成立． （1）将绕点逆时针旋转时，在图中补充图形，并求出的长度； （2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图证明，若不成立请说明理由； （3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当三点在同一条直线上时，请画出图形并直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $