广东省东莞市东华高级中学2026届高三上学期10月联考数学试题

东华中学2026届高三10月联考 数 学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 2．已知a，b为实数，且＝a－i(i是虚数单位)，则a＋b＝（   ） A．0 B．2 C．－1 D．－2 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（　　） A．64 B．14 C．12 D．3 4．用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为 ，则该四棱台的体积是（　　） A． B． C． D． 5．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（　　） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6．已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　） A． B． C． D． 7．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 8. 已知λ∈R，函数f(x)＝若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是（   ） A．(1,3] B．(4，＋∞) C．(3,4] D．(1,3]∪(4，＋∞) 二．多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（ ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B．对具有线性相关关系的变量x､y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是 C．已知样本数据的方差为4，则的标准差是4 D．已知随机变量，若，则 10．关于函数，下列说法正确的是（　　） A.曲线在点处的切线方程为； B.的图象关于原点对称； C.若有三个不同零点，则实数的范围是； D.在上单调递减. 11．定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（　　） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．实数a，b满足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则ab的最小值为 ． 13．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角，则　 　. 14．函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定 叫做曲线在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线上不同两点，，且，则的取值范围是 ． 四．解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）已知数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16．（本题15分）的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 17．（本题15分）如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18.（本题17分）已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，当直线、的倾斜角互补时，直线MN的斜率是否为一个定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. （3）求面积的最大值. 19．（本题17分）如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 数学参考答案 1． 选择题 1-4：BACB 5-8：DCDD 二．多项选择题 9：ABC 10：ACD 11：BC 三．填空题 12： 13： 14： 1.【答案】B 因为，所以. 2.【答案】A 3.【答案】C 因为数列为等差数列，所以，即， 又因为，，所以. 4.【答案】B 分别为上下底面的中心，作于点，如图所示： 由图可知：，侧棱与底面所成的角即为，易知； 则，易知，由正四棱台性质可得； 则该正四棱台的高为， 故该四棱台的体积是. 5.【答案】D 函数， 将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到. 6.【答案】C 由向量满足，且在上的投影向量为 ， 可得，解得， 则，因为，所以， 故向量与向量的夹角为. 7．【答案】D 如图，设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得 ,,所以,, , 设,, 则在△中,由余弦定理得, 即,所以,即, 由基本不等式 =8 即.当且仅当,时,等号成立. 8．【答案】D f(x)＝恰有2个零点有两种情况： ①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点． 在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示，平移直线x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)． 9．【答案】ABC 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； B中，，由得，B正确； 样本数据的方差为4，则数据的方差为，标准差为4，C正确 随机变量，若，则，则，D错． 10.【答案】ACD 函数定义域为，， A. ，，则切线方程为，即，故A正确； B. 因为，所以的图象关于原点不对称，故B错误； C. 当或时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值，极大值为； 在处取得极小值，极小值为， 函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标， 因此当直线与函数图象有3个交点时，，故C正确； D. 由C可知，函数在上单调递减，故D正确. 11.【答案】BC A、因为，所以令， 可得，则，故A错误； B、令，得到， 则，，则或， 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确； C、令，得到，则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即， 时，，两边除以， 即，故C正确； D、令，则， 时，，则， 且，则，即，故D错误. 12.【答案】 13.【答案】 因为角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，所以， 则. 14.【答案】 因为，所以，由题意可得，，又因为，所以，故，令，则，因为，所以． 4． 解答题： 15.（13分）（1）由可得：当时，，…………………………2分 上述两式相减可得…………………………4分 当时：成立，…………………………5分 故所求；…………………………6分 （2），…………………………8分 …………………………10分 故所求……………13分 16．（15分）（1）由， 根据正弦定理可得，…………………2分 则 ，…………………5分 因为，所以，…………………7分 又因为，所以。…………………8分 （2）根据余弦定理的推论可知，则，…………………10分 因为，且，所以， 解得，…………………13分 则.…………………15分 17.（15分）（1）证明：∵ABCD是正方形，∴AD=， ∴，由勾股定理得：…………………3分 又正方形中，且 ∴平面…………………5分 又∵面，∴平面平面…………………6分 （2） 由（1）知是二面角的平面角…………………7分 作于，则 且由平面平面，平面平面，面 所以，面…………………8分 取中点，连结，则， 如图，建立空间直角坐标系，…………………9分 则 ∴…………………10分 又，知的一个方向向量 设面法向量，则 取，得…………………12分 又面一个法向量为…………………13分 设平面与平面所成锐二面角为，则………14分 ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为…………………15分 18.（17分）解：⑴设椭圆的左、右焦点分别为、， 因为焦距为2，，所以且轴，故， ………………2分 又由于，所以解得，，…………………….3分 故椭圆方程为； …………………….4分 ⑵设，，直线的方程为， 由于直线，的倾斜角互补，故…………………….5分 联立方程，整理得，…………………….6分 故，即…………………….7分 且，…………………….8分 ，所以. ………………………10分 ⑶直线的方程为，且 所以弦长 ………………13分 原点到直线：的距离为，…………………….15分 所以 故当且仅当时，的面积的最大值为 ………………………17分 19.（17分）（1）设函数定义域为，， 则；…………………3分 （2）证明：由题意，四边形为梯形或矩形，又，则，……4分 ，下证，…………………5分 而，只需证，…………………6分 令，只需证，…………………7分 ，设，则， 在上单调递增，则在上单调递增， 因此，所以…………………10分 （3），因为为的零点，则， 设，则有…………………12分 即，于是…………………14分 由（2）知，则有，因此， ，则，即，所以……………17分 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $