精品解析：广东省深圳市第二实验学校明远高中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025～2026学年度高二第一学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角的定义求解即可. 【详解】由于直线与轴平行，所以倾斜角为. 故选：D. 2. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标. 【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是. 故选：A. 3. 在正方体中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令和的夹角为，根据投影向量的定义直接求解即可. 【详解】令和的夹角为， 则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得关于轴的对称点，即可求解. 【详解】关于轴的对称点坐标分别为， 由对称性可知反射光线经过，， 所以反射光线所在直线方程为， 即. 故选：C 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意求出，，，，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，， 则，，，所以， 又因为，所以， 则以，为邻边的平行四边形的面积. 故选：D 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 8. 已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由得两点坐标关系，将其代入圆方程，问题转化为圆与圆有公共点，利用两圆位置关系求解. 【详解】由，得， 设，，则， 即，，又，在圆上， 所以，，即. 所以圆与圆有公共点， 因此，解得. 又由且，不同，知点在圆外，故，故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与直线：之间的距离为2，则（ ） A. 3 B. 13 C. D. 7 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式列出方程，求出答案. 【详解】由题得，解得或13. 故选：BC 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量=(2,-1,3)， =(-4,2,x)，且，则实数x的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：若，需满足，解得 考点：向量垂直 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可. 【详解】易知圆心，半径，且点在圆外， 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，即，解得，故切线方程为. 当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相切. 故所求切线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式转化为，记，进而将问题转化为求的最小值，数形结合即可. 【详解】， 记，则原代数式表示， 作点关于直线的对称点，则， 所以，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可； （2）根据截距是否为零分类进行求解即可. 【小问1详解】 由得所以点． 设过点且与直线垂直的直线的方程为， 将点代入方程得，解得， 所以所求直线的方程为． 【小问2详解】 当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为． 当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得， 故所求直线方程为，即． 综上所述，所求直线的方程为或． 16. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线AB的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问2详解】 因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 联立，两式相减整理可得：， 即EF所在的直线方程为. 17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以. 在中，由余弦定理得， 因为，所以，即. 因为，所以，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据及正方形的性质可求，在中利用余弦定理求得，即可证明.再证明，可得，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量为和，利用向量法即可求解直线与平面所成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 于是. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得， 故直线与平面所成的角为. 18. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度高二第一学期期中考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在正方体中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一条入射光线经过两点，经轴反射后，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，若圆上存在不同的两点，，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：与直线：之间的距离为2，则（ ） A. 3 B. 13 C. D. 7 10. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量=(2,-1,3)， =(-4,2,x)，且，则实数x的值为________． 13. 过点与圆相切的直线方程为__________. 14. 已知点是直线上一点，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线相交于点． （1）求过点且与直线垂直的直线的方程； （2）求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程． 16. 已知圆和点. （1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程； （2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程. 17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 18. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $