均值不等式 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义围绕均值不等式高考核心考点，整合二元基本不等式、分式不等式、柯西不等式、权方和不等式及“1”的代换等内容，按“基础公式-方法技巧-n元拓展”逻辑架构知识，通过考点梳理、题型归类（如和积转换、分式最值）、变式练习及过关检测，系统构建复习体系，针对性突破难点。 资料以“数学思维”“数学语言”培养为导向，创新设计“公式推导-题型建模-速解策略”教学链，如“1”的代换中配凑训练提升代数变形能力，权方和不等式速解技巧强化解题效率。分层设置基础巩固、能力提升练习，结合真题变式，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生应考能力。

第1节均值不等式 要点提炼： °1.二元基本不等式 2.分式不等式 3.柯西不等式 4.权方和不等式 3. 一、知识点梳理 1.二元基本不等式 (1)a+b≥2√ab(a,b>0):多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 a+b 2)4 2 ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 (3)a2+b2≥2ab 本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等 a,b∈R 式的适用范围 (4)利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2.分式函数求最值 (1)f(x)=ax+b 型 对于形如f川-十的函数，怎可以安换底了(=a+兰转化为反比例面数近行家解。 b (2)f(x)=x+b 型 cx+d 1 对于形如f(x)=r+b cx+d （分子分母均为一次的分式)的函数，通过换元1=Cx十d，可转化为 f(1=P牛9的形式，进而上述(1)中进行求解. t (3)thc x 型 形如y=ar+r+c 的函数可通过分离常数转化为心十十D的形式，进而作意严三± 「x的图像 (即双勾函数或飘带函数)来研究，再求出值域 ax2+bx+c (4)y= dk+e型. 形如y=四+br+c dx+e可通过换元t=dx+e将问题转化为(3)，然后进行求解. 共同点：让分式的分子变为常数 3.“1”的代换 已知ax+by=1(a,b均为正数)，求xy(m,n,x,y均为正数)的最值，或者ax+by=tab,求 m:n xy的最值(m,n,x,y均为正数). 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求 较高，需要重点突破. 4.n元均值不等式 a2+a2+…a2 设01,02，，0n均大于零，则记，= ,4,=4+0,*+a n 2 n H=11 1 十一十十 Gn=a,a2…an’ 41a2 ，则g,≥A≥G,≥H,中等号成立的条件是 a=a,=…=aL,A,G,H,分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 5.柯西不等式 若ab∈Ri=1,2,…,川），则 2a2)≥(2ab ，当且仅当4=，(i=1,2,,m)时等号成立. 6.权方和不等式 X+y≥x+y (速解“1”的妙用) a b a+b 3 二、题型归类 1.基础和积转换 例1.若实数七，y满足：x,y>0,3y-x-y-1=0,则y的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 【变式练习】 1.若a>0,b>0,且ab=3a+3b+27,则ab的最小值为( A.9 B.16 C.49 D.81 2 2.若正实数Xy满足2x+8y-y=0:则x+)的最大值为（ 2 1 1 A. B.6 c. D. 2.分式不等式 f0)=-3x+3 x>2) 例2.求函 x-2 的值域. 【变式练习】 1.设-1”求函数y=任+5x+2) 的最小值为 x+1 x2+3 2.已知x>1?则x的最小值为() A.6 B.8C.10 D.12 3.“1”代换 例3.已知x>0,y>0,且2x+y=y,则x+2y的最小值为( A.8 B.&2 C.9 D.9V 【变式练习】 1.已知正实数a,b满足a+b= 4 9 =3,则a+2b2a+6的最小值为( A.6B.5C.12 D.10 5 1+y,1 2.正实数x'y满足x+y=1,则x+的最小值是( 1 A.3+2N2B.2+22C.5D.2 4.先换元再均值 11」 =1 例4.已知正实数x,y满足x+3y2x+y,则x+y的最小值是 【变式练习】 >.上+名-7，则a功的最小值 1.已知a>2b>3,a+方 ,3,1 1+1 2.己知x>0,y>0且2x++y+1,则x+y的最小值为 5.权方和不等式 例5.已知正实数4.b满足a+h=, 49 =3,则a+2b+2a+6的最小值为（ ) 6 A.6 B.5 C.12 D.10 【变式练习】 18 1.已知正数X,y满足x+y=1,则ry的最小值为一 +y 2.设X,y∈R,且X+y=1,则X+2y+1的最小值为 6.柯西不等式 例6.已知52∈R 且x+y+z= 则+2+ 的最小值是() A.1 B.3 c. D.2 【变式练习】 1.函数f(=34-3x+V3r-2 的最大值为() A.25 B.25 C.12 D.20 个 2由柯西不等式，当+2+：=4时，在+下+v的及大值为《） A.10 B.4 C.2 D.ò 【过关检测】 y=x2(3-2x)0<x< 1.求函数 2的最大值 2者g>-3”则+60+B。 a+3二的最小值为( A.2B.4 C.5 D.6 5a+b 3.已知正实数a,b满足2a+b=1.则g+b的最小值为( ) A.3B.9C.4D.8 8 4.若x>0'y>0:x+3y=1,则3x+y的最大值为（) 1 B.位 1 1 A.9 c.6D.20 5.已知实数'满足 之-+引，则+y的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.若实数，'满足 +y+0w=1,则中3 侧x+)的最大值是 23 A.6 B. 3 C.4 D. x2+y2 7.已知x>y>0,则y-y的最小值是( ) 9 A.2+5 B.5+2 C.22+2 D.2 8.已知a,b>0a+b=5 则a+1+b+3 的最大值为() A.18 B.9 C.32 D.25 9.若实数x+2y+32=1 则+2*2 的最小值为() 1 B.4 A.14 C.29 D.29 x2 y222 10.已知正数x,y,z满足x+y+z=1,则y+2z”z+2xx+2y的最小值为 10 第1节 均值不等式要点提炼： 1. 二元基本不等式 2. 分式不等式 3. 柯西不等式 4. 权方和不等式 3. 1、 知识点梳理 1. 二元基本不等式 （1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3），本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围 （4）利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 2. 分式函数求最值 （1） 型. 对于形如的函数，总可以变换成转化为反比例函数进行求解. （2） 型. 对于形如（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元 ，可转化为的形式，进而上述（1）中进行求解. （3） 型. 形如的函数可通过分离常数转化为的形式，进而可依靠的图像（即双勾函数或飘带函数）来研究，再求出值域. （4） 型. 形如可通过换元将问题转化为（3），然后进行求解. 共同点：让分式的分子变为常数 3. “1”的代换 已知（均为正数），求（均为正数）的最值，或者，求的最值（均为正数）. 这个类型是考察最多的，很多时候还需要配凑，常数代换等，对代数结构的观察能力和代数运算能力要求较高，需要重点突破. 4. n元均值不等式 设均大于零，则记，， ，，则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 5. 柯西不等式 若，则，当且仅当时等号成立. 6. 权方和不等式 (速解“1”的妙用) 二、题型归类 1. 基础和积转换 例1．若实数满足：，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为，所以，由基本不等式可得， 故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A. 【变式练习】 1．若，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．16 C．49 D．81 解析：由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．故选：D 2．若正实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析： ,.故选:D. 2. 分式不等式 例2. 求函数的值域. 解析：设. 于是问题转化为求 的值域，由对勾函数当时取等号，即. 【变式练习】 1. 设，求函数的最小值为__________. 思路：考虑将分式进行分离常数，，使用均值不等式可得：，等号成立条件为，所以最小值为， 答案：. 2. 已知，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 解析：因为，所以， ，当且仅的，即时等号成立.故选：A. 3. “1”代换 例3. 已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C．9 D． 解析：因为，，，所以， ∴， 当且仅当取得等号，则的最小值为9.故选：C 【变式练习】 1. 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 解析：因为，所以，而， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 2. 正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 解析：因为正实数，满足，所以 ，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是.故选:B. 4. 先换元再均值 例4. 已知正实数，满足，则的最小值是_______． 解析：令，，则，．从而 ．所以的最小值是 ． 【变式练习】 1．已知，，则的最小值________. 解析：令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：20 2．已知且，则的最小值为________. 解析：令，，因为，所以，则，，所以,所以 ，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：. 5. 权方和不等式 例5. 已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．12 D．10 解析：解法1：因为，所以，而， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 解法2. ，等号成立当且仅当. 【变式练习】 1.已知正数满足，则的最小值为______. 解析：由权方和不等式，，当且仅当时取等号，结合可得，，所以的最小值为27. 2. 设，且，则的最小值为________. 解析：分式和放小，考虑权方和，最后考虑取等： . 6. 柯西不等式 例6.已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由柯西不等式可得： ，即 所以，当且仅当即时取等号， 故的最小值为， 故选：B． 【变式练习】 1. 函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【解析】由，解得，所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：A. 2. 由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【解析】由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 【过关检测】 1. 求函数的最大值________ 解析：，∴ ，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值 2. 若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 解析：因为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：B 3．已知正实数满足.则的最小值为（    ） A．3 B．9 C．4 D．8 解析：均为正实数， ，当且仅当，即时，等号成立.故选：B 4．若，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，，， 则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C. 5．已知实数满足，则的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：原式可化为：，解得， 当且仅当时成立．所以选B. 6．若实数满足，则的最大值是 A． B． C． D． 解析：,，， 解得，，的最大值是.故选B. 7．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解析：，设，则. 于是， 令，则， 当，即，也即时，取到最小值.故选：C 8．已知a，，，则的最大值为（    ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，当且仅当时等号成立， 当，时，的最大值为. 故选：C. 9．若实数，则的最小值为（    ） A．14 B． C．29 D． 【答案】B 【解析】根据柯西不等式：，即， 当且仅当，，时等号成立. 故选：B. 10. 已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 11. 如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.   （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 解析：（1）由题意得，解得，由于，得， 所以； （2）由题意得，所以， 当且仅当，即时取“，所以当时，最小，且元. 11 学科网（北京）股份有限公司 $