精品解析：山西省运城市河津市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025～2026学年九年级第一学期期中质量监测 数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半平方，将方程化为完全平方式即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方得， 即， 故选：D 2. 已知，如图，四边形四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质． 根据相似图形的性质得到，根据多边形内角和计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 3. 观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（ ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 4. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．若，，，则的长为（ ） A. 53 B. 5 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例列式求出即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 5. 如图，矩形对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答． 【详解】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°， ∵∠ACB=30°，AB=2， ∴AC=2AB=2×2=4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OA=AC=2． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 6. 如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法和树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种， ∴他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是， 故选A． 7. 关于的一元二次方程有两个实数根．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 故选：D． 8. 第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设平均增长率为x，根据连续两年相同增长率模型，从第22届16人增长到第24届25人，列出方程 求解即可． 【详解】解：设平均增长率为x， ∵第二十二届参赛人数是16人，第二十四届参赛人数是25人，且每年增长率相同， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）． ∴平均增长率为25%． 故选：B． 9. 永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 延长，交于，证明，，得到，，将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，延长，交于， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 10. 如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解分式方程，解题关键是利用角度关系证明等腰三角形，结合相似三角形列比例式求解，易错点是角度推导或相似三角形的对应边混淆． 根据等腰三角形的性质与判定推出，设，再通过证明得到，列出关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 所以， 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可因式分解为， 则或， 解得：，， 故答案为：，． 12. 若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式的求值，比的性质，根据等式得到，代入化简即可，正确掌握比的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 14. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，涉及勾股定理，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键． 设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得． 【详解】解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺， 根据题意，得． 故答案为：． 15. 如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意得到，，由等面积法得到，则，连接，证明，由勾股定理得，则，，根据题意得到，则，代入计算即可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵平移， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或 ，； 【小问3详解】 解： 这里，， 即，． 17. 如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC，结合已知条件，从而得出四边形EBFC是平行四边形，再根据得出四边形EBFC是菱形． 【详解】证明：， ， ∴四边形EBFC是平行四边形 又， ∴四边形EBFC是菱形. 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 18. 山西省教育厅明确规定，中小学每天综合体育活动时间不得低于两小时，旨在促进学生健康成长和全面发展，各校积极探索形式多样的活动，确保学生每天体育锻炼时间达标．某初中学校初一年级某班名学生进行羽毛球比赛，分成5个小组，每个小组4个人．现抽签决定由1组和3组进行第一轮单打比赛，两个小组各选一名选手参加，1组的小明和3组的小丽同时被选中的概率为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列出表格，分别得出所有情况数与符合条件的情况数，再根据概率公式计算概率． 【详解】解：设1组的四人分别记作、、、，其中小明记为， 组的四人分别记作、、、，其中小丽记为， 1 3 一共有种等可能出现的结果． 其中小明和小丽同时被选中的有1种 ． 19. 如图，在矩形中，为边上一点，，，是的中点，，求的长度．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理． 先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解， 再利用勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 为中点，， ， 在中，， ， ∴由勾股定理得， ∵在矩形中，，， ， ， 由勾股定理得． 20. 为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． （1）填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ （2）如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 【答案】（1），， （2）11月的单价应是70元 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列一元二次方程，并求解即可； 【小问1详解】 解：设11月清仓前图书单价降低元， 11月单价为：元， 11月销售量为：套， 清仓时销售量为：套； 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：由题知：， 整理：， 解得， 元； 答：11月得单价应是70元． 21. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图： ． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 【答案】（1） （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是巧妙利用网格解题； （1）由图可得两三角形相似，进而根据对应边成比例得到结果； （2）利用网格构造相似比是的相似三角形即可； （3）利用网格构造全等三角形即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即：； 【小问2详解】 如图所示：点即为所求； 【小问3详解】 如图所示：点为所求． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务： 几何法探究配方法解方程 西周时期政治家周公与数学家商高探讨“数”的起源，商高说：“数出于方圆，圆出于方，方出于矩，”，老师在课堂上利用“矩”得“方”解决了配方法解方程的问题．例：如图：某正方形广场外侧有两条宽度相同的小路，已知正方形边长为11，小路面积为48，求小路的宽． 设小路宽为，根据题意可列方程： ， 解方程时想到“矩”旁边有一个“方”，组合成另一个大的“方”， 整体看大正方形面积既可以表示为，也可以表示为， 根据构造的图形，可将方程变形为， 利用平方根的定义求解即可． 将方程抽象为， 求解过程如下：， 任务： （1）将材料中剩余步骤补充完整，求出方程的解． （2）班级数学爱好者模仿以上材料，做了新的笔记：假如已知某矩形的面积为20，长比宽多10，求矩形的长和宽．设矩形宽为，则长为，根据题意列方程得，解方程时想到用“矩”得“方”的办法进行配方． ①根据构造的图形，可将方程变形为： ，利用平方根的定义求解即可． ②将方程抽象为： ． （3）将②抽象出的方程，按照材料中的思路写出求解过程． 【答案】（1）见解析 （2）①；②（可以用区别与的任意字母） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，平方根的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）分两种情况：，进行求解即可； （2）①根据大正方形的面积等于边长的平方，另外大正方形可以看作一个小正方形和周围四个长方形的面积之和，列出方程即可； ②根据题干提供的解题方法求解即可； （3）用配方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， 情况一：当时， ， ，， 情况二：当时， 原方程无实数根； 【小问2详解】 ①解：构造的正方形的边长为：， 则构造的大正方形面积为：， 中间小正方形的边长为：， 则中间小正方形的面积为：， 四周四个小长方形的面积和为， ∴， 即； ②将方程抽象为；（可以用区别于的任意字母） 【小问3详解】 解：， 当时，， ， ，； 当时，原方程无解． 23. 综合与实践 问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，． 猜想验证： （1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形． （2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形为平行四边形，再证明，进而可得四边形为矩形； （2）先利用证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形为平行四边形，进而可证明四边形为菱形，从而可得出结论； （3）先利用正方形的性质，结合勾股定理求得，再勾股定理求得，然后利用含有角的直角三角形的性质求得的长度． 【详解】（1）证明： ∵在平行四边形中，为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2） ∵在平行四边形中，为的中点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 即； （3）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴(负值舍去)， 又四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴(负值舍去)， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），利用平行四边形的性质求解，利用矩形的性质证明，证明四边形是矩形，根据正方形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年九年级第一学期期中质量监测 数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，如图，四边形四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（ ） 0.6 09 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 23 A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．若，，，则的长为（ ） A. 53 B. 5 C. 15 D. 5. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A B. C. 1 D. 7. 关于的一元二次方程有两个实数根．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根为______． 12. 若，则的值为______. 13. 在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 14. 从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程______． 15. 如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，在等腰三角形ABC中，于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使.求证：四边形EBFC是菱形. 18. 山西省教育厅明确规定，中小学每天综合体育活动时间不得低于两小时，旨在促进学生健康成长和全面发展，各校积极探索形式多样的活动，确保学生每天体育锻炼时间达标．某初中学校初一年级某班名学生进行羽毛球比赛，分成5个小组，每个小组4个人．现抽签决定由1组和3组进行第一轮单打比赛，两个小组各选一名选手参加，1组的小明和3组的小丽同时被选中的概率为多少？ 19. 如图，在矩形中，为边上一点，，，是的中点，，求的长度．     20. 为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． （1）填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ （2）如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 21. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图： ． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 22. 阅读下列材料，完成相应的任务： 几何法探究配方法解方程 西周时期政治家周公与数学家商高探讨“数”的起源，商高说：“数出于方圆，圆出于方，方出于矩，”，老师在课堂上利用“矩”得“方”解决了配方法解方程的问题．例：如图：某正方形广场外侧有两条宽度相同的小路，已知正方形边长为11，小路面积为48，求小路的宽． 设小路宽为，根据题意可列方程： ， 解方程时想到“矩”旁边有一个“方”，组合成另一个大的“方”， 整体看大正方形面积既可以表示为，也可以表示为， 根据构造的图形，可将方程变形为， 利用平方根的定义求解即可． 将方程抽象为， 求解过程如下：， 任务： （1）将材料中剩余步骤补充完整，求出方程的解． （2）班级数学爱好者模仿以上材料，做了新的笔记：假如已知某矩形的面积为20，长比宽多10，求矩形的长和宽．设矩形宽为，则长为，根据题意列方程得，解方程时想到用“矩”得“方”的办法进行配方． ①根据构造的图形，可将方程变形为： ，利用平方根的定义求解即可． ②将方程抽象为： ． （3）将②抽象出的方程，按照材料中的思路写出求解过程． 23. 综合与实践 问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形中，点是对角线的中点，过点的直线交边，所在的直线于点，．已知，． 猜想验证： （1）如图1，旋转直线，当时，连接，求证：四边形为矩形． （2）如图2，当时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当点，在，延长线上时，交，于点，，连接，，此时四边形为正方形．请直接写出长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $