精品解析：广东省深圳市罗湖高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

罗湖高级中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学试题卷 命题人：田倩 审题人：李锋 考生须知： 1、本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效，考试结束后上交答题卡，答题卡需仔细填写姓名和填涂考号信息． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每个题只有1个正确选项） 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（　　） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数在上是增函数，则实数m的值为（ ） A. 1或 B. 3 C. D. 或3 7. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对任意的、且均有，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每题有多于一个正确选项，全对给6分，部分答对按选项给分） 9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请书写在答题卡对应横线上，不要超出范围作答） 12. 已知函数的图象如图所示，则______. 13. 已知是定义在上的偶函数，则___________． 14. 已知函数在内严格单调递减，则的取值范围是______． 四、解答题（共5个解答题，共77分，请在答题卡对应位置作答，不要超出作答范围） 15. 已知，． （1）求、、． （2）设且，求集合. 16. 求下列不等式的解集： （1） （2） （3） 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）求的值域． 18. 已知函数是定义域在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式． 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由． （2）已知函数是“局部反比例对称函数”，求． （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗湖高级中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一数学试题卷 命题人：田倩 审题人：李锋 考生须知： 1、本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效，考试结束后上交答题卡，答题卡需仔细填写姓名和填涂考号信息． 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每个题只有1个正确选项） 1. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 【详解】若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 所以为：. 故选：C 4. 设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明判断ABD；作差与0比较大小判断C. 【详解】对于ABD，取，则，， ，ABD错误； 对于C，，而，则， ，，因此，C正确. 故选：C 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故函数的定义域为 6. 已知幂函数在上是增函数，则实数m的值为（ ） A. 1或 B. 3 C. D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，解得或． 当时，在上是增函数，符合题意； 当时在上是减函数，不合题意． 综上所述：实数m的值为3. 故选：B. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，且对任意的、且均有，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析函数在上的单调性及奇偶性，可得出其在上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的定义域与单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 不妨设，由可得， 所以，， 令，可得， 所以，函数在定义域上为增函数， 易知函数的定义域为， 因为， 所以，，即函数为奇函数， 因为函数在为增函数，故该函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由， 可得，即， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每题有多于一个正确选项，全对给6分，部分答对按选项给分） 9. 下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以函数无奇偶性； 函数的定义域是，又， 所以函数为奇函数； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 又因为时，在上单调递增； 函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，在上单调递增. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，时，，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，因为，，由， 因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在R上的函数满足对任意的x，y，均有，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是R上的减函数 D. 若，则不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过对合理赋值求解. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，则，解得， 再令，则，解得，B正确； 对于C：，且，则，令， 则，即， 因为，所以，所以，即， 所以在上是增函数，C错误； 对于D：令，则，解得， 所以， 因为在上是增函数，且， 所以，即，解得， 即不等式的解集是，D正确； 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，请书写在答题卡对应横线上，不要超出范围作答） 12. 已知函数的图象如图所示，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，则. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的偶函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出的值，由偶函数的定义求出的值，从而可得值． 【详解】是定义在上的偶函数， 定义域关于原点对称，得，解得， ，又函数为偶函数， ，即，解得， . 故答案为：. 14. 已知函数在内严格单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分段函数的两段都是减函数，在处的函数值左边的不小于右边的，结合二次函数、一次函数的性质列不等式组，即可求解． 【详解】当时，，对称轴为，当时，， 又函数在内严格单调递减， 则，解得， 故答案为：. 四、解答题（共5个解答题，共77分，请在答题卡对应位置作答，不要超出作答范围） 15. 已知，． （1）求、、． （2）设且，求集合. 【答案】（1），，． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交、并、补集的运算计算即可； （2）结合（1），根据题意计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，，； 【小问2详解】 因为，， 所以或. 16. 求下列不等式的解集： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质将不等式化为，再利用因式分解法求解即得； （2）利用绝对值的几何意义将不等式化成或，求解即得； （3）先移项通分将不等式化成，再化商为积，即可得解. 【小问1详解】 因，故不等式的解集为. 【小问2详解】 或，解得或. 故不等式的解集为. 【小问3详解】 ,解得或. 故不等式的解集为. 17. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求的解析式； （2）求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解解析式即可； （2）按照、和分类讨论，利用二次函数性质求解值域，最后再求并集即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 设，则，所以，所以， 综上：， 【小问2详解】 当时，在单调递增， 在上单调递减，又，，所以此时； 当时，； 当时，在单调递减， 在上单调递增，又，，所以此时； 所以的值域为． 18. 已知函数是定义域在上的奇函数，且． （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式． 【答案】（1），， （2） 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，则， 此时满足题意，所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得， 所以不等式的解集为. 19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． （1）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”，并说明理由． （2）已知函数是“局部反比例对称函数”，求． （3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由可得，两边同时乘以， 整理可得，即，解得. 所以存在实数，满足， 所以由新定义可知，函数是“局部反比例对称函数”； （2）1或2 （3） 【解析】 【分析】（1）要判断函数是不是“局部反比例对称函数”，只须判断方程是否有解即可； （2）根据新定义，将条件转化为关于的方程有实数根，须满足其，解此不等式即可得解； （3）令，利用新定义将条件转化为关于的方程在上有解，然后利用一元二次方程根的分布情况求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“局部反比例对称函数”， 所以由可得， 两边同时乘以，整理可得①. 由新定义可知，存在实数满足方程①，即方程①有实数根， 所以须满足，解得， 又因为，所以或. 验证：当时，方程①可化为，解得，符合题意； 当时，方程①可化为，即，解得，符合题意. 综上，的值为1或2 ； 【小问3详解】 若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则在上有解， 即在上有解， 整理得②. 令，因为，所以，当且仅当时取等号. 则②可转化为方程在上有解. 设，其图象开口向上，对称轴方程为. （i）若，则在上单调递增，故， 即，解得，所以； （ii）若，则在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $