第五章平行四边形期末通关复习讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学平行四边形复习讲义通过“知识点-题型-方法”递进结构构建体系，以典型例题串联性质、判定、中位线等核心内容，用对比表格区分易混判定定理，如“对角线互相平分”与“一组对边平行且相等”的条件差异，清晰呈现知识脉络和重难点联系。 讲义亮点是分层练习设计，基础题如第4题等边三角形中位线计算巩固几何直观，综合题如第8题平行四边形顶点坐标多解问题培养推理意识，动态题如23题旋转探究发展创新意识。参考答案解析思路，如第1题全等转化面积建立模型，助力不同层次学生提升，教师可精准实施分层教学。

第五章平行四边形期末通关复习讲义 一、单选题 1．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 2．如图，过平行四边形对角线的交点O的一条直线，分别交边于点E，F，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．与全等 D．四边形与四边形的面积相等 3．下列命题正确的是（   ） A．两边分别相等的两个直角三角形全等 B．正六边形的每个外角都等于 C．两个正三角形全等 D．边长相等的两个正六边形全等 4．如图，在等边中，D，E 分别为边的中点，连接，于点 F，若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 5．如图，在中，是的中线，与相交于点O，点F、G分别是的中点，连接．若，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，在中，、的平分线分别与相交于点E、F，相交于点G．若，，，则（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（  ） A． B． C． D． 9．四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 10．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则的长等于（   ） A．8cm B．6cm C．4cm D．5cm 11．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 12．如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．梯形中，，则的范围是 ． 14．第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是 15．如图，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，则的长为 ． 16．如图，在中，平分， 平分，， ， . 17．如图，在中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为 ． 18．一个四边形，对于下列条件：一组对边平行，一组对角相等；一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；两组对角的平分线分别平行，其中能判定为平行四边形的有 （填序号）． 三、解答题 19．（1）如图1，在四边形中，且，连接，交于点．求证：为中点； （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线．求证：． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)将绕点C顺时针旋转，点B的对应点的坐标为 ； (2)画关于原点成中心对称的； (3)若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ． 21．如图，在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证：． 22．如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 23．已知，平分，为上一定点（点与点不重合），过点作，分别与直线，相交于点，． (1)如图1，当绕点旋转，满足时，与的位置关系是________，与的数量关系是________； (2)如图2，当绕点旋转到与的反向延长线相交时，猜想与的数量关系，并证明． 24．如图，已知是的中位线，是延长线上一点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解． 【详解】解：∵□ABCD， ∴OB=OD，ABCD， ∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO， ∴△BOE≌△DOF(AAS)， ∴S△BOE=S△DOF， ∴S阴影=2S△BOE， ∵， ∴S△BOE=S△AOB， ∵□ABCD， ∴S△AOB=， ∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意得，，证得，即可判断D正确； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：四边形与四边形的面积相等，故D正确； A、B、C根据现有条件，均不能推导出； 故选：D 3．D 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用直角三角形的判定方法、正多边形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直角边分别相等或斜边直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项错误，不符合题意； B、正六边形的每个外角都等于，故原命题错误，不符合题意； C、两个正三角形不一定全等，故原命题错误，不符合题意； D、边长相等的两个正六边形全等，正确，符合题意． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了含度的直角三角形，等边三角形的性质，中位线的性质，求得的值，即可得到，根据中位线的性质即可解答，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：在等边中，，， ， ， ， D，E 分别为边的中点， ， ， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握定理是解题的关键；是的中线，得，由点F、G分别是的中点，得，从而有；同理得，即可求得四边形的周长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴四边形的周长． 故选：A． 6．A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 7．D 【分析】过点E作，交的延长线于点P，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，，， ∴, ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E作，交的延长线于点P， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：D． 8．D 【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案． 【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5） 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形． 9．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 10．C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用平行四边形的性质和角平分线的性质得到是等腰三角形，进而求出，再求得的长即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 11．B 【分析】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【详解】如图，共有10种 故选：B 12．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 13． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形的三边关系， 先作，可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质得，进而求出，然后根据三角形三边关系可得答案. 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴. 在中，， ∴. 故答案为：. 14．12 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边形的外角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故答案为：12． 15． 【分析】本题考查了特殊四边形的对角线性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 根据点，分别是边，的中点，且，，得到，，，结合，列式计算即可． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，由题意得出，，是解答本题的关键，要求同学们能将所学的知识融会贯通．根据角平分线及平行四边形对边平行的性质可得出，，则根据，将，，代入即可得出答案． 【详解】解：平分，平分， ，， 又是平行四边形，， ∴， ，， ，， 故可得． 故答案为：． 17． 【分析】通过证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 18． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键； 根据平行四边形的判定定理，逐一分析各条件是否满足判定要求即可． 【详解】解：对于条件①，一组对边平行且一组对角相等，根据平行四边形的判定定理，可证明另一组对边也平行，从而判定为平行四边形； 已知：,, 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 对于条件②，一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分，可通过全等三角形证明对角线互相平分，从而判定为平行四边形； 已知：，对角线平分， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴, 又∵， ∴四边形是平行四边形； 对于条件③，一组对边相等且一条对角线被另一条对角线平分，“一组对边相等 + 一条对角线被另一条平分” 无法推出三角形全等，缺少 “夹角相等” 或 “另一组对边相等” 的条件，不能满足平行四边形的判定定理； 对于条件④，两组对角的平分线分别平行，可推导出两组对角分别相等，根据平行四边形的判定定理，可判定为平行四边形； 已知：，分别平分，，且，，分别平分，,且， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①②④． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证得结论； （2）延长，交于点，证明，推出 ，再证明即可解决问题． 【详解】证明：（1），， 四边形是平行四边形． ． 为中点． 如图2，延长，交于点， 在四边形中，， ． ∵点是的中点， ∴ 在和中， ， ． ． 是的平分线， ． ． ． ， ． 20．(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标系中的平移和旋转作图，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键． （1）将绕点C顺时针旋转画出来，进而求解即可； （2）根据题意依次描出点、点和点，并连接即可； （3）分三种情况：①是平行四边形；②是平行四边形；③是平行四边形，根据平移的性质分别求出的坐标，再判断D点是否在第二象限即可． 【详解】（1）解：将绕点C顺时针旋转，如下图： 由图可得，点B的对应点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵关于原点成中心对称的， ∴点为，点为，点为， 则依次描点并连接即可，如下图： （3）解：①四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到． ∴将向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到； ②四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到 ∴将向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到； ③四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到． ∴将向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到，此时在轴上，不符合题意，舍去． 综上，满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 21．见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．由题意可证，可得结论． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．(1)垂直；相等 (2)相等，证明见解析 【分析】本题主要考查角平分的概念，四边形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据四边形内角和定理可得，得到；再证明即可求解； （2）过作交于，再根据证明即可． 【详解】（1）解：根题意，在四边形中， ， 即， ， 即， 平分， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：垂直；相等； （2）解：，证明如下： 过作交于， ，平分， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 24．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线的性质得到，又，故四边形两组对边分别平行，因此为平行四边形； （2）先求得，得到，再在中，根据勾股定理求得，进而由平行四边形的对边相等得到，再由三角形中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中位线， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $