精品解析：青海省西宁市湟川中学2025-2026学年高三上学期第二次考试数学试卷

青海湟川中学学年第一学期 高三年级数学第二次考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．全卷共150分．考试时间为120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法和指数函数的单调性分别解集合A、B，结合交集与补集的定义和运算即可求解. 【详解】因为， ， 所以，所以. 故选：C. 2. 已知，若，则（ ） A. 32 B. 25 C. 16 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，求出、的值，从而得解. 【详解】因为， 所以 ， 又，即， 所以，解得，所以. 故选：B. 3. 若满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数性质得，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定BD. 【详解】由，得，所以，所以，所以错误； 令，此时与无意义，所以错误； 因为，所以由不等式的性质可得，所以正确； 令，则，所以错误. 故选：. 4. “孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ） A. 1157 B. 1177 C. 1155 D. 1122 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，求出，即可求解. 【详解】由题可知数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以，得，， 所以的末位数依次为，故加密编号为1157. 故选：A. 5. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设，根据导数的定义可得，进而对函数求导列方程求解即可. 【详解】由，则， 而，则，即. 故选：B 6. 已知函数图象的一个最高点的坐标为，距离C点最近的一个零点为，设B点在y轴左侧且为图象上距离y轴最近的一个对称中心，O为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最高点确定的值，由距离C点最近的一个零点为，结合周期可求出，代入点可求出，由对称中心的求法及题意可确定点，进而得到的面积. 【详解】因为函数图象的一个最高点的坐标为， 故， 又距离C点最近的一个零点为， 所以，即， 所以， 将代入，得， 解得， 因为，所以， 所以， 令，则， 因为B点在y轴左侧且为图象上距离y轴最近的一个对称中心， 故， 所以. 故选：C 7. 在四棱锥中，底面四边形为正方形，四棱锥外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，如图，确定四棱锥的体积最大的情况，设，根据球的表面积公式和勾股定理、锥体的体积公式可得（），结合基本不等式计算即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形， 所以当点在底面的射影为底面正方形的中心，且球心在线段上时， 四棱锥的体积最大.设四棱锥外接球的半径为， 则，得，设，则， 由，得，所以， 则， 令，则， 所以， 当且仅当时取等号，此时，即. 故选：C. 8. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆，点，若点分别在上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质可得，则，设，得，，进而，结合换元法和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线， 所以圆的圆心恰好在焦点处，所以， 设，则， 所以， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最小值，最小值为. 故选：D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（ ） A. 图中的值为0.029 B. 参赛学生分数位于区间的概率约为0.85 C. 样本数据的分位数约为79 D. 参赛学生的平均分数约为69.4 【答案】AC 【解析】 【分析】利用各小矩形面积和为1求出x判断A；求出分数位于区间的频率判断B；求出75百分位数判断C；估计学生的平均分数判断D作答. 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，分数位于区间的频率为，估计概率为0.60，B错误； 对于C，由选项B知，样本数据的75%分位数，由，得，C正确； 对于D，由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 平均分数，D错误. 故选：AC 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称 C. 若是偶函数，则 D. 若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性、函数图象的平移变换、偶函数的性质以及函数零点的相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A，由.可得， 即的单调递增区间是，故A正确. 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度， 可得曲线的解析式为. 因的定义域为，，则不是奇函数， 故曲线不关于原点对称，故B错误. 对于C，若是偶函数， 则，则.解得：，故C正确. 对于D，由，可得，解得. 因为，当时，；当时，； 当时，；当时，. 因为在区间上恰有个零点，所以. 解得，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数关于点对称 B. 函数关于直线对称 C. 函数的周期为4 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故B错， 对于C，因为，所以，所以，为常数， 因为，所以，所以， 取，可得.所以， 由，得， 所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且周期为， 又，即， 所以函数也是以周期得周期函数，故C正确； 对于D，因为，， 所以，即， 所以，则， 所以， ，无法确定该值，故D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再结合抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由，解得且， 则的定义域为， 由，解得且， 则的定义域为. 故答案为：. 13. 寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为__________.（用数字作答） 【答案】600 【解析】 【分析】先选司机，再选副驾，结合分类分布计数原理计算即可求解. 【详解】先选司机有种，再选副驾， 若副驾坐人，则有种； 若副驾不坐人，则有种， 故不同的坐法种数为. 故答案为：600 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由条件和余弦定理即可得角C，再由正弦定理和辅助角公式可得所求式子的最大值. 【详解】由，又， 所以，，且. 所以是钝角，且. 再由，得，，且. 所以 （其中） 所以，当且仅当，时，，取得最大值. 故答案为：；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1200元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量与概率 作物市场价格与概率 作物产量（kg） 300 600 作物市场价格（元） 4 8 概率 概率 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列和期望； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率． 【答案】（1）分布列见解析；（元） （2） 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，再分别求出对应的概率，即可求的分布列，从而可得数学期望； （2）分别求出3季中有2季的利润不少于1600元的概率和3季中利润不少于1600元的概率，利用概率相加即可得到结论． 【小问1详解】 设表示事件“作物产量为”， 表示事件“作物市场价格为4元”， 由题设知，，， 利润产量市场价格成本， 的所有可能取值为：，， ，， ， ， ， 的分布列为： 0 1200 3600 （元）； 【小问2详解】 设表示事件“第季利润不少于1600元” ，2，， 则，，相互独立， 由（1）知， 3季的利润均不少于1600元的概率为， 3季的利润有2季不少于1600元的概率为， 综上：这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率为：． 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 【答案】（1）答案见解析 （2）极大值极小值. 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，进而得到函数的单调性； （2）由（1）知若要有两个极值点，这两个极值点一定为.解法一：由两个极值点都在区间内，得到条件，解不等式即得答案，再利用（1）求出极值；解法二：由，得，对分类讨论，可得答案，再利用（1）求出极值. 【小问1详解】 当时，在上恒大于0，在上恒小于0，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒大于0，在上单调递增； 当时，在上恒大于0，在上恒小于0， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解法一：函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，则， 解得，则的取值范围. 的极大值，的极小值. 解法二：因为， ①当时，则解得； ②当时，在内不存在两个极值点，所以不符合； ③当时，，则无解. 则函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，的取值范围. 的极大值的极小值. 17. 已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式. （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明：当时，， 当时，， 【解析】 【分析】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和. 【小问1详解】 ，① 当时，，② ①-②，得， 两边同时除以，得. 当时，. ， ，解得， 此时，也满足， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. 【小问2详解】 略 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动． （1）当平面DAF时，求线段的长度； （2）设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行当平面DAF时，找到两点重合，再建系后利用空间两点间距离公式求出线段的长度即可； （2）建系后找到面的法向量和，代入空间向量法求线面角的公式，解出值即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为四边形ABCD为边长是4的正方形，所以， 所以，所以，，四边形为平行四边形， 所以， 因为面，且不在平面内， 所以面， 所以当两点重合时，面， 因为面， 可以以为轴，建立一个空间直角坐标系， 所以， 则， . 【小问2详解】 设， ， 因为，则， 由直径对应的圆周角为直角，易得面，所以面的法向量， 设与平面DAF所成角为，则 ， 化简可得，解得或. 19. 如图，椭圆和圆，过点作两条相互垂直的直线，，其中与圆相切于点与椭圆相交于不同的两点. （1）若，求直线的方程； （2）求的取值范围； （3）求面积的最大值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设直线方程，利用即可求解； （2）设，，根据直线与圆相切，得出，再联立与椭圆方程利用即可求解； （3）由（2）可计算，再计算圆心到直线的距离，最后利用三角形面积公式化简，令，即可求出. 【小问1详解】 由题意得，直线过点， 设直线的斜率为，显然存在且不为0， 则直线的方程为，即. 直线与圆相切于点，则点到直线的距离，解得， 直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意得，直线和直线的斜率均存在且不为0， 设直线的方程为，即， 则直线的方程为，即， 直线与圆相切，，即. 联立，得， ， 即，解得. ，， 即的取值范围为. 【小问3详解】 设， 由（2）得，， ， 圆心到直线的距离， . 令，则. 由（2）知，， 则， ， 当即时，面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学学年第一学期 高三年级数学第二次考试试卷 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分．全卷共150分．考试时间为120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 32 B. 25 C. 16 D. 9 3. 若满足，则（ ） A. B. C. D. 4. “孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现将的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ） A. 1157 B. 1177 C. 1155 D. 1122 5. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知函数图象的一个最高点的坐标为，距离C点最近的一个零点为，设B点在y轴左侧且为图象上距离y轴最近的一个对称中心，O为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面四边形为正方形，四棱锥外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆，点，若点分别在上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 2024年奥运会在法国巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织全体学生进行了奥运知识能力竞赛，学生得分在之间，满分100分，现随机调查了200位该校学生的成绩，得到样本数据的频率分布直方图如下，则（ ） A. 图中的值为0.029 B. 参赛学生分数位于区间的概率约为0.85 C. 样本数据的分位数约为79 D. 参赛学生的平均分数约为69.4 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线关于原点对称 C. 若是偶函数，则 D. 若在区间上恰有3个零点，则 11. 定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数关于点对称 B. 函数关于直线对称 C. 函数的周期为4 D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的定义域为__________. 13. 寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为__________.（用数字作答） 14. 外接圆半径为2，三个角的对边分别为，若，且，则__________；的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1200元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： 作物产量与概率 作物市场价格与概率 作物产量（kg） 300 600 作物市场价格（元） 4 8 概率 概率 （1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列和期望； （2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于1600元的概率． 16. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在其定义域一个子集内存在两个极值点，求实数的取值范围并求的极值. 17. 已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式. （2）证明：. 18. 如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动． （1）当平面DAF时，求线段的长度； （2）设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值． 19. 如图，椭圆和圆，过点作两条相互垂直的直线，，其中与圆相切于点与椭圆相交于不同的两点. （1）若，求直线的方程； （2）求的取值范围； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $