精品解析：山东省德州市第五中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 只有甲 C. 只有乙 D. 只有丙 6. 如图，D、E分别是的边上的点，若，，时，则（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 20° 7. 如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 9. 如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 12. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处． 13. 如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点M、P，的垂直平分线分别交于点N、Q，若，则的度数是_______．    15. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 三、解答题（共90分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 17. 如图，在中，，，． （1）求作：的角平分线，交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数． 18. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）请判断和的关系，并说明理由． 19. 如图，是的高，是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 20. 已知：如图，在中，点、在边上，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）试说明垂直平分 （2）连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是 22. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 23. 【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试题 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 下列各图中，作边AC上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，从三角形的一个顶点往对边引垂线，顶点与垂足所连线段为三角形的高线进行判断即可． 【详解】解：作边AC上的高，如图： 故选D． 3. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，进行判断即可． 【详解】解：设第三边的长为，由题意，， ∴， 故第三边的长可能为3； 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标变化规律：横坐标不变，纵坐标变为相反数，直接计算即可． 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标保持2不变，纵坐标5变为， 因此对称后的点坐标为． 故选∶B． 5. 如图，已知△ABC的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中不能证明和 全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 只有甲 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据判定与全等；丙可根据判定与全等，可得答案． 【详解】解：甲三角形只知道一条边长、一个内角度数无法判断是否与全等； 乙三角形夹内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等； 丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定乙与全等； 则不能证明和 全等的是甲， 故选：B 6. 如图，D、E分别是的边上的点，若，，时，则（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等量代换、等式性质． 先利用，可得，同理可得，再利用外角性质可得，，而，等量代换可得，化简得，解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 8. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 9. 如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而得，然后根据即可得出的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识点，证得和是解题的关键． 先利用等边三角形的性质可证明即可判断A选项；根据全等三角形的性质、角的和差以及三角形内角和定理可得，即可判断C选项；再证明可得、即可判断B选项；再证明，即可证明是等边三角形，从而判断D选项． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∴，， ， ∵， ∴，故C选项错误，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴、，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴是等边三角形，即D选项正确，不符合题意． 故选C． 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 12. 如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处． 【答案】4． 【解析】 【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断． 【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 13. 如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点M、P，的垂直平分线分别交于点N、Q，若，则的度数是_______．    【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，根据垂直平分线的性质，推出，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点M、P，的垂直平分线分别交于点N、Q， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 三、解答题（共90分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）写出点、、的坐标：（____，____）（____，____）（____，____） （3）点P是x轴上一个动点，请在图中画出点P，使得最小． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3）如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由图可得点、、的坐标． （3）连接关于x轴的对称点和点C，交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ， 故答案为： 【小问3详解】 略 17. 如图，在中，，，． （1）求作：的角平分线，交于E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的度数． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据三角形的内角和定理，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，， ， 是角平分线， ， ， ， ， ． 18. 如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）请判断和的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． （2） ，，理由如下： ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明、，再运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，是的高，是的角平分线，且． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形有关的角和线段，掌握三角形内角和定理与外角的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得，由高的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理计算出，由角平分线的定义得，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ∵是的高， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20. 已知：如图，在中，点、在边上，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：作于点， ， ， ， ， 即． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． （1）作于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 21. 如图，是的角平分线，，分别是和的高． （1）试说明垂直平分 （2）连结交于点O，若，则与之间有什么数量关系是 【答案】（1） 证明：，分别是和 的高， ，， 又是的角平分线， ， 点D在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点A在的垂直平分线上， 垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，，根据角平分线的性质得到，推出点在的垂直平分线上，根据全等三角形的判定和性质定理以及线段垂直平分线的判定即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，根据含直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， 是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 22. 【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究． 【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点． ①若，则________； ②若，则与之间的数量关系是________； 【应用】 （2）如图2，B、A、E在同一直线上，，交于点C，．求证：； （3）如图3，在等腰中，，，D是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②； （2）证明：，， ， ， ， 在和中， ； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 对于（1），①，根据三角形内角和定理得，可得，再根据三角形内角和定理得出答案； ②根据三角形内角和定理得，，再结合，，可得答案； 对于（2），根据“角角边”可得出答案； 对于（3），解：设，再表示出，， ，，再分两种情况：当，当，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：①在中，， ， ， 在中，． 故答案为：100°． ②在中，； 在中，， 且，， ． 故答案为：． （2） 略 （3）解：设， 则，， ， ， 情况1：， ， 解得． ，， ． 情况2：， ， 解得． ，， ． 的度数为或． 23. 【综合与实践】 【情境背景】小明是一位热爱数学和几何的探险家，有一天，他来到一个神秘的岛屿，岛上有一个古老的遗迹，遗迹中有三个神秘的点A、B、C，它们构成了一个等腰直角三角形，其中．小明发现，这个三角形隐藏着某种秘密，可能与岛上的宝藏有关． 【任务一】 （1）如图1，小明在遗迹中发现了一条直线，这条直线恰好经过点C．他测量发现，．为了解开遗迹的第一个谜题，小明需要证明：，且．则可通过求即可证明．请你尝试帮助小明写出证明过程； 【任务二】（2）如图2，小明使用他的设备，确定了点A和点C的坐标．点A的坐标为，点C的坐标为．为了找到点B的坐标，可以借鉴任务一的全等模型，构造全等三角形．请你帮小明计算出点B的坐标； 【任务三】（3）如图3，在遗迹的另一个部分，小明又发现了另一个等腰直角三角形，这次点A的坐标为，点C的坐标为．小明猜测，这个三角形的另一个顶点B的坐标可能与宝藏的位置有关．请你再次帮助小明，直接给出点B的坐标． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，； （2）作轴，则， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握一线三直角全等模型，是解题的关键： （1）证明即可； （2）作轴，证明，即可得出结果； （3）过点作直线轴，交轴于点，作，证明，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作直线轴，交轴于点，作， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， 同（1）理可证：， ∴， ∴，即：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $