精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

树德中学初2023级11月阶段性测试数学学科试题 时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，若，则需满足（ ） A. B. C. D. 4. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对边分别平行 5. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 11或8 D. 以上都不对 7. 在一次数学活动课中制作了一个抽奖转盘，如图所示的盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字1，2，3分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，均在反比例函数的图像上，则有（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 10. 若，则___________． 11. 如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 13. 如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程： 15. 在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； （2）若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 16. 小颖对成都市回澜塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小颖眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出回澜塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 17. 如图，在中，E为边上一点，连接，，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，且，求和的长． 18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标； （2）点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； （3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． B卷 19. 若，则___________． 20. 我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即；ab，比如：12.若x（24），则x的值为 _______________ 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_____． 22. 新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时，______． 23. 如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为___________． 24. 2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． （1）该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ （2）每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 25. 【问题情境建构函数】 （1）如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为．设，，试用含的代数式表示 【由数想形 新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示．若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请证明，并在图2上补全函数图象． 【数形结合深度探究】 （3）（I）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论： ①函数值随的增大而增大； ②函数值的取值范围是： ③存在一条直线与该函数图象有四个交点； ④在图象上存在四点，使得四边形是平行四边形． 其中正确的有___________．（写出所有正确的序号） （II）若将（1）中的“改成“”，此时关于的函数表达式是___________；一般地，当取任意实数时，利用数形结合思想，直接写出满足不等式的的取值范围___________．（答案用含的代数式表示） 26. 在四边形中，点分别是边上的点，连接并延长，分别交的延长线于点． （1）如图1，若四边形是菱形，，求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式： （3）如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学初2023级11月阶段性测试数学学科试题 时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解： A．没有规定是常数，，故此选项不符合题意； B．是一元二次方程，故此选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选： B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”，“一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”． 3. 如图所示，若，则需满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定，有一个公共角，再添加夹着这个公共角的对应边成比例即可． 【详解】是公共角，要使 只需，即 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，找准对应边是解题的关键． 4. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对边分别平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形的对角线相等且互相平分；菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，能熟记知识点是解此题的关键． 根据矩形的性质和菱形的性质判断即可． 【详解】解：A．四条边相等，菱形具有而矩形不一定具有，故符合题意； B．对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有，故不符合题意； C．对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； D．两组对边分别平行，矩形和菱形都具有，故不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解：∵与位似，且原点O为位似中心，其位似比，点， ∴其对应点D的坐标为，即． 故选：A 6. 以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 11或8 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 当时，，不能构成三角形，不合题意， 当，，此时2、4、5能构成三角形， ∴周长是． 7. 在一次数学活动课中制作了一个抽奖转盘，如图所示的盘面被等分成八个扇形区域，每个扇形区域里标的数字1，2，3分别代表获得一、二、三等奖．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域为获奖结果，那么获得二等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了几何概率，正确应用概率公式是解题关键．每转动一次就要8种可能，而其中是2的有3种可能．然后根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：出现2有3种情况，共有8种情况， 将转盘转动一次，转到2的概率为：． ∴获得二等奖的概率为． 故此题选C． 8. 已知点，，均在反比例函数的图像上，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵｜k｜+1＞0， ∴反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵－5＜－3＜0＜3， ∴a＜c＜0＜b， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方． 【答案】60 【解析】 【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE=60cm． 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方． 故答案为：60． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 10. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由比例关系通过交叉相乘得到，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由， 交叉相乘，得， 即． 代入， 得， 故答案为：． 11. 如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=-8，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式． 【详解】解：∵S矩形PAOB=8， ∴|k|=8， ∵图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k=-8， 故答案为-8． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．熟记相关结论是关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为： 13. 如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、勾股定理、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂的意义，解一元二次方程． （1）先根据开方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减； （2）先移项，再用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 或， ． 15. 在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________； （2）若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 40， （2）280名 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图、画树状图法求概率等知识点，不重不漏地画出树状图是解题的关键． （1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以即可得到D组的扇形圆心角的度数；再求出C组人数，然后补全条形统计图即可； （3）用800乘以睡眠时长大于等于9小时所占百分比即可解答； （4）分别用A、B、C、D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为：； C组人数为：（名）． 故答案为：40，． 【小问2详解】 解：（名）， 所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名． 【小问3详解】 解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 16. 小颖对成都市回澜塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小颖眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出回澜塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】小雁塔的高度为41米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由三角形的性质得出，再证明 利用相似三角形性质得出，再代入计算即可得出答案. 【详解】解：根据题意得，， ， ，即①； ，， ， ，即②， 由①②得， 解得， ， 解得， 答：回澜塔的高度为41米. 17. 如图，在中，E为边上一点，连接，，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，且，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）先根据平行四边形、平行线的性质等证明，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证； （2）先利用（1）的结论求出、长度，根据可得出，在中，根据勾股定理可求出的长度，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可曲解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 18. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标； （2）点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； （3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得，求解即可得点F坐标． （2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可． （3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得： ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 联立两函数解析式，得 ，解得：，， ∴． 【小问2详解】 解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ 设直线为， 将点，代入中， 则解得， 所以直线的解析式为， 设点，过点P作轴交直线于点Q，则 ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（其中，方程无解）， 故点P的横坐标为或． 【小问3详解】 解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图， ∵，， 又∵点M在x轴上， ∴点F向上平移3个单位， ∴点E向上平移3个单位， ∴点N纵坐标为9，把代入，得， ∴， ∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴； 同理可得； 连接交于P， ∵， ∴点P为与的中点， ∴， ∴ ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型． B卷 19. 若，则___________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了比例问题． 根据比例关系，将a、c、e用b、d、f表示，然后代入所求表达式． 【详解】解：由，得，，， 所以． 故答案为：36． 20. 我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即；ab，比如：12.若x（24），则x的值为 _______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据定义新运算，先计算出24，然后根据定义新运算，列出方程，即可求出x的值. 【详解】解析：由题可知：2 ∴x 即 ∴ 故答案为：. 【点睛】此题考查的是定义新运算，掌握定义新运算的公式和运算顺序是解决此题的关键. 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 22. 新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时，______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论． 分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可． 【详解】解：如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点E， 设， ∴， ， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， （负舍），则， ∴ 如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点F， 设， 由题意，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴ 故答案为：或． 23. 如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质. 延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 24. 2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． （1）该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ （2）每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 【答案】（1）A型充电器售价200元，B型充电器售价240元． （2）每台B型充电器应降价30元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用． （1）通过设A型售价为x元，B型售价为元，根据购买数量相等列分式方程求解； （2）设每台B型降价m元，根据利润目标列一元二次方程，并选择符合减少库存条件的解． 【小问1详解】 解：设A型充电器售价为x元，则B型充电器售价为元． 根据题意，得 ． 解得． 检验：当时，，且符合题意， 故原方程的解为． ∴B型充电器售价为元． 答：A型充电器售价200元，B型充电器售价240元； 【小问2详解】 解：设每台B型充电器降价m元．降价后每台利润为元． 降价后每月售出台数为台． 根据题意，得． 整理得，． 解得，． ∵要尽快减少库存， ∴选择降价较多的． 答：每台B型充电器应降价30元． 25. 【问题情境建构函数】 （1）如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为．设，，试用含的代数式表示 【由数想形 新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示．若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请证明，并在图2上补全函数图象． 【数形结合深度探究】 （3）（I）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论： ①函数值随的增大而增大； ②函数值的取值范围是： ③存在一条直线与该函数图象有四个交点； ④在图象上存在四点，使得四边形是平行四边形． 其中正确的有___________．（写出所有正确的序号） （II）若将（1）中的“改成“”，此时关于的函数表达式是___________；一般地，当取任意实数时，利用数形结合思想，直接写出满足不等式的的取值范围___________．（答案用含的代数式表示） 【答案】（1）； （2）函数图象关于原点对称，理由如下： 若为图象上任意一点，则, 设关于原点的对称点为, 则， 当时，， 也在函数的图象上， 当取任意实数时，函数的图象关于原点对称； （3）①④；（II）， 【解析】 【分析】（1）证得, 得出, 由题意, 利用勾股定理求得，, 即可得到,从而得到; （2）把点的对称点代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性； （3）观察图象即可判断； （II）分析函数的解析式，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ， ， ， ， ， , 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）略 （3）（I）观察图象，①函数值随的 增大而增大；故正确， ②函数值的取值范围是; 故错误， ③存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误， ④在图象上存在四点, 使得四边形是平行四边形， 故正确故答案为：①④； （II）关 于的函数表达式为函数, 当时 ，图象在第一象限，函数值随的增大而增大， 由得，， 解得. 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、函数定义及表达式推导、函数对称性分析、函数性质探究和数形结合思想．解题关键是将几何中边长、垂直关系转化为代数函数表达式，通过代入验证函数值是否为证明函数图象对称性，结合函数表达式代数特征与图象几何特征分析函数性质． 26. 在四边形中，点分别是边上的点，连接并延长，分别交的延长线于点． （1）如图1，若四边形是菱形，，求证：； （2）如图2，若四边形是正方形，，，设，，求与的函数关系式： （3）如图3，若四边形是矩形，，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）通过证明可得，进而证明结论； （2）通过证明可得，可得，通过证明可得，即，即可求y与x的函数关系式； （3）取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接，可证四边形是正方形，由（2）可知，由相似三角形的性质可得，，可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即，即， ∴． 【小问3详解】 解：如图：取中点M，过点M作交于点P，交于点N，连接， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形，且， ∴由（2）可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $