精品解析：河南省 郑州市第四十七初级中学2025-2026学年上学期八年级数学第一次月考试题

2025～2026学年上学期八年级第一次学科活动 数学 时长：100分钟 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 7，9，11 C. 6，9，12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数，勾股数的定义：满足勾股定理的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A，，故5，12，13是勾股数； B，，故7，9，11不是勾股数； C，，故6，9，12不是勾股数； D，不是整数，故不是勾股数． 故选A． 2. 下列各等式成立的是（　　） A. （）2＝5 B. ＝﹣5 C. ＝5 D. ＝x 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简． 【详解】解：A、 的被开方数是负数，所以无意义，故选项不正确，不符合题意； B、，故选项不正确，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质（1），（2），熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3. 下列实数中，无理数的个数是（ ） ① 0.333 ② ③ ④ ⑤6.18118111811118…… A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判断． 【详解】解：①②是有理数；③④⑤是无理数，无理数有3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数． 4. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求函数的自变量取值范围，熟知二次根式和分式有意义的条件是解答的关键．求函数自变量的取值范围需满足分母不为零及根号内非负的条件． 【详解】解：在函数中，需满足且， 解得且， 故选：A． 5. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则＝5尺，设出AB＝＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长. 【详解】解：设芦苇长AB＝＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即芦苇长13尺． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键. 6. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义，可知，，然后代入数值求解即可． 【详解】解：如下图， 由题意：，， ∴， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的几何意义，理解直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键． 7. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：是三角形的三边， ， 解得：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 8. 如图，被阴影覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据平方根的定义，对选项中的无理数进行正确的估算是解决本题的关键．根据图中阴影部分可知，这个无理数在2到3之间，结合选项进行计算即可． 【详解】解∶根据数轴知∶ 被阴影覆盖的数在2到3之间， ∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴，即， ∴选项B符合题意； ∵， ∴，即， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴，即， ∴选项D符合题意； 故选∶B． 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21 ∴a2+2ab+b2=21， ∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13， ∴2ab=21﹣13=8， ∴小正方形的面积为13﹣8=5． 故选C． 10. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴，故B选项能证明勾股定理； C、梯形的面积为：； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ∴， ∴ ，故C选项能证明勾股定理； D、大正方形的面积为：； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：， ∴， ∴D选项不能证明勾股定理． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 13. 如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 14. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数和为零的条件，涉及绝对值的非负性、算术平方根的非负性，熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 本题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负数和为零的条件得出的值，再代入计算乘积即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 解得， ， 故答案为：． 15. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____． 【答案】2或或． 【解析】 【分析】分、、三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴当时，， 当时，∵， ∴， ∴， 当时，∵， ∴， 故答案为2或或． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与运算规则． （1）先将各二次根式化为最简形式，再按乘除、加减的顺序逐步计算； （2）先化简括号内的二次根式，再去括号、合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 四、解答题：本题共6小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知，y是3的平方根，且，求x+y的值． 【答案】x+y=+或x+y=-． 【解析】 【详解】试题分析： 由已知条件可得，再代入计算即可. 试题分析： ∵是3的平方根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或. 18. 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． （1）当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） （2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 【答案】（1）2 （2） 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ∵， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【解析】 【分析】（1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【小问1详解】 解：当米时： ==2； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键． 19. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 20. 【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ① ； ② ． ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． ④ （1）【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． （2）【拓展应用】化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）先分母有理化，再和并即可求解． 【小问1详解】 解：方法一：； 方法二：； 【小问2详解】 解： 21. 【综合与实践】如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为___________； （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中，两点表示的数为___________； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要线段长） 【答案】（1） （2）， （3） 如下图所示作图： 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数与数轴是一一对应的，正确理解算术平方根的定义、实数与数轴的关系及正确进行实数运算是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义解答； （2）先表示出线段的长度，再通过计算得出点所表示的数； （3）先确定长为的线段表示方法，再在数轴上找表示的点． 【小问1详解】 ∵面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，设数轴原点为，数1表示的点为， ∵图中小正方形对角线长为， ∴， ∴，， ∴，两点表示的数分别为和， 故答案为：，； 【小问3详解】 根据图3作法，可得利用图3拼成的大正方形面积为5， 则大正方形边长为， 即图3裁出的长方形的对角线长为， 其中，，， ∴， ∴点表示的数为． 22. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】（1）A，C （2）建造绿化地的费用为11400元 （3）方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期八年级第一次学科活动 数学 时长：100分钟 总分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 7，9，11 C. 6，9，12 D. 2. 下列各等式成立的是（　　） A. （）2＝5 B. ＝﹣5 C. ＝5 D. ＝x 3. 下列实数中，无理数的个数是（ ） ① 0.333 ② ③ ④ ⑤6.18118111811118…… A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 5. 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 6. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 7. 是某三角形三边的长，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 4 8. 如图，被阴影覆盖的数可能是（ ） A. B. C. D. 9. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的平方根是____． 12. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 13. 如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____． 14. 如果，那么的值为______． 15. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点，，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_____． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 16. 计算： （1）． （2）． 四、解答题：本题共6小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知，y是3的平方根，且，求x+y的值． 18. 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）． （1）当米时，求下落的时间t；（结果保留根号） （2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由． 19. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 20. 【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ① ； ② ． ③ 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ． ④ （1）【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简． （2）【拓展应用】化简：． 21. 【综合与实践】如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为的大正方形的边就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为___________； （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中，两点表示的数为___________； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请用（2）中相同的方法在数轴上找到表示的点．（作图过程中标出必要线段长） 22. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． （1）施工人员测量的是点 与点 之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． （3）若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $