精品解析：天津市九十六中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性检测数学试卷

高三年级阶段性检测 数学 学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（共55分） 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 可求得 B. 这200名参赛者得分的中位数为64 C. 得分在之间的频率为 D. 得分在之间的共有80人 7. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 是函数图象的一个对称中心； C. 函数图象的一个对称轴方程为； D. 函数在区间上单调递增． 9. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 设函数若方程恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共95分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 12. 是虚数单位，复数满足，则________. 13. 在的展开式中，的系数是__________. 14. 已知的内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则  _______． 15. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 16. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 17. 已知正数x，y满足，则的最小值为____________． 18. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________. 三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分：解答写出证明过程或演算步骤）． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，，求a，c； （3）若，求. 20. 已知． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 21. 已知函数． （1）当时，取得极值，求的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值； （3）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 22. 已知函数，，. （1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）求函数的极值； （3）函数，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级阶段性检测 数学 学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（共55分） 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的意义与交集的意义可求解. 【详解】因为，，所以， 由，得，又， 所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数定义域可知充分性不成立；由对数函数单调性可确定必要性成立. 【详解】当时，若，则无意义，充分性不成立； 当时，，成立，必要性成立； 综上所述：，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，借助于中间值，即可判断结果. 【详解】由指数函数的性质，可得，所以， 根据对数的运算性质，可得，所以， 又由，所以， 所以. 故选：C. 4. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 5. 如图所示，图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数图象关于轴对称，排除A ，C，由排除B，利用排除法即可. 【详解】函数图像关于轴对称，则函数是偶函数， 对于A，,, , 即函数是奇函数，故A错， 对于B，，， ， 是偶函数， 当时，，故B错， 对于C ， ，， ， 是奇函数，故C错， 对于D，，， ， 是偶函数，，符合题意，故D正确. 故选：D 6. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 可求得 B. 这200名参赛者得分的中位数为64 C. 得分在之间的频率为 D. 得分在之间的共有80人 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】选项A：由题意得，解得，故A正确； 选项B：，， 所以中位数位于内，且设为x， 则，解得，故B错误； 选项C：得分在之间的频率为，故C正确； 选项D：得分在之间的频率为， 所以得分在之间的共有人，故D正确. 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为； B. 是函数图象的一个对称中心； C. 函数图象的一个对称轴方程为； D. 函数在区间上单调递增． 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的平移变换法则，可得的解析式，根据最小正周期公式，可判断A的正误；将代入检验，根据正弦型三角函数的性质，可判断B的正误；将，代入检验，根据正弦型三角函数的性质，可判断C的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的性质，可判断D的正误. 【详解】由题意， 则， 所以. 选项A：函数的最小正周期，故A错误； 选项B：当时，， 所以不是函数图象的一个对称中心，故B错误； 选项C：当时，或， 所以不是的一个对称轴，故C错误； 选项D：当时，， 因为在内，单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：D 9. 已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【详解】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故选：B. 10. 如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 11. 设函数若方程恰有2个实数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简，进行参变分离，求出，画出图像根据图像得出结论. 【详解】化简得 当时，设 ∴， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； ，且当时， ； 当时，设 易知函数在分别单调递减， 画出函数图像 根据图像可得. 故选：D. 【点睛】本题采取的是数形结合的思想，在进行分离变量的时候要探讨参数的取值范围. 第Ⅱ卷（共95分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 12. 是虚数单位，复数满足，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以 故答案为： 13. 在的展开式中，的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解项的系数即可. 【详解】在二项展开式的通项公式：， .令，，所以的系数为. 故答案为：. 14. 已知的内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则  _______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为的面积为，，， 由三角形的面积公式可得，解得， 由余弦定理可得. 故答案为：. 15. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的知识可得，即可计算夹角. 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 16. 袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问可根据条件概率公式求解，第二问可先确定随机变量 的取值，再求出每个取值的概率，最后根据期望公式计算期望. 【详解】设“第一次取到黑球”为事件 ，“第二次取到白球”为事件 . 则.  表示第一次取到黑球且第二次取到白球的概率.第一次取黑球有 种取法，第二次取白球有 种取法，从 个球中依次取 个球的总取法有 种，所以 .  根据条件概率公式 ，可得 .   随机取出 个球，取出的球中白球的个数 可能取值为 ，，. 表示取出的 个球都是黑球的概率，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，从 个球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  表示取出的 个球中有 个白球和 个黑球的概率，从 个白球中取 个球的组合数为 ，从 个黑球中取 个球的组合数为 ，所以 .  根据期望公式 可得 .   故答案为：；. 17. 已知正数x，y满足，则的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为正数满足，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 18. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，， 所以， 因为为线段的中点，所以，又， 所以， 又， 所以， 因为设是线段上的动点，又为钝角， 所以， 因为正方形的边长为，， 所以， 所以， 所以当点与点重合时，取最小值，最小值为. 故答案为：；. 三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分：解答写出证明过程或演算步骤）． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，，求a，c； （3）若，求. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦边化角及三角恒等变换可得结合三角形内角性质求； （2）由正弦角化边及余弦定理列方程求a，c； （3）由题设及（1）得，注意为锐角，应用倍角正余弦、差角正弦公式求目标式的值. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系得：， 显然，则，又，故； 【小问2详解】 由，则①， 由（1）得：②， 由①②得：，； 【小问3详解】 由正弦定理得：，则， ∵，即，则，故A为锐角， ∴， ∴，， ∴. 20. 已知． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式先化简，再利用三角恒等变换化简得，利用正弦型函数求周期和单调减区间即可求解； （2）先求，再利用余弦定理和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 所以， 令，解得， 所以的单调递减区间； 【小问2详解】 由，即， 又，所以， 所以，即， 由余弦定理得：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的面积的最大值为. 21. 已知函数． （1）当时，取得极值，求的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值； （3）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为，的极大值为，极小值为-2． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求，再由，求解即可. （2）求出时的值，变化时，判断的变化情况，根据导数的性质进行求解即可. （3）利用分离变量法求出在区间恒成立，结合构造函数，利用导数的性质求出，即可. 【小问1详解】 ， ， 当时，取得极值， ，解得：， 的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 则函数定义域为， ， 令，解得：或， 当变化时，的变化情况如下表： 1 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值， 当时，有极小值， 的单调递增区间为，；单调递减区间为， 的极大值为，极小值为-2． 【小问3详解】 当时，在上恒成立， 即在区间恒成立． 设，，则， 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： － 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ，即， 的取值范围为． 22. 已知函数，，. （1）函数在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）求函数的极值； （3）函数，若，证明：. 【答案】（1） （2）的极大值为，无极小值 （3）证明如下： 易知，则， 令，则，令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 函数的极大值为， 由已知，∴，，由（2）可知，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算参数即可； （2）直接求导，判定函数的单调性计算极值即可； （3）化简函数式，求导判定其单调性得出极大值即最大值，根据条件得出，再结合第二问的结论即可证明. 【小问1详解】 易知，切线斜率为，所以， 由切线方程可得； 【小问2详解】 易知，， 令，即，∴， 令，∴， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $