精品解析：天津市博文中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性测试数学试题

2025—2026学年天津博文中学高三（上）第一次阶段性测试 高三数学 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集和补集运算可得结果. 【详解】由题意，，则. 故选：B. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件与集合之间的关系，判断出两个集合之间的包含关系，求出结果. 【详解】已知，则，解得， 因为，所以“”不可以推导出“”，但是“”能推导出“”， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 4. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面的相关性质判断即可. 【详解】对于A，，可以平行也可以异面，故A错误； 对于B，，可以平行也可以异面，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 故选：D. 5. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 6. 数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】，故可采用裂项相消法求其前n项和. 【详解】， ， 故选：D. 7. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出的值并判断符号，根据零点存在性定理即可得到结果. 【详解】由函数可知：该函数在上单调递增， ，， ，， ，结合选项所给区间， 只有，根据零点存在性定理知， 的零点所在区间为， 故选：B. 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体代换代入减区间，求解不等式可得答案. 【详解】令，解得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 9. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 计算________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 11. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出指定项的系数. 【详解】展开式的第项为， 则当时，，所以项的系数为21. 故答案为：21. 12. 直线被圆截得的弦长为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据弦长公式求解即可. 【详解】由题意，圆的圆心到直线的距离， 故弦长为. 故答案为：2 13. 已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则________； ________． 【答案】 ①. 0.2## ②. 0.5## 【解析】 【分析】根据独立事件的公式即可计算，再根据条件概率的公式即可计算． 【详解】由事件A与事件B相互独立， 则， ． 故答案为：；． 14. 如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且满足，，记，，则向量__（用，来表示）；若，，且，则__． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接可得，以与为基底，根据可得与的夹角，再利用转化法可得. 【详解】在平行四边形中，，， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 15. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，16题14分，17-19题各15分，20题16分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，再由二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 【小问2详解】 由正弦定理，所以； 【小问3详解】 由余弦定理， 所以， ， 所以. 17. 已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接. 则. 而底面为矩形，是的中点， 所以. 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需在平面内找到一条线段与平行即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后将点的坐标表示出来，然后求出平面的法向量和直线的方向向量，进而可根据向量夹角的余弦公式即可求得直线与平面的正弦值. （3）根据（2）中求得的平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，则. 所以平面的一个法向量为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为： . 18. 已知椭圆，左焦点为，且 （1）求M的方程； （2）若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件求出，进而得出，结合求出，即得椭圆方程； （2）求出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式求解即可． 【小问1详解】 椭圆的左焦点为，，故， 又，联立解得，， 椭圆的方程为：． 【小问2详解】 过点且斜率为的直线l的方程为， 联立椭圆方程得，整理得， 设，由韦达定理得， ． 19. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 （1）求数列和的通项公式； （2）令求数列的前n项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果； （2）分组求和即可. 【小问1详解】 设的公差为, 由已知,有解得， 所以的通项公式为, 的通项公式为. 【小问2详解】 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：. 20. 已知函数 （1）当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；②递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值； （2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用零点的定义分离参数、构造函数，把问题转化为直线与函数图象有2个交点求解. 【小问1详解】 ①当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. ②函数的定义域为，， 由，得；由，得， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 函数在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 函数，由，得，令， 由函数有2个零点，得直线与函数的图象有2个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有，，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点， 因此函数有两个零点时，， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年天津博文中学高三（上）第一次阶段性测试 高三数学 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（ ） A. B. C. D. 5. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 6. 数列的前项和为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 计算________． 11. 在的二项展开式中，项的系数为________（结果用数值表示） 12. 直线被圆截得的弦长为________. 13. 已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则________； ________． 14. 如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且满足，，记，，则向量__（用，来表示）；若，，且，则__． 15. 若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 三、解答题：本题共5小题，16题14分，17-19题各15分，20题16分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆，左焦点为，且 （1）求M的方程； （2）若过点且斜率为的直线l与M交于A，B两点，求． 19. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足 （1）求数列和的通项公式； （2）令求数列的前n项和； 20. 已知函数 （1）当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $