精品解析：浙江省杭州中学2024-2025学年 上学期九年级第三次综合练习数学试卷

杭州中学2024学年第一学期初三第三次综合练习 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据“”得出“”，再把要求的式子化成，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2. 从某校200名八年级学生中随机抽取2名学生参加省测，则这200名学生中，每位学生被抽中的概率均为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可． 【详解】根据题意，得每位学生被抽中的概率均为， 故选B． 【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先根据抛物线的顶点坐标根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解题的关键是熟练掌握二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的抛物线为，即， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为：． 故选：D． 4. 已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（ ） A. 1 B. 5 C. 3 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解． 【详解】解：已知半径为5的圆， ∴该圆的中最长的弦即为直径，值为， ∴弦最长不能超过， ∴D选项不符合题意， 故选：D ． 5. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：由题意：∵， ∴， 即， ∴， 故选：B 6. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把，，代入二次函数中，比较，，即可． 【详解】∵点，，经过 ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握点在函数图象上的点． 7. 按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算；由勾股定理求得的长，由题意可得的长，从而得的长，再计算即可． 【详解】解：∵，设， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，A、B、C、D四个点在上，，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 连接，首先根据平行线的性质得到，然后利用等腰三角形和三角形内角和定理求出的度数，再求出，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选A． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键． 10. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解； ②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解； ③中先证明GECM，得到即可求解； ④中由得到，再由即可求解． 【详解】解：①∵， ∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF， ∴∠GFB=∠EDC， ∵ABCD为正方形，E是BC的中点， ∴BC=CD， ∴，①正确； ②由①知， 又，已知， ∴()， ∴， ∴， ∵，，， ∴()， ∴，故②正确； ③∵，， ∴BE=ME， 且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 由三角形外角定理可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④由上述可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（共6小题） 11. 已知线段，，则a，b的比例中项线段长是______. 【答案】4 【解析】 【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设线段a，b的比例中项为c， ∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项， ∴， 即， ∴（负数舍去）， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项． 12. “头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.959 0.960 则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为 ______．（结果精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数时，合格头盔的频率稳定在附近， 所以该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为． 故答案为：． 13. 将二次函数化为的形式，则　　　　． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，配方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用配方法，将转化成，即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的度数为__________°． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵正五边形的外接圆为， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟悉掌握相关的知识点是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得，再由结合勾股定理可求出AC和BC的长，再根据线段垂直平分线的性质得即可求出的周长． 【详解】解：∵AB是直径； ∴； ∵； ∴设； 则； 在中，，由勾股定理得； ； 即； 解得：； ∴； 由题意得PQ是线段AB线段垂直平分线； ∴； ∴的周长； 故答案为：17． 16. 如图，抛物线与y轴交于点C，顶点为A，连接并延长交抛物线的另一个交点为点B，抛物线的对称轴交x轴于点E，交于点D，且，当时，则c的值是 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】设、，因为抛物线的顶点为A，连接并延长交抛物线的另一个交点为点B，只有点在线段上这个情况，由，利用相似三角形的性质可得出、间的关系，将、点坐标代入抛物线与抛物线对称轴联立方程组，解方程组即可求得的值．本题属于二次函数综合题型，主要考查了三角形的相似以及二次函数的性质，解题的关键是根据找到、点坐标的关系． 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴ ∴设、点坐标分别为、， ， ，， ， 如图1所示． ， 点为线段的中点， ，， 点横坐标为． 由题意知、点均在抛物线的对称轴上， ，． 点坐标为， ，在抛物线上，且抛物线对称轴为， 把，，对称轴为分别代入 得出 ， 解得：，或， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 17. 已知二次函数，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧）． （1）求A，C的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值和最小值． 【答案】（1）点的坐标，点的坐标 （2）最大值为8，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数的最值问题： （1）求出当时，x值即可得到答案； （2）求出对称轴和顶点坐标以及开口方向，进而可得最小值，再由离对称轴越远函数值越大即可求出最大值． 【小问1详解】 解：令时，则，解得，， 点的坐标，点的坐标； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴在范围内，当时，有最小值， ∵， ∴当时，此时有最大值，最大值为． 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形． （1）将图1中的绕点A逆时针旋转，画出旋转后的； （2）如图2，在上找一点D，使的面积与的面积之比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了图形的旋转作图、等高三角形的面积关系，熟练掌握图形的旋转作图是解题的关键． （1）分别作出点B和点C绕点A逆时针旋转得到对应点和，顺次连接A、、即可得到旋转后的； （2）在上找到靠近点C的三等分点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：在上找到靠近点C的三等分点，连接，如图所示： 和是等高不等底的两个三角形，且， 的面积与的面积之比为，点D即为所求的点． 19. 一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为_____． （2）我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握概率的计算方法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算方法即可求解； （2）用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：4部名著A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》中，随机选择1部， ∴选中《红楼梦》的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， ∴共有12种等可能结果，其中B．《红楼梦》被选中的有6种， ∴《红楼梦》被选中的概率为． 20. 如图，是的直径，是弦，于点E，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用； （1）先证明，结合，从而可得答案； （2）先求解，，再结合垂径定理与勾股定理可得答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵AB⊥CD， ∴，， ∴． 21. “春节”吃饺子是中国传统习俗，在“春节”来临前，某超市购进一种品牌速冻水饺，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． （1）当时，______． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，日销售利润W取得最大值，最大利润8750元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据每盒售价每提高1元，日销售量就减少10盒，列出算式进行求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∵日销售量不低于350盒， ∴， ∴， ∵规定每盒售价不得少于50元， ∴， 而， 整理，得：， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为8750； 答：当时，日销售利润W取得最大值，最大利润为8750元． 22. 如图，在中，，，点在上，，连接交于点，点是上一点，且，连接． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）证明，可得，即可求出，再根据求出，最后根据线段的和差关系求出即可； 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 在2024年巴黎奥运会网球女子单打比赛中，我国选手郑钦文战胜克罗地亚选手维基奇获得冠军．郑钦文在一次击球过程中，将球从O点正上方的A处击打出去，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球场的边界距O点的水平距离为． （1）当时，求与的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），求h的取值范围． 【答案】（1） （2）球能越过球网，球不会出界，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）将和点代入计算求出的值，由此即可得； （2）求出当时，的值与比较大小、当时，的值与0比较大小即可得； （3）先将点代入函数关系式可得，从而可得，再根据球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界）可得当时，和当时，，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【小问1详解】 解：当时，， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴与的关系式是． 【小问2详解】 解：球能越过球网，球不会出界，理由如下： 由（1）可知，当时，， ∵当时，， ∴球能越过球网； ∵当时，， ∴球不会出界． 【小问3详解】 解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴函数的表达式可写成， ∵球一定能越过球网（不接触球网）， ∴当时，，即①， ∵球不出边界（可压边界）， ∴当时，，即②， 联立①②得：， 解得， 答：的取值范围是． 24. 如图，在中，是的直径，弦于，点为弦延长线上一点，过点作的切线交延长线于点K，切点为，连接交于点． （1）求证：； （2）若，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质以及，可以推出，根据等角对等边得到； （2），理由为：连接，根据和，可以推出，又利用同弧所对的圆周角相等得到，可以推知，从而得到； （3）连接，根据勾股定理和垂径定理可以求解圆的半径，再根据三角函数求出KG． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为切线， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由为： 如图，连接， ，即， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接 ， ， ，则，， 设半径为， 在中，，，， 由勾股定理可得：，解得， ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了切线性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线判定，以及等腰三角形判定，熟练掌握定理以及性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州中学2024学年第一学期初三第三次综合练习 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 已知，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 从某校200名八年级学生中随机抽取2名学生参加省测，则这200名学生中，每位学生被抽中的概率均为（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的抛物线顶点坐标为：（ ） A. B. C. D. 4. 已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（ ） A. 1 B. 5 C. 3 D. 11 5. 如图，已知，，，，则的长是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若二次函数的图象经过点，，，则y1，y2，y3的大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A、B、C、D四个点在上，，，的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共6小题） 11. 已知线段，，则a，b的比例中项线段长是______. 12. “头盔是生命之盔”．质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n（个） 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m（个） 95 194 289 479 769 959 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0959 0.960 则该工厂每生产一个头盔，合格概率约为 ______．（结果精确到0.01） 13. 将二次函数化为的形式，则　　　　． 14. 如图，正五边形内接于，P为劣弧上动点，则的度数为__________°． 15. 如图，已知线段．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，的周长是______． 16. 如图，抛物线与y轴交于点C，顶点为A，连接并延长交抛物线的另一个交点为点B，抛物线的对称轴交x轴于点E，交于点D，且，当时，则c的值是 ____________________． 三、解答题（共8小题） 17. 已知二次函数，其图象与y轴交于点B，与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧）． （1）求A，C的坐标． （2）当时，求二次函数的最大值和最小值． 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形． （1）将图1中的绕点A逆时针旋转，画出旋转后的； （2）如图2，在上找一点D，使的面积与的面积之比为． 19. 一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，不负韶华梦，读书正当时！我校对A．《三国演义》、B．《红楼梦》、C．《西游记》、D．《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． （1）小胡从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《红楼梦》的概率为_____． （2）我校计划从这4部名著中，选择2部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 20. 如图，是的直径，是弦，于点E，连接，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. “春节”吃饺子是中国传统习俗，在“春节”来临前，某超市购进一种品牌速冻水饺，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． （1）当时，______． （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ 22. 如图，在中，，，点在上，，连接交于点，点是上一点，且，连接． （1）证明：； （2）若，求长． 23. 在2024年巴黎奥运会网球女子单打比赛中，我国选手郑钦文战胜克罗地亚选手维基奇获得冠军．郑钦文在一次击球过程中，将球从O点正上方的A处击打出去，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球场的边界距O点的水平距离为． （1）当时，求与的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），求h的取值范围． 24. 如图，在中，是的直径，弦于，点为弦延长线上一点，过点作的切线交延长线于点K，切点为，连接交于点． （1）求证：； （2）若，试判断与的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $