精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一下学期数学周测（10）

2024级高一第二学期数学周测（10） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知，则的虚部为（    ） A. B. i C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】将通过分子分母都乘以分母的共轭复数，整理成的形式，求出，继而得到的虚部. 【详解】由题意可得，故，其虚部为． 故选:C． 2. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ）． A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 【答案】D 【解析】 【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明. 【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交， 如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误； B选项，如图2，，，则， 故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误； C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为， 则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误； 选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下： 因为，，，所以， 因为⊥，，所以⊥，故，证毕. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式得的值，再利用诱导公式求的值. 【详解】根据题意，， . 故选：D 4. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等体积法，由求解即可. 【详解】由直三棱柱的体积为6，可得， 设到平面的距离为，由， ，，解得， 即到平面的距离为. 故选：B. 5. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 6. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式. 【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线， 点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点， 则点为三棱锥外接球的球心， 因为平面，且为等边三角形，， 所以四边形为矩形，，， 所以，即三棱锥外接球的半径， 则该三棱锥外接球的表面积为. 故选：B 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知函数，则（    ） A. 是偶函数 B. 的对称轴是 C. 在区间上单调递减 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以为偶函数，故A正确； B：，所以为的对称轴，故B正确； C：由，得，所以在上单调递减，故C正确； D：由，得，即的最小值为，故D错误. 故选：ABC 8. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点，使得直线与共面 C. 的最小值为 D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；利用反证法可判断B选项；将沿直线翻折，使其与平面共面，连接，再在中，利用余弦定理求解判断C选项；过作于点，连接，则，从而平面，再由平面，得到平面平面，从而平面求解，可判断D选项. 【详解】对于A选项，在正方体中，，，如图1， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，A对； 对于B选项，假设存在点，使得直线与共面， 由A选项知，点、直线可确定平面， 若直线与共面，则平面，矛盾，假设不成立， 因此，不存在点，使得直线与共面，B错； 对于C选项，将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2，则， 在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错； 对于D选项，如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 10. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 11. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 在平行四边形中，已知，，，，． （1）若，求，的值及； （2）求和夹角的余弦值． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算用表示，由此求得，再结合向量数量积的运算求得； （2）利用向量夹角计算公式，结合数量积的运算求解. 【小问1详解】 如图，，所以，． . 【小问2详解】 ， 又 ， 所以， 故和夹角的余弦值为． 13. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当MA为何值时，二面角的余弦值为． 【答案】（1）证明:菱形中，，平面，平面， 则平面， 而平面平面，平面， 所以. （2）证明:在平面内过点作于，平面平面，平面平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，平面， 则，而平面， 因此平面，又， 所以平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）在平面内过点作于，利用线面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得. （3）过作于，连接，确定二面角的平面角，借助余弦定理求解即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）知平面，平面，则，菱形为正方形， 由平面，平面，得， 过作于，连接， ，而， 则≌，有，于是≌，则， 即，是二面角的平面角， 令，， ，而，在中，由余弦定理得： ，解得， 所以当的值为时，二面角的余弦值为． 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一第二学期数学周测（10） 时间：50分钟 满分：87分 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 1. 已知，则的虚部为（    ） A. B. i C. D. i 2. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ）． A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7. 已知函数，则（    ） A. 是偶函数 B. 的对称轴是 C. 在区间上单调递减 D. 的最小值是 8. 如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 存在点，使得直线与共面 C. 的最小值为 D. 若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 10. 在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 11. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为______． 四、解答题：本题共2小题，每小题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 12. 在平行四边形中，已知，，，，． （1）若，求，的值及； （2）求和夹角的余弦值． 13. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当MA为何值时，二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $